1、最大公因数和最小公倍数基础教案教学目的1.理解素数与合数及素因数的概念，会用短除法分解素因数；2.理解互素的意义，会判断两个数是否互素.理解公因数与最大公因数；会用短除法求两个数的最大公因数.3.理解公倍数与最小公倍数；会用短除法求两个数的最小公倍数.教学内容最大公因数和最小公倍数【知识梳理】1.公倍数和最小公倍数：几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数.2.求两个数的量小公倍数的方法 （1）列举法：分别列出两个数的倍数，找出它们的公有倍数，其中最小的数就是这两个数的最小公倍数 （2）分解素因数法：两个数分解素因数，把它们公有素因数和它们各自独有的素因数连乘，
2、所得的积就是它们的最小公倍数 （3）短除法：用两个数的公因数去除，除列商是互素为止，所有除数和商的乘积就是这两个数的最小公倍数 （4）特征法：如果两个数是互素，它们的最小公倍数是它们的乘积如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数 （5）大数翻倍法：把几个数中最大的一个数依次乘正整数2,3,4，所得的积最先是其他各数的倍数时，那个积就是它们的最小公倍数3.求三个数的最小公倍数的方法 用分解素因数法和短除法求三个数的最小公倍数，用短除法求三个数的最小公倍数和求两个数的最小公倍数有所不同一般步骤如下： (1)先用三个数的公因数去除，除到三个数的商互素为止； (2)再用每两个数的公
3、因数去除，除到三个数的商成为两两互素（任意的两个商都互素）为止； (3)把这些除数和商相乘，所得的积就是所求的最小公倍数【典型类型讲解】题型一求最大公因数和最小公倍数【例题1】例题1、直接写出每组的最大公因数。（1）3和12 14和7 12和6 16和2 （2）1和4 2和9 3和5 15和7 【题干】分别求出下列各组数的公因数与公倍数。 12和18 15和30 5和6【变式1】分别求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 12和30 91和21 12、20和24【例题2】【题干】能不能快速求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数？ 24和48 17和18 9、18和36【变式1】求出每组数的最
4、大公因数。12和30 52和12 35和25 24和36 51和17 91和26找出每组数的最小公倍数。10和8 10和12 30和15 24和48 51和17 91和13 24、36和48重难点2：求两个数、三个数或者多个数的最小公倍数例1 、找出每组数的最小公倍数。10和8 10和12 30和15 24和48 51和17 91和13 24、36和48【巩固拓展】 求出下列数的最小公倍数45和60 36和60 27和72 76和80 42、105和56 【例题3】【题干】一个数除200余4；除300余6；除500余10.求这个数最大是多少？【巩固】1.若一个三位数，能同时被2，5整除，那么这
5、个三位数最小是多少？最大是多少？2. 一个数除150余6，除250余10，除350余14，这 个数最大是多少？3.用某数去除218，170，290都余2，问某数最大是多少？【例题4】求有特殊关系的两个数的最大公因数和最小公倍数。1、AB8（AB均为非0的自然数），A、B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。2、AB+1（或AB1）（AB均为非0的自然数），A、B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。3、均是不为0的自然数，如果A 15 = B，A和B这两个数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。4、如果A223，B233，那么它们的最大公因数是（ ），最小公倍数是（）。题型二：公倍数和最小
6、公倍数【例l】若2235， 2337，则、两数的最小公倍数是 【借题发挥】1. 甲数=22357，乙数=23355.甲数和乙数的公倍数是_；最小公倍数是_. 2.数A225，B233，那么A和B的最小公倍数是 ；最大公因数是 ；3两个连续奇数的和是24，那么这两个数的最小公倍数是 ； 题型三 互素问题律：两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数；如果两个数互素，那么它们的最大公因数就是1【例题】问题1：观察：（1）3和5的最大公因数是 ；（2）18和36的最大公因数是 ；（3）6和7的最大公因数是 ；（4）8和15的最大公因数是 通过求这四组数中的最大公因数，
7、你发现了什么规律？观察：（1）3和5的最小公倍数是 ； （2）18和36的最小公倍数是 ； （3）8和9的最小公倍数是 ； （4）8和15的最小公倍数是 通过求这四组数的最小公倍数，你发现了什么规律了吗？ 问题3：用短除法求下列各组数的最大公约数与最小公倍数：（1）16和20；（2）24和30；（3）18和24。问题4：（1）两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，则另一个是 ；（2）两个数的最大公因数是8，这两个数的积为384，则这两个数的最小公倍数为 ；（3）你能发现两个数的最大公约数与最小公倍数之间有什么关系？结论：（1）两个数的最小公倍数是两个数的最大公约数与各自独
8、有素因数的乘积； （2）两个数的最大公因数与它们的最小公倍数的乘积，等于这两个数的乘积。试一：a、b两数的最大公因数是6，最小公倍数是126，若a18，则b ；例题1 两个整数的最小公倍数为140，最大公约数为4，且小数不能整除大数，求这两个数。 解：1404=35 35=5745=20 47=35练习1、已知A与B的最大公约数为6，最小公倍数为84，且A=42，求B？解：AB=684=504 B=ABA=50442=12练习2、两个数的最大公因数为12，最小公倍数为180，且这两个数不是倍数，求这两个数？ 解：18012=15 15=35 123=36 125=60练习3.有A、B两个两位数
9、，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，则A、B两个自然数的和是多少？答：A、B两个自然数的和是48。练习4两个自然数相乘的积是960，它们的最大公因数是8，这两个数各是多少？答：这两个数分别是24和40。练习5、两个数的最小公倍数是126，最大公因数是6，已知两个数中的一个数是18，求另一个数。答：另一个数是42。练习6. 有两个不同的自然数，它们的和是48，它们的最大公因数是6，求这两个数。题型四 和公因数相关的应用题例1 、把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成面积相等，最大的正方形而且没有剩余，可以裁成多少块？练习1.一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并
10、使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？2、把一张长72厘米，宽60厘米的长方形纸，裁成同样大小、面积尽可能大的正方形纸，纸无剩余，至少能裁多少张？3、把长132厘米，宽60厘米，厚36厘米的木料锯成尽可能大的，同样大小的正方体木块，锯后不能有剩余，能锯成多少块？例题2、用96朵红花和72朵白花做成花束，如果各花束里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？【巩固拓展】1、用24朵红花.36朵黄花和48朵紫花作成花束，要使花束里有同样多的花。这些花最多能做多少花束？2、有三根铁丝，一根长54米，一根长72米，一根长36米，要把它们
11、截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？例题3、现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？2、春节看望干部,买320个苹果,240个橘子,200个梨,把这些果品全部分成同同样的礼物,最多可分多少份?在每份礼物中,苹果 橘子 梨各多少?3.开学初，学校准备了96个黑板擦，72把扫帚，48个纸篓，平均分给各个班。每一种物品的个数都对应相等，最多可分给多少个班？每种物品各几个？题型六：和最小公倍数相关的应用题例题1、一盒钢笔可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢
12、笔最小有多少枝？例题2、甲每5天进城一次，乙每9天进城一次，丙每12天进城一次，某天三人在城里相遇，那么下次相遇至少要多少天？【巩固拓展】1、有两路公共汽车，3路和5路。3路每隔6分钟发一次车，5路每隔8分钟发一次车。3路和5路的起点站都在一起，它们刚才同时发的车。这两路公共汽车同时发车以后，至少过多少分钟两路车才第二次同时发车？2、三位采购员定期去某商店，小王每隔9天去一次，大刘每隔11天去一次，老杨每隔7天去一次，三人星期二第一次在商店相会，下次相会是星期几?3.某公共汽车站有三条不同线路，1路车每隔6分钟发一辆，2路车每隔10分钟发一辆，3路车每隔12分钟发一辆，三路车在早上8点同时发车
13、后，至少再到什么时候又可以同时发车？解：【6，10，12】=60（分钟）8点+1小时=9点例题3、某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个；第二道工序每个工人每小时可完成12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？练习1. 有一个电子表，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子表既响铃又亮灯，请问下一次既响铃又亮灯的是几点钟？解：【9，60】=180（分钟）8060=3（小时）=下午3点练习2.某学校暑假期间安排王老师生4天值一次班，李老师每6天值一次班，张老师每8天值一次班，如果7月1日他们
14、三人同一天值班，下一次他们三人同一天值班是几月几日？解：【4，6，8】=247月1日+24天=7月25例题4、从小明家到学校原来每隔50米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是55根电线杆，现在改成每隔60米安装一根电线杆，除两端的两根不用移动外，中途还有多少根不必移动？练习：学校操场长96米，从一端起到另一端每隔4米插有一面小红旗。现在要改成每隔6米插一面红旗。问可以不必拔出来的小红旗有多少面？练习2、园林工人在一段公路的一边每隔4米栽一棵树，一共栽了17棵。现在要改成每隔6米栽一棵树。那么，不用移栽的树有多少棵？练习3.公路上一排电线杆，共25根。每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成
15、60米，可以有几根不需要移动？例题2：路一边有一排广告牌，原来每两个广告牌之间的距离是24米，现在改为36米。如果起点的一个广告不移动，至少每隔多少米又有一个广告牌不需要移动？练习1：林工人在公路的一旁栽树共61棵，每隔4米栽了一棵。现在要改成每隔6米栽一棵树，如果起点的一棵树不移栽，那么不用移栽的树共有多少棵？例题5、每筐梨，按每份两个梨分多1个，每份3个梨分多2个，每份5个梨分4个，则筐里至少有多少个梨？练习1：1个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，此数最小是几？练习：2.有一个自然数，被6除余1，被5除余1，被4除余1，这个自然数最小是几？3. 一个数除以7余
16、1，除以6余1，除以5余1，这个自然数最小是几？4. 一个数除以7余1，除以6余2，除以5余3，这个自然数最小是几？5. 一个数除以7余3，除以6余2，除以5余1”这个自然数最小是几6.有一批机器零件。每12个放一盒，就多出11个；每18个放一盒，就少1个；每15个放一盒，就有7盒各多2个。这些零件总数在300至400之间。这批零件共有多少个？5.把53块水果糖和49块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖剩3块，巧克力剩4块，这个组最多有几位同学？例题6、一次聚餐提供三种饮料，餐后统计三种饮料共用65瓶，平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料，请问参加聚餐的
17、有多少人？解：【2，3，4】=12（人） 122=6（瓶） 123=4（瓶） 124=3(瓶） 6+4+3=13（瓶） 6513=5 125=60（人）1.五（1）班和五（2）班两个班的同学去野炊，吃饭时，他们3人一个菜碗，4人一个汤碗，他们共用了28个碗，这两个班参加野炊的同学共有多少人？解：【3，4】=12 123=4 124=34+3=7 287=4124=482.小朋友吃饭，1人1个饭碗，2人1个菜碗，3人1个汤碗，一共需要33个碗。吃饭的小朋友一共有多少人？3. 上宝中学六1班同学去野炊 ，每人用一个饭碗 每3人用一个菜碗，每4个人用一个汤碗，最后统计下来他们一共用了76个碗。参加野
18、炊的同学共有多少人？设参加野炊的同学共有x人x+x/3+x/4=76(12+4+3)x/12=76x=76X1219x=4X12x=48人课堂练习1.一个数除200余4；除300余6；除500余10.求这个数最大是多少？2.若一个三位数，能同时被2，5整除，那么这个三位数最小是多少？最大是多少？3求24、60和132三个数，共有多少个公因数？其中最大的公因数是多少？4.有三根木棒，分别长12厘米，44厘米，56厘米，把它们都截成同样长的小棒（整厘米），不许有剩余，每根小棒最长能有多少厘米？5.一张长方形纸，长7分米5厘米，宽6分米，把它截成一块块相同的正方形。而且正方形边长为整厘米数，有几种截
19、法？如果要使截得的正方形面积最大，可以截多少块？6.一个数除150余6，除250余10，除350余14，这 个数最大是多少？7.有三根钢筋，分别长12分米，18分米、30分米，把它们都截成同样长的小段（整分米），不许有剩余，每小段最长是多少分米？8.有50个梨、75个苹果和100个桔子，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？每组中每样水果各几个？9一堆巧克力不到210个，平均分给6个同学余4个，平均分给5个同学余3个，平均分给7个同学余5个，这堆巧克力有多少个？9.34本笔记本至少去掉 4本，才能平均分给6个同学，至少增加 本，就正好平均分
20、给7个同学10.“六一”儿童节，幼儿园买来苹果64个，水果糖160颗，平均分给全班的小朋友，刚好全部分完，这个班最多有多少人？11.求下列各组数的最大公因数与最小公倍数，在（ ）里写每组的最大公因数，在 里写每组的最小公倍数 12.把一些糖果平均分给6个小朋友，正好剩1个；如果平均分给7个小朋友，也正好剩1个这些糖果至少有多少个？13.五年级一班人数不到60人，而且正好是20的倍数120本图书，能正好平均分给所有的同学，五年级一班可能有多少人？14.把40块饼干和30颗糖果平均分给一组同学，结果饼干还剩5块，糖果还余2颗这个小组最多有多少名同学？15. 如果把110块糖平均分给五（2）班同学，
21、则多5块；如果把210块糖平均分给这个班正好分完；如果把240块糖平均分给这个班同学，还少5块。五（2）班最多有多少个同学？16. 一次会餐共有三种饮料，餐后统计三种饮料共用65瓶，平均每2人饮用1瓶A饮料，每3人饮用1瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料。参加会餐的人数是多少？ 【课后作业】一、基础复习巩固1、是两个正整数，如果是的倍数，那么与的最大公因数是 ，最小公倍数是 2=225，235，和的最小公倍数是 3一个数能被3，4，5整除，这个数最小是 4一对互素数的最小公倍数是36，这两个数是 和 5判断题（对的打“”，错的打“”）： (1)几个数的最小公倍数是它们的最大公因数的倍数（ ） (2
22、)几个数的最大公因数一定比它们的最小公倍数小（ ） (3)若225，235则和的最小公倍数是120（ ）6. 34和68的最小公倍数是( ) (A)l (B) 34 (C)68 (D)1267如果正整数、，满足，那么和的最小公倍数是( ) (A) (B) (C) 5 (D) 不确定8一个正整数加上3能被12和15整除，这个数最小是( ) (A)57 (B) 60 (C)63 ( D) 1779直接写出下列各组数的最大公因数和最小公倍数： （1）3和8； （2）11和5； （3）22和88； （4）l和310用短除法求下列各组数的最小公倍数： （1）18和81； （2）45和54； （3）36和
23、6311求出下列各数对的最大公因数： (1)16和32 (2) 17和32. (3) 18和32 (4) 18和132 12，是互不相同的素数，如果甲数，乙数，那么甲、乙两数的最小公倍数是几13求12，14，16的最小公倍数1、最小的奇数加上最小的素数的和是 ；2、18的因数中，奇数有 个，偶数有 个；3、与任何一个正整数互素的数是 ；4、用一个数去除30、45、60都能整除，这个数最大是 ；5、从3、0、8、5中任选取几个数字，组成能被2整除的最大三位数是 ，能被5整除的最小的四位数是 。6、如果a和18的最大公因数是a，那么最小公倍数是 ；7、8和12的最小公倍数是 ；8、两个数最大公因数
24、是1，最小公倍数是26，则这两个数分别为 ；9、三个连续自然数的乘积是120，则这三个数的和为 ；10、一个合数的素因数含有10以内所有的奇数，这个合数最小是（ ）。11. 用5、7、8、0拼成一个四位数，使它是2的倍数，这个数可以是（ ），使它是5的倍数，这个数可以是（ ）。12、自然数可以分为（ ）。A奇数、偶数、合数B偶数、奇数、0 C质数、合数、1 D偶数、质数13、如果a表示自然数，那么2a一定是（ ）。A奇数B偶数C质数D合数14、求48和36的最大公因数和最小公倍数。15、某长途汽车站向北线每20分钟发一辆汽车，向南线每15分钟发一辆汽车，如果同时向两线发车，至少经过多少分钟又同时发车？16、一张长42厘米，宽30厘米的铁皮，要把它切割成若干块面积相等的正方形铁皮且没有剩余，切割成的正方形铁皮至少有几张？17、求24、30、48的最小公倍数18、已知甲数23357，乙数22557，求甲乙两数的最大公因数.19、某数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，满足以上条件的数有多少个？求最小的一个。20、三个连续自然数之和是63，这三个数各是多少？它们的最大公约数是多少
