1、高等代数试题库1高等代数试题库一、填空题：1、在C-1,1中，定义f(x），g（x）= 11f(x）g(x)dx ，则向量1 的长度为_，1 与x 的夹角为_。2、二次型f(x1,x2）=x12+4x1x2+3x22 的矩阵是_.3、R3 的子空间W=（a，2a，3a）aR则dimW=_。4、设n 阶矩阵A 的特征根为1，2,n ，则detA=_，Tr(A)=_。5、线性变换的属于本征值的特征子空间V=_ .6、设1，2，n 是欧氏空间V 的一个规范正交基，V 中向量在基1，2，n 下的坐标可由内积表示为_ 。7、R2 的线性变换在基1，2下的矩阵为A= 3 41 2，则在基1+2，22 下的
2、矩阵为_.8、实二次型f 的典范形式由_和_唯一确定。9、实对称矩阵A 正定当且仅当A 与_合同。10、Rn 空间中,向量与任意向量的内积都等于零的充要条件是_.11、数域F 上任意一个n 维向量空间都与 同构。12、线性相关的充要条件是 。13、线性相关的充要条件是 .14、二次型f(x1，x2，x3）= x1x2+x2x3 的矩阵表达式为( ) 3211 2 3xxxx x x A ,则A=_。15、设1 是线性方程组AX=B 的一个解，2 是线性方程组AX=0 的一个解，则12 是_的一个解。16、设n 阶可逆矩阵A 的特征根为1，2，n ，则A1的特征根为_。17、设W1、W2是V 的
3、两个子空间，则W1与W2的和W1+W2= 。18、二次型f（x1,x2）=（ ) 211 2 3 41 2xxx x 的矩阵为_ _.19、对任意向量空间V，V 的平凡子空间是 和 。20、线性变换把线性相关向量变成 .21、方程2x4 x3 + 2x 3 = 0的有理根为 。22、含有n 个未知量n 个方程的线性方程组,当其系数行列式D 0时，该方程组有 解。23、两矩阵乘积的行列式等于其矩阵行列式的 。24、设矩阵= 0 0 30 2 21 1 1，的转置矩阵为T ,则T 。25、n 阶可逆矩阵必等价于 。26、若阶矩阵的秩为，则的所有 阶子式都等于零。27、零多项式是 。28、若p(x）
4、是不可约多项式，而f（x）是一个任意多项式，则当(p(x），f(x)） 1时，有 。29、两本原多项式的乘积是 多项式.30、 （n（n 1） 321) 。31、设为n 阶方阵，则 A 。32、设三阶方阵,满足1 且 70 0 1040 10 031则 。33、若n 阶行列式有多于n 2 n 个为零的元素,则行列式值为 。34、设一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别为A 和B,则有解的充要条件为35、在实数域上，任意次数 多项式都可约。36、含有n 个未知量n 个方程的线性方程组，当其系数行列式D 0时,其方程组有且仅有 解。37、任n 个矩阵乘积的行列式等于其矩阵行列式的 。38、有理数域
5、多项式存在 不可约多项式。39、n 阶可逆矩阵必等价于 。40、零多项式是 。41、若阶矩阵的秩为3，则的所有 阶子式都等于零.42、若p(x)是不可约多项式，而f(x)是一个任意多项式，则当p（x)不能整除f（x） 时，有 。43、两本原多项式的乘积是 多项式.44、设为4 阶方阵，则3A 。45、 （n（n 1） 321) 。46、设三阶方阵，满足1 且 70 0 1040 10 031则 。47、若一个线性方程组的系数矩阵的秩为r ，则其增广矩阵的秩为和 。48、矩阵1 11 2 的逆矩阵是_.49、设A为m n矩阵，B是一个矩阵，且BA 有意义，则B的列数等于_。50、设向量组1 2
6、, ， ，r 与1 2 , ， , s 等价，它们的秩分别为p，q，则p 与q 的关系是_。51 、设n 级矩阵A 的特征值为1 2 ， ， ,n ， 则A =_，Tr（A) = _ .52、二次型( ) 11 2 1 222 2( , ）2 1xf x x x xx = 的矩阵为_ _.53、设1 2 , , ， m 为n维向量,已知1 2 , , ， m 线性无关，则m和n的关系是_ _.54、n 维欧氏空间V 中向量 在标准正交基 1 2 ， ， ，n 下的
7、坐标是（ ） 1 2 ， ， ,n x x x ，那么（ ， ) _, _ i = = .55、在欧氏空间R4中，向量 = (1，2，2，4）, = （0,2,2，2)，那么 与 的夹角是_,d（ , ） = _ 。56、线性变换把线性相关向量变成_向量。57、Rn空间中，向量 与任意向量 的内积都等于零的充要条件是_.58、设A为正交矩阵，则A = _或_.59、设1 a , 2 a 不等于零，则12100 aa= .60、设A 、B 均为n 级对称矩阵，则AB 也是对称矩阵的充要条件是_。61、设A为7 级反对称矩阵，则A = _ .62、设n 级可逆矩阵A 的特征值
8、为1 2 , ， ，n ，则A1的特征值是_； f （A） 的特征值是_；A = _ .63 、欧氏空间中对称变换的属于不同特征值的特征向量_。64、实对称矩阵的特征值都是_。65、当一个向量组的极大无关组不唯一时，其两个不同的极大无关组所含向量个数_。66、设1 2 ， ， ，s 是n维线性空间中s个向量，则当s满足条件_时， 1 2 , , ，s 线J_性相关。67、数域P 上任意一个n 维线性空间都与 同构.68、二次型f（x1,x2）=（ ） 211 2 3 41 2xxx x 的矩阵为_ _.69、设APnn, f （
9、 ）为A的特征多项式,则f (A） 0。70、实对称矩阵A 正定当且仅当A 与_合同.71、设A为m n矩阵，秩(A) = r n,则齐次线性方程组AX = 0的基础解系含_个解向量。72、在C-1,1中,定义1，A=d,则|A*=_。94、实对称矩阵A 正定当且仅当A 与_合同。95、已知 = 3 11 21 03113101 0X ，则X=_。96、零次多项式是一个_。97、p(x)是不可约多项式，f(x)为任意多项式，则p(x）与f(x)的关系为_或 。98 、实数域上的不可约多项式只有和 。99、映射的合成不满足_.100、若n 阶行列式有多于n 2 -n 个为零的元素，则其行列式值等
10、于_。101、ij n （a ） 表示的n 阶行列式是_项的代数和，其一般项是 ，符号是_。102、若一个n 元线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩都等于r,且rn 则该方程组有 解。103、每一个对换都改变排列的 。104、若一个整系数多项f(x)在有理数域上不可约，则f（x） 有理根.105、若是一个整系数多项式f（x)的系数_,则称f（x）是一个本原多项式。106、一个含有n 个未知量n 个方程的线性方程组，当其系数行列式_时，有且只有一个解。107、设f(x)=4x4-7x2-5x-1，则f（x)的有理根为 。108、设f(x),g(x）不是零多项式,在f（x)与g(x)的一切公因式中,
11、最大公因式是次数 者。109、当且仅当f(x）是 多项式时,任意多项式g（x)与f（x）的最大公因式都是g(x).110、设f：AB，g:A B 都是集合A 到B 的映射，则f=g 是指 。111、排列 2k,1，2k1,2,，k+1,k 的反序数是 。112、|（aij）n|表示的n 阶行列式是_项的代数和，其一般项是_，符号是_。113、若一个线性方程组的系数矩阵的秩为r，则其增广矩阵的秩为_或_。114、每一个对换都改变排列的_.115 、设f（x)=x5-x4-2x3+2x2+x1 ， 则f（x） 的典型分解式为 。116、若一个齐次线性方程组的方程个数小于未知量个数，则该方程组有 解
12、。117、一个含有n 个未知量n 个方程的线性方程组，当其系数行列式_时，有且只有一个解。118、设f(x）=xn+1，则f（x） 重因式.119、零多项式是指_.120、p(x）是不可约多项式，f（x）为任意多项式，若（p（x)，f(x）,则 。121、f(x）、g（x）是本原多项式,则f(x)g(x） 本原多项式。122、若 是f（x)的k 重根，则 是f(x)一阶导数的 重根。123、映射的合成不满足_ _.124、ij n （a ) 表示的n 阶行列式是_项的代数和，其一般项是 ,符号是_.125、若一个n 元线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩都等于r，且r0。6、正交变换在任意基下的
13、矩阵都是正交矩阵。7、实数域是复数域上向量空间。8、向量组1,2，n 中的向量两两线性无关,则向量组1,2,n 也线性无关。9、已知1，2都是线性变换的属于本征值的本征向量，则1,2 的任意线性组合也是的属于本征值的本征向量。10、设A，B 是两个n 阶正定矩阵,则A 与B 必合同.11、V=（）=中每一个向量都是的属于本征值的本征向量。13、Fn+1x是Fnx的子空间。14、设A、B 为n 阶对称矩阵，则AB 为对称矩阵的充要条件为ABBA。15、相似矩阵有相同的特征向量。16、线性变换把线性无关向量组变成线性无关向量组。17、实二次型f(x1,x2,xn）= X AX 正定的充要条件是A
14、的主子式都大于。18、对称变换在任意基下的矩阵都是对称矩阵。19、存在数域F 上恰好含有两个向量的向量空间。20、已知1，2 是齐次线性方程组AX=0 的两个解，则k11+k22是AX=0 的解，其中k1，k2 为任意数。21、任意多项式在数域P 上至多有n 个根.22、数域P 上的任意多项式都可分解成不可约多项式的乘积。23、若n 阶行列式D 恰有个n 元素非零，则D 不为024、任意一个包含零向量的向量组必线性相关。25、设A，B 都是可逆方阵，则A+B 也是可逆矩阵。26、初等矩阵都是可逆矩阵。27、任n 个矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩。28、数域P 上的多项式只有两类,即可约多项式
15、和不可约多项式.29、齐次线性方程组永远有解。30、零多项式能整除任意多项式.31、任意多项式在数域P 上至n 多有个根。32、数域P 上的任意多项式都可分解成不可约多项式的乘积。33、若n 阶行列式D 恰有个n 元素非零,则D 不为034、任意一个包含零向量的向量组必线性相关。35、设A，B 都是可逆方阵，则A 1+B也是可逆矩阵。36、齐次线性方程组永远有解37、任n 个矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩。38、数域P 上的多项式只有两类，即可约多项式和不可约多项式。39、若n 阶行列式有多于n2 n个为零的元素，则行列式值为0。40、任何可逆矩阵都等价于单位矩阵。41、Rn1是Rn的子空间
16、。42、设A， B为n级矩阵，则有（AB)k = AkBk，k为大于1 的整数.43、若A2 = E，则A = E或A = E 。 E为单位矩阵。44、线性变换把线性无关向量组变成线性无关向量组.45、实二次型f（x1，x2,xn）= X AX 正定的充要条件是A0。46、欧氏空间中对称变换在任意标准正交基下的矩阵都是对称矩阵。47、若1 2 , ， , （ 3） r r 线性相关,则其中必有两个向量成比例.48、若1 2 ( , ， ， ) s V = L ，则V 的每一个基都与1 2 ， ， ,s 等价.49、设W是n维欧氏空间V 的一个子空间，则(W ） =W 。50、n 维欧氏空间的正交变换使两个非零向量的夹角保持不变.51、1 n P x 是 n P x 的子空间.52、设A为n级矩阵，若对任意n级矩阵B都有AB =
