1、实变函数试题库4及参考答案汇编实变函数试题库及参考答案(4) 本科一、填空题1设A, B为两个集合，则A-B_AC|Bc.2设E ：_ R,如果E满足E =二E (其中E 表示E的导集),则E是3若开区间(：)为直线上开集 G的一个构成区间，则C , )满(i)(a, b) G4设A为无限集则A的基数A a(其中a表示自然数集 N的基数)5设巳疋2 为可测集，mE2+,则 m(E! E2)_mE!mE?.6设fn(x)为可测集E上的可测函数列，且fn (x)= f (x), x E ,则由 定理可知得a.e(x E).存在 I fn(X)1 的子列：fnk(X)?，使得 fnk(X)； f(X
2、)7.设f (x)为可测集 E ( Rn)上的可测函数，则f (x)在E上的L积分值 存在且| f (x) |在E上 L可积(填“一定” “不一定”)、选择题1设 E =1 x，0 0 乞 x 乞1?，则( )4.若E 二Rn是开集，则 （ ）三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1设f x是a,b 上有界函数，且L可积，则（ ）2.设E =0,1中的无理点，则（ ）3.若E（ R）至少有一个内点，则（ ）A、 a, b上的符号函数B、 a,b上的可测函数四、判断题C、 E上的连续函数D、 a,b上的连续函数4.设E a,b是可测集，则E的特征函数 e（x）是（ ）1.零测集上的函数是
3、可测函数 更多精品文档2.（ ）（ ）且 m G E = 0. （ ）可列个闭集的并集仍为闭集3.任何无限集均含有一个可列子集4.设E为可测集，则一定存在 G；_集G，使E二G，五、定义题1.为什么说有界变差函数几乎处处可微？2.简述无穷多个开集的交集是否必为开集？3.可测集E上的可测函数与简单函数有什么关系?六、计算题 3sin x 7设 f x 二I XP为康托集，求f x dx .0,11cos xdx.,ln(x+n )8.求 lim en?C ( n(o,n ) nfn(X)= f(X)，七、证明题1 设fn(X),gn X )，f X g X( 是) E上几乎处处有限的可测函数，且
4、gn(x)= g(x)，则 fn(x) gn(x)= f(x) g(x)2 设f (x), g(x)是E上L-可积函数，则. f2(x) g2(x)在E上也是L-可积的a.e 于 E3设f(x)是可测集E上的非负可测函数，如果 *f(x)dx=O，贝V f(x) = O4证明等式： A (BUC)=(A B)n(A C)实变函数试题库及参考答案(4) 本科一、 填空题1等于 2闭集.3.(a,b) G 4一 5一 6黎斯 7不一定不一定 8界变差函数.二、 单选题1.B 2.B 3.A 4.B三、 多选题1.BD 2.CD 3.BD 4.ABC四、 判断题五、 定义题1.答：由若当分解定理，有
5、界变差函数可表示成两个单调增函数的差， 而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几乎处处可微 2.答：不一定，如 1 - !-1,lln二I n nJ3.答：简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数， 可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式4.答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数， 有界变差函数可表示成单调函数之差六、解答题1解：因为mP =0，所以f xi； = x,a.e于 0,11是 f x dx 二 xdx 而x在1.0,1上连续，所以0,1 0,1 1, / 2 x2 i 1xdx 二 R 0 x dx 二丁 |。 ,i I 221 因此 f x dx
6、.0,i 2“ ln (x + n ) x2解：令 fn(x)=/eni(x e cosx丿 n显然fn x在0, ：上可测，且In x n 亠e cos xdx = fn x dx0 n n 0：,:因为fn(X j兰)ecosxnln x n x 0, ： ,n =1,2,川n不难验证gn x =ln x n ，当n足够大时，是单调递减非负函数，且nlim gn x ;=0，所以n_In x n dx = limJ nsclim(o,乡 ngn X dx = ：j_lim gn X 二 0dx = 0 門由勒贝格控制收敛定理 lim I fn x dx = 0f严)故nmf,nln x n
7、 亠 e cos xdx 二 0 .七、证明题1证明对任何正数二 0，由于|(fn(X)gn(X) -(f(X)g(X)|_| fn(X)- f(X)| |gn(xg(x)|所以 EX|(fn(X gn(X) -(f(X)g(X)| 二EX | fn(X)一 f(X)| 一才UEX |gn(X)_g(X)|_于是 mEx|(fn(x) gn(X)-(f(x) g(X)|二乞 mEx| fn(x)-f(x)|_2】 mEx|gn(x)-g(x)|冷0( n：)故 fn(X)gn(X)二 f(X)g(x)2证明 因f (x), g (x)是E上L -可积，所以| f (x) |,| g(x) |在
8、E上L-可积，从而|f(x)| |g(x)|L-可积，又.f2(x) g2(x)乞,(| f(x)| |g(x)|)2 =| f(x) | |g(x) |故、f2(x) g2(x)在E上L-可积3.证明 反证，令 E x | f (x) 0，则由f (x)的可测性知，A是可测集.下证mA = 0,若不然，则mA -07 1由于 A=Ex| f (x) AO =|Jex| f (xp-，所以存在 N 釘，使心 nmEx| f (x)冷=d 01 1 1 d于是 f(x)dx_ i f(x)dx_ i dx mEx| f(x) 0E Ex|f(x)希 ， Exf(x)命N N N N因此 e f (x)dx - 0 ,矛盾，故 f (x) = 0 a.e于 E4.证明a (bU A (B C)二 Ha CPB c R Ac b)Ci( ac ) Qa b) (a c
