1、教完全平方公式 案课 题 15.2.2完全平方公式编 者 单 位 教 学 目 标知识与能力:完全平方公式的推导及其应用,完全平方公式的几何解释;进一步熟悉乘法公式，体会公式中字母的含义。过程与方法:重视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力；利用去括号法则得到添括号法则，培养 学生的逆向思维能力。 情感态度与价值观:在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神；鼓励学生装算法多 样化，培养学生多方位思考问题的习惯，提高学生的合作交流意识和创新精神。 教 材 分 析教学重点:完全平方公式的推导过程、结构特征、几何解释及灵活应用。教学难点:理解完全平方公式
2、的结构特征并能灵活应用公式进行计算。教学关键:完全平方公式的灵活应用。课时安排乘法公式（二）课 件多媒体教 具实物投影仪教学环节 教 学 内 容 与 过 程 设 计 意 图 批 注 一、提出问题 探讨新知 问题1：请同学们探究下列问题： 一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果招待他们.来一个小孩,老人就给这个孩子一块糖,来两个孩子,老人就给每个孩子两块糖. (1)第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ (2)第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ 教学环节 教 学 内 容 与 过 程 设 计 意 图 批 注 (3)第三天这（a+b
3、）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？ (4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？ 解：(1)第一天老人一共给了这些孩子a块糖. (2)第二天老人一共给了这些孩子b块糖。 (3)第三天老人一共给了这些孩子（a+b）块糖。 (4)孩子们第三天得到的糖果总数与前两天他们得到的糖果总数比较，应用减法，即(a+b)-(a+b)问题2：能不能将（a+b）转化为我们学过的知识去解决呢？我们知道a=a*a,所以（a+b）=(a+b)(a-b),这样就转化成多项式与多项式的乘积了。像研究平方差公式一样，我们探究一下（a+b）的运算结果有什么规律。计算下列各
4、式，你能发现什么规律？(1)(p+1)=(p+1)(p+1)=_(2)(m+2)=_(3)(p-1)=(p-1)(p-1)=_(4)(m-2)=_(5)(a+b)=_(6)(a-b)=_发现（1）结果中的2p=2*p*1,（2）结果中4m=2*m*2,(3)(4)与（1）、（2）比较只有一次项有符号之差，（5）（6）则具有一般性。问题3：试着用语言叙述出来。文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。符号叙述：(a+b)=a+2qb+b;(a-b)=a-2ab+b 完全平方公式也是多项式乘法运算中一个重要的公式由于学生在前面已经接触过乘法公式推导的思路和方法，所
5、以在此引导他们自主推导即可。在推导公式的过程中，要重视学生对运算依据的理解与叙述，强调推理，培养他们的代数推理能力、用数学语言进行表达的能力。设计问题2是对前边进行的运算的讨论，目的是让学生通过观察、归纳、鼓励他们发现这个公式的一些特点。 学生小组组讨论，使学生明确公式特点，加深对公式表象的理解。 学生对公式的正确表述，有利于学生正确用于计算之中。教学环节教 学 内 容 与 过 程设 计 意 图 批 注HCD 问题4：其实我们还可以从几何角度去解释完全平方公式。你能根据下图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公式吗？GM B bEabA (1)F(2) 学生可能看出如下一些信息： 先看图（1）
6、，可以看出大正方形的边长是a+b 还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和。 阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a，另一个小正方形边长是b，所以它的面积是b，另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab，大正方形的边长是a+b，其面积是(a+b)，于是就可以看出：(a+b)=a+2ab+b ，这正好符合完全平方公式。 如图（2）中，大正方形的边长是a，它的面积是 a ，矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形,长都是a,宽都是b,所以它们的面积都是a*b;正方形HCGM的边长是b,其面积就是b;正方形AFME的边长是(a-b
7、),所以它的面积是(a-b).从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积.也就是(a-b)=a-2ab+b,这也正符合完全平方公式.总结:数学源于生活,又服务于生活,于是我们可以进一步理解完全平方公式的结构特征.现在大家可以轻松解开开始 提出的老人用糖果招待孩子的问题了.公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学的思想方法：特例归纳猜想验证用数学符号表示。重视公式的几何背景，可以帮助学生运用几何直观理解和解决有关代数问题。教学环节 教 学 内 容 与 过 程 设 计 意 图
8、批 注 二、应用举例三、添括号的学习 例1、应用完全平方公式计算：(1)(4m+n) (2)(y-12)(3)(-a-b) (4)(b-a)解：(1)(4m+n)=(4m)+2*4m*n+n (2) (y-12)=y-2*y*12+(12)=y-y+14 (3)(-a-b)=(-a)-2*(-a)*b+b=a+2ab+b (4)(b-a)=b-2ab+a=a-2ab+b例2 运用完全平方公式计算:(1)102 (2)99解:102=(100+2)=100+2*100*2+2=10000+400+4=10404 99=(100-1)=100-2*100*1+1=10000-200+1=9801问
9、题1：请同学们完成下列运算并回忆去括号法则。（1）4+（5+2）；（2）4-（5+2）;（3）a+(b+c) (4)a-(b-c)解：(1)4+(5+2)=4+5+2=11 (2)4-(5+2)=4-5-2= -3 (3)a+(b+c)=a+b+c (4)a-(b-c)=a-b+c去括号法则：去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都不改变符号；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都有改变符号。也就是说，遇“加”不变，遇“减”都变。问题2：因为4+5+2与4+（5+2）的值相等，4-5-2与4-（5+2）的值相等，所以可以写出下列两个等式：（1）4+5+2=4+（5+2）；
10、（2）4-5-2=4-（5+2）左边没括号，右边有括号，也就是添了括号，同学们可 运用完全平方公式进行数的简便运算的目的是进一步巩固完全平方公式，体会符号运算对解决问题的作用，教学时可让学生自己独立解决此问题，让学生通过应用举例，达成本节课的基本学习目标。 此处的功能就是达成基本学习目标,该环节需要足够的耐心去面对学生中出现的问题,例2的讲解要让学生体验到化整处理给计策带来的简便之处 添括号的学习是结合去括号进行的，加强对比，学生容易认可和接受，并且互相印证，互相检验，可减少应用中的失误。教学环节 教 学 内 容 与 过 程 设 计 意 图 批 注不可以总结出添括号法则呢？ 学生分组讨论，最后
11、总结。 添括号其实就是把去括号反过来，所以添括号法则是： 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都有不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。 也是：遇“加”不变，遇“减”都变。 问题3：能举例说明添括号法则吗？ 例如，a+b-c,要对a+b-c 项添括号，可以让a先休息，括号前添加号，括号里的每项都有不改变符号，也就是+(+b-c)，括号里的第一项若系数为正数可省略正号即+(b-c)，于是得：a+b-c=a+(b-c)；若括号前添减号，括号里的每一项都改变符号，+b改为-b,-c改为+c ，也就是-(-b+c)，于是得a+b-c=a-(-b+c)，添加括号后，无论括号
12、前是正还是负，都不改变代数式的值。课堂练习1、 在等号右边的括号内填上适当的项： (1)a+b-c=a+( )(2)a-b+c=a-( )(3)a-b-c=a-( )(4)a+b+c=a-( )2、判断下列运算是否正确。(1)2a-b-12c=2a-(b-c2);(2)m-3n+2a-b=m+(3n+2a-b)(3)2x-3y+2=-(2x+3y-2)(4)a-2b-4c+5=(a-2b)-(4c+5)学生尝试或独立完成，然后与同伴交流解题心得，教师巡视学生完成情况，及时发现问题，并帮助个别有困难的同学。 添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不
13、变，所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确。 教学环节 教 学 内 容 与 过 程 设 计 意 图批 注四、拓展应用五、小结反思 请同学们分组讨论，完成下列计算。 例、运用乘法公式计算： (1)(x+2y-3)(x-2y+3); (2)(a+b+c); (3)(x+3)-x; (4)(x+5)-(x-2)(x-3) 让学生充分讨论，鼓励学生用多种方法运算，从而达到灵活应用公式的目的。 通过本节课的学习，你有何体会和收获？ 学会了去括号法则和添括号法则，利用添括号法则可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算。 体会到了转化思想的重要作用，学数学其实是不断地利用转化得到新知识，比如由繁到简的转化，由难到易的转化，由已知解未知的转化等等。 此处是学生理解的难点，也是教学的重点，教学时可设计大量的例子让学生做转化练习，并让其说明这样做的道理，这样设计有利于加深学生对完全平方公式的理解，也会开阔学生的视野。 巩固本节所学知识，并通过作业进一步理解和消化相关内容，形成处理和解决此类问题的数学思想方法。布置作业 习题15。2第8、9题 板 书 设 计 1522完全平方公式 (a+b)=a+2ab+b (a-b) =a-2ab+b 教 学 反 思
