1、工程结构可靠性理论与应用习题及答案工程结构可靠性理论与应用习题4.1某地区年最大风压实测值见教材表 3-3。(1)用K-S检验法对年最大风压分布进行假设检验，证明该地区年最大风压可用极值I型来拟合，并写出相应的分布函数；(2)试求该地区设计基准期 T= 50年的最大风压的统计特征(统计参数和分布函数) 解：(1)列出年最大风压实测值表，见表 1。表1某地年最大标准风压(kgf/m 2)实测值(25年)年份195119521953195419551956195719581959风压11.1413.8114.3143.6732.2937.4421.4221.4223.96年份19601961196
2、2196319641965196619671968风压22.2531.4421.8319.8016.0414.8213.8120.4220.20年份1969197019711972197319741975风压19.8011.8919.8016.0412.677.9810.12(2) 对荷载进行统计分析，依据该地区25年实测最大风压力绘制计统计频率分布直方图，为偏态，所以初步判断年最大风压力服从极值 I型分布，试用极值I型分布拟合。已知极值I型分布函数r - x-T R(x)=exp -exp -IL a.l(3)参数估计1 1子样平均数：X (X1 X2 X25)= (11.14 13.81
3、川 10.12) =19.9325 25子样标准差：11 2 2 2 一(11.14-19.99)2 (13.81 -19.99)2 III (10.12-19.99)2 =8.62 24在M(X)，二(X)，未知情况下，分别用上述估计值 M?(x) = 19.93、；：?(X) = 8.62来近似代替，计算未知参数 a,u的估计值。M (x) = 0.5772a - J二(x) = 1.2826ac ；?(X) 8.62 1a? 1.2826一 1.2826 0.151垐二 M?(X)-0.5772a =19.93 -0.5772 16.080.15于是可以得到该地区年最大风压可以用 Fi(
4、x)二exp-exp-0.15(x-16.08)b来拟合。(4)假设检验 假设H):该地区年最大风压服从极值 I型分布，即其分布函数为F| (x)二 exp - exp 丨-0.15(x -16.08)卜1其中 a ，.二-16.08。0.152)将X的经验分布函数Fn(x)(统计量)与假设的 X的分布函数F(x)进行比较，使用统计量 Dn 二 max Fn(X)- F(X)二 maXDn(x)，其中 Dn(x)= Fn(x)-F(x)，来度量抽 -x . x :得的子样与要检验的假设之间的差异，数量大就表示差异大。为便于计算Dn的观测值Dn，列表计算Dn(x)。见表2。表2 子样检验差异表风
5、压值频数累计频数假设分布值经验分布值Dn(xJXiViF(x)Fn(x)7.98110.03440.040.005610.12120.08670.080.006711.14130.12270.120.002711.89140.15340.160.006612.67150.18870.200.011313.81270.24520.280.034814.31180.27140.320.048614.82190.29880.360.061216.042110.36570.440.074319.84150.56420.600.035820.21160.58330.640.056720.41170.59
6、270.680.087321.421180.63830.720.081721.831190.65570.760.104322.251200.67280.800.127223.691210.72660.840.113431.441220.90500.880.025035.291230.94550.920.025537.441240.96020.960.000243.671250.98421.000.0158表中 F(xiex-ex-0.15(x -16.08)1/Fn(X)VjnDn(X)= Fn(Xj-F(Xi)从表 2 可见：Dn = max Fn(Xi)F(xj|= 0.12723)给显著
7、水平a =0.05，求出临界值Dn,o.o5。当n足够大时，我们可以认为 VnDn的分布近似于Q(k)。给定a =0.05，临界值Dn,0.05即满足P(VnDn A Dn,0.05)=0.05二 P/nDn ： Dn,0.05 )=0.95=Q(Dn,0.05)查教材附表川 Dn,0.05 = 1.36_n Dn = 0.645 Dn,0.05 =1.36 ,故接受H),即认为该地区年最大风压服从极值 I型分布，其分布函数为:Fi (x)二 exp - exp 丨-0.15(x -16.08) V1a , u =16.080.15(5)求该地区设计基准期 T= 50年，最大风压的统计特征值。
8、 不考虑风向时：50由此得到：Jwt =1.11Wk，:wt =0.19由此得到:-wt =0.998Wk , 、wt = 0.19由于= 0.998Wk Wk所以规范规定的风荷载标准值 Wk即相当于设计基准使用为50年的考虑了风作用方向的最大风荷载 WT概率分布的平均值。4.2求钢筋混凝土轴心受压构件的抗力统计参数。2已知 C30 混凝土 fCk=17.5N/mm ，卩kfc =1.41 , =0.1920MnSi钢筋2fyk =340N/mm , =1.14, =0.07截面尺寸bk=300mm , hk = 500mm , kb = kh =1.0, 1 = -h = 0.02配筋率；-
9、=0.015，稳定系数 =1.0，抗力表达式Rp二fcb fyAS钢筋截面积：JkAs = 1.0 , 、as二 0.03计算模式：kp =1.0 ,、*p = 0.05解:计算公式为：R - KP FP - Kp(Rabh Rg Ag )，统计参数为.怙二怙b柿Rg *=1.41 17.5 300 500 +1.14 340 0.015 1 300 500=4573350 N令 c - kRg RgK =0.015 ”4 340 =0.236kRa ，RaK 1.4117.5皆 _晡+甲+时+。2(碼+硒)_0.192 +0.022 +0.022 +0.236(0.072 +0.032) (
10、1 C)2 (1 0.236)2=0.0248得：KR 1.35Rk RkR KP RP =1654.3 已知极限状态方程 Z=g( F, S)= R- S=0, r=100, s=50, ; r= 0.12，飞=0.15 ,试求下列情况下 1。(1)R S均服从正态分布；(2) R服从对数正态分布，S服从极值I型分布。 解：(1)当R S均服从正态分布时：JR=100, JS=50, 、r= 0.12，、：S= 0.15二 R= -r Ur =12，二 s= S Us = 7.5得=土二 Ur_Ue = 3.53z Jcr； +舅(2) R服从对数正态分布，S服从极值I型分布时：1) 由于R
11、服从对数正态分布，首先对抗力 R进行当量正态化: 令R*的初值为其平均值，Ar = R(1 In R+umr) = R(1 +1n Ur In R)=100(1+4.59802153-4.60517019)=99.285j = R r =R jn(V :R)=100 . In(1 0.122) = 11.957132)S服从极值I型分布，对荷载 S当量化：令S”的初始值为其平均值a - 6；二/二=,6 7.5/二=5.848u =比-0.577 a = 50-0.577 5.848 = 46.62571 1y (S -u) (50-46.6257 )= 0.57701a 5.848FS(S
12、)= exp-exp(-y) = expexp(-0.57701) = exp-0.561575 = 0.57031 1S(S ) exp(-y)exp -exp(-y) exp(-0.57703)exp-exp(-0.57703)a 5.8481= 0.561575 0.5703= 0.054765;(0.177)0.0547655.848二S= 心Fs(S )/ s(S )=：叮0.5703/0.0547650.17721 一-r-2e 0.3927417厶 7.171400.054765 0.0547651 11S= S ：.： Fs(S)；s= US Fs(S )汪=50-0.177
13、7.1714 48.73066以R 的统计参数 、二R代替R的统计参数、二R ；并以S的统计参数二S、丿S代、匚S，计算得可靠度为电二 UL_UL _99.285二48.73066_ 3.626CTz JbR 卄 2 J11.957132 +7.1714024.4已知极限状态方程 RGL=OR抗力,G恒载,对数正态分布， =1.13Rk, :.R = 0.1正态分布， JG =1.06Gk , :G= 0.07解:1 = 3.5 , 1- R =(3.5) =0.9997674二 Ug g =0.0742 Gk(5)当二=土 =0.1 时Gk6 = 6073 0.02016 Gk = 0.03
14、498 Gk由 一：=3.5= uR -七-比J(0.0852ur)芥(0.0742Gk (0.03498Gk )2得 R -1.52Gkcos% = -O.。852 1.13 1.52Gk =-0.87/0.14634Gk)2 +(0.0742Gk)2 +(0.03498Gk)2cos% 二 0.0742 二 0.440.1678口 0.03498 门cosl 0.210.1678得 R = 1.13 RK-3.5 0.8723 0.0852 1.13 R = 0.836 RKG = 1.06 Gk+3.5 0.4423 0.0742 Gk = 1.175 GkL = 0.7 LK +3.5
15、 0.2085 0.3498 LK = 0.9553 LK因此,当：?=Gk=0.1 时g= G / Gk 1.18L= L / Lk = 0.96R= Rk/R = 1.20_L =6 0.4032 Gk =0.6996 GkUR - UG - UL 23.5-=3.5= :(0.0852ur)2 (0.0742Gk)2 (0.6996Gk)2-0.0852 1.13 3.744GkR =3.744Gk. =-0.46(0.3605Gk)2 (0.0742Gk)2 (0.6996Gk)2,0.0742 cos% 0.090.7905.0.6996 ccc cos% 0.890.7905R =
16、 1.13 Rk-3.5 0.4560 0.0852 1.13 R = 0.976 RKG = 1.06 Gk +3.5 0.093866 0.0742 Gk = 1.084 GkL = 0.7 Lk +3.5 0.88502 0.3498 LK = 1.78353 LK因此，当J= -A =2时gkG= G /Gk = 1.18L= L / Lk 78r= Rk / R = 1.024.5已知极限状态方程 R Sg -Sq =0，设计表达式为GSGk * QSQk Rk“ RG =1.2 , Q =1.4，且目标可靠度 ? = 3.7SGk-8.0 ,JksG= 1.06 ,-0.07（正态
17、分布）SQk= 2.0 ,SQ= 0.70,= 0.29（极值I型分布）JkR-1.33,R= 0.17（对数正态分布）试求JR及R。解：SGk服从正态分布：鼻沁SGk =1.06 8.0 = 8.48，匚Sg 讥隹=8.48 0.07 =0.59SQk服从极值I型分布：九 k Sq =0.698 2.0=1.40，二s = =1.396 0.288 = 0.40sQ kSQ Qk sQ sQ sQRk服从对数正态分布：JR JkRRk = 1.33Rk， - Rk 二R、：R = 017极限状态方程为： R - Sg - Sq = 0假定初值RO =怯 怯=8.48 1.396 =9.88S
18、Ge 二企=8.48，SQe 八s 九40 利用以下公式进行迭代： 对活荷载Sq当量正态化:-、6；飞 / 二，u =Sq -0.5772：y =丄(Sq - u)aFsq(Sq ) =exp-exp-y1Sq(Sq )exp(-y)FsQ(SQ )二SqFsq(Sq*)/ Sq(Sq*)怯-Ssq -Fsq(Ssq )KsqYr6 二 R* Jn(1，r2)COS%2 2 2 ,CR CSg 厶J Sq r2R CSg 二Sg* 二二.二sJ cosSgSYsZ cosSq=| Ro - R* |经过6次迭代，精度为-4 一 *；=5.75 10，得 R =10.87J 二 R* In(1 、r2)由 R= ；r - COSR * * M- 口将 JR 代入 q = R(1-lnR In =R )得 S =19.59由 G =1.2 , Q =1.4 可得Sk QSQk =1.2 8.0 1.4 2.0 =12.4Rk 14.73则 R k 1.19Sk 12.4
