1、四川大学常微分方程教案设计word文档良心出品【首页】课程名称常微分方程课程编号20122940授课专业数学学院年级大二必修课校级公共课（）；基础或专业基础课（2）;专业课（）课程类型选修课限选课（）;任选课（）授课方式课堂讲授（2）；实践课（；考核方式考试（2）;考查（；课程教学 总学时数68学分数学时分配课堂讲授56学时；习题课，测验等 12 学时教材名称常微分方程张伟年,杜正东,徐冰出版社及 出版时间高等教育出版社2006. 41V. I. Arnold （ 阿诺德），常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤 译,北京：科学出版社，1985.2蔡燧林,常微分方程,杭州：浙江大学出版社,1988
2、.3可选参考书丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版），北京：高等教育出 版社,2004.4金福临、李训经，常微分方程，上海：上海科学技术出版社 ， 1979. 林武忠、汪志鸣、张九超，常微分方程,北京：科学出版社，2003. 王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松，常微分方程（第二版）,北京: 高等教育出版社,1983.7王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社， 1963.8叶彦谦，常微分方程讲义（第二版），北京：人民教育出版社， 1982.注：表中（）选项请打“2”教学内容提要一、 问题的提出常微分方程的一般形式1） 函数方程（泛函方程）:2） 微分方程A常微分方程B偏微分方程3）
3、n阶常微分方程（n阶方程）二、 几个具体的例子例1物体作水平运动例2自由落体运动例3弹簧振子的水平自由运动例4天体运动中的二体问题例5几何问题三、 本讲习题教 学 重 点 与 难 点重点：了解常微分方程的一般形式，并通过具体实例来了解如何建立常 微分方程模型。习题 1.1, 1, 2.V. I. Arnold （ 阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北 京：科学出版社，1985.丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版）,北京：高等教育出版社， 2004.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社，1963.章 名称 授课 方式教 学 目 的 及 要 求第二讲： 1.2微分
4、方程求解思想理论课（2）;实践课（）；实习（）1.了解微分方程的精确解与近似解2.微分方程的几何分析3.给出微分方程形式的分类教学内容提要1.2.3.4.1.2.、计算与近似计算 微分方程的解 微分方程的通解与特解 初值问题（Cauchy问题） 近似解、几何分析积分曲线等倾线（isocii ne）水平等倾线，竖直等倾线1例例2、微分方程形式 隐式微分方程 规范形式 一阶方程 一阶微分方程组 线性微分方程一阶线性微分方程的规范形式 四、本讲习题1.2.3.4.教 学 重 点 与 难 点重点：1 了解微分方程的精确解与近似解 2掌握微分方程形式的分类难点：在不求出精确解的情况下对微分方程进行几何分
5、析作业：习题 1.2 1,2 ，5（2）.选作题：求以初速度V0在空气中铅直上抛的物体的运动方程，其中物体质量为m , 阻尼与速度的平方成正比，比例系数为k2.又问物体达到最高点的时间是 多少?V. I. Arnold （ 阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北 京：科学出版社，1985.丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版）,北京：高等教育出版社， 2004.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社，1963.教学内容提要一、 主要结果事实：微分方程的通解含有任意参数问题：给一个含有任意参数的函数，是否能找到一个微分方程， 使得这个函数正好是这个方程的解呢？定理二、
6、 证明思路I.Jacobi 行列式不为02.建立方程组3.求解参数补充：隐函数定理，联系数学分析相关知识。4.解与方程的对应三、 本讲习题1 了解一个微分方程的解中的参数与微分方程的解的关系；2给定任意一个函数能否找到一个微分方程使其的解正好是这 个函数？作业：习题 1.3 1(1)(3)选作题：平面上安放长度为2a的细磁棒，如果撒上一些小铁钉，他们将按磁场的 方向排列.可将细磁棒简化为放在两端点处的两个异性点磁荷，磁量分 别为+1和-1.试求出这个磁场满足的微分方程.进而，画出磁场的方向 场图并分析上面的积分曲线.V. I. Arnold ( 阿诺德),常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,
7、北 京：科学出版社，1985.丁同仁、李承治，常微分方程教程(第二版),北京：高等教育出版社， 2004.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社，1963.1.什么是方程的隐式解2.什么是变量分离形式的方程3.分离变量法4.常数变易法5.可化为变量分离形式方程的求解教学内容提要一、 初等积分法1初等积分法的定义2微分方程的隐式解二、 变量分离方程1变量分离形式方程2方程通解的求法3方程特解的求法例1例2三、 可化为变量分离方程的类型1 一阶线性微分方程常数变易法与常数变易公式例32 Bernoulli 方程例43齐次方程4线性分式形式的微分方程例5四、本讲习题作业：习题 2.1
8、1,2(1)(3)(9)(12), 3(2)(8)(14), 4(1)(6), 7(1)(3).选作题：一解y(x),下式y(x) yi(x)=C, y2(x)-yi(x)恒成立，其中C是某常数.V. I. Arnold ( 阿诺德),常微分方程，沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译，北 京：科学出版社，1985.丁同仁、李承治，常微分方程教程(第二版),北京：高等教育出版社， 2004.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社，1963.章节名称授课方式学目的及要求第五讲： 2.2恰当方程形式理论课（2）;实践课（）；实习（）1.2.3.4.5.什么是恰当方程如何判定微分方程是恰当的 如何寻
9、求恰当方程的解 如何使方程变得恰当 寻求特殊的积分因子教学内容提要一、 恰当方程1恰当方程（全微分方程）的形式与所满足的条件2首次积分提出两个问题1） 如何判断一个微分方程是否为恰当方程？2） 若方程是恰当的，如何寻求全微分的原函数？二、 恰当方程的判定定理定理 判定微分方程是恰当方程的充分必要条件例1二、积分因子法问题:有的方程即使是分组也无法看出它是恰当方程 .这时我们问:是否可以将方程做等式变形从而化成一个恰当方程呢1积分因子结论问题：如何来寻求这些积分因子？2特殊情况下的积分因子例23其它情况4进一步分析例3四、本讲习题教 学 重 点 与 难 点重点:2难点:1恰当方程的判定寻求积分因
10、子寻求积分因子作业：习题 22 1(2)(3)(5), 4(1)(3)(5), 5, 8选择题：岂=tan y - ex secy 有形如 ex cosy dxV. I. Arnold （ 阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北 京：科学出版社，1985.丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版）,北京：高等教育出版社， 2004.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社，1963.章 名称 授课 方式第六讲： 2.3隐式方程理论课（2）;实践课（）；实习（）教 学 目 的 及 要 求1隐式方程2.隐式方程的化简教学内容提要一、隐式方程1 一阶隐式方程的形式2求解思想将P
11、 看成独立的变量dx1)2)将代数方程F （x,y, p=0所定义的曲面参数化通过变量替换的方法把方程（1）化为导数已解出的显式方程 用上两节已给出的方法求解.3具体求解方法二、几类可解的特殊的隐式方程可以解出y的方程可以解出x的方程不显含y的隐式方程不显含x的隐式方程3)4)1234例1三、其他情形1隐式方程中可解出dX，例 22隐式方程轮不显含x,y，例 3教 学 重 点 与 难 点重点：隐式方程的求解教 学 手 段多媒体课件为主、黑板教学为辅V. I. Arnold （ 阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北 京：科学出版社，1985.丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版）
12、,北京：高等教育出版社， 2004.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社，1963.1方程的奇解与包络2.利用初等积分法求解一些特殊的高阶微分方程3.平面保守系统的轨道4.Riccati方程的解教学内容提要一、 奇解1曲线族的包络 包络的性质C-判别曲线例12方程的奇解3方程的奇解判别P -判别曲线例2二、 高阶微分方程 求解的基本思想：1）2）3）4）例3,例4三、 平面保守系统1 一个具体例子相平面，轨道，相图2更一般的情况四、 Riccati方程1Riccati方程的求解2一种特殊情况3结果五、 本讲习题教 学 重 点 与 难 点重点；1方程的奇解判别2高阶微分方程求解的
13、基本思想：作业：习题 2.4 1(2)(3),2(1)(2), 3(1)(9), 6.选作题：1）求解下列方程a） （dX）5-5（窘+1=02）试证若y=（x）是方程（x）siny的满足初始条件 珂0） = 0的解, dxw（x）三0,其中p（x）在-处x上连续.V. I. Arnold （ 阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北 京：科学出版社，1985.丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版）,北京：高等教育出版社， 2004.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社，1963.章 名称 授课 方式第八讲： 3.1存在性与唯一性理论课（2）;实践课（）；实习（）教
14、 学 目 的 及 要 求1深刻理解线性系统解的存在唯一性定理的理论意义2.理解线性系统解的存在唯一性是近似计算的前提3掌握线性系统的存在唯一性定理及其证明.教学内容提要一、 问题的提出解的存在性为方程的求解提供理论基础; 的存在唯一性是近似计算的前提。二、 存在唯一性定理定理三、 矩阵函数的性质四、 定理的证明证明共分五步完成小结五、 本讲习题教 学 重 点 与 难 点重点：线性系统解的存在唯一性定理难点：线性系统解的存在唯一性定理的证明作业：习题 3.1 1,2, 3.选作题: 设x（t）连续,且|x（t）M【；皿）0,其中L , M非负.试用逐步逼近法证明：|x(t)|LeM(tQ, ya
15、 t P.V. I. Arnold （ 阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北 京：科学出版社，1985.丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版）,北京：高等教育出版社， 2004.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社，1963.1.掌握齐次线性微分方程组解的叠加原理；2.理解向量函数线性相关和线性无关的概念3.掌握Wronski行列式；4.掌握Liouville 公式和Liouville 定理.教学内容提要一、 线性相关与无关的定义二、 解的叠加原理定理的证明思路三、 Wronski行列式四、 Liouville 定理1 Liouville 定理的证明2基解矩阵与
16、标准解矩阵的定义3初值问题的解说明：对Liouville 定理的一点解释五、 本讲习题重点：1齐次线性微分方程组解的叠加原理2 Liouville 公式和 Liouville 定理.作业：习题 3.2 3, 4.选作题: 设x(t) = A(t)x(t) , A是05周期连续的,且X(t)为基解矩阵,证明：X (t +00)也是基解矩阵且存在可逆矩阵 C ,使得X (t + ) = X (t)C .V. I. Arnold ( 阿诺德),常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北 京：科学出版社，1985.丁同仁、李承治，常微分方程教程(第二版),北京：高等教育出版社， 2004.王柔怀、伍卓群
17、，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社，1963.章 名称 授课 方式第十讲： 3.3非齐次线性方程组的通解理论课（2）;实践课（）；实习（）教 学 目 的 及 要 求1.深刻理解齐次与非齐次线性方程组解之间的关系2.掌握常数变易法；3.理解并学会使用常数变易公式.教学内容提要一、 通解结构二、 通解定理三、 常数变易法通解定理的证明 四、本讲习题教 学 重 点 与 难 点重点：常数变易公式及其应用难点：常数变易法作业：习题3.3 1, 3选作题: 设A(t)是区间ot,P上的nxn阶连续矩阵函数,f(t)是区间g,P上的 不恒为零的n维连续列向量.试证非齐次线性方程组x(t) = A(t)x
18、(t) + f(t)存在且至多存在n+1个线性无关的解。V. I. Arnold ( 阿诺德),常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北 京：科学出版社，1985.丁同仁、李承治，常微分方程教程(第二版),北京：高等教育出版社， 2004.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社，1963.章 名称 授课 方式第十一讲： 3.4高阶线性方程理论课（2）;实践课（）；实习（）教 学 目 的 及 要 求1.深刻理解高阶方程与一阶方程组解的区别和联系。2.掌握利用Liouville 公式降阶的方法。教学内容提要一、 高阶方程与一阶方程组1 n阶线性微分方程的一般形式 2齐次与非齐次的情况
19、二、 Wronski行列式定义三、 Liouville 定理四、 通解结构五、 例题六、 本讲习题教 学 重 点 与 难 点重点：高阶线性方程的解作业：习题 3.4 1,2, 3, 5选作题:不用Liouville 公式而直接用变量代换x = x1（t）y来对方程 芳+ai（t）罟+ a2（t）x降阶并证明其通解表达式.V. I. Arnold （ 阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北 京：科学出版社，1985.丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版）,北京：高等教育出版社， 2004.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社，1963.章 名称 授课 方式第十二讲：
20、 3.5复值解和级数解法理论课（2）;实践课（）；实习（）教 学 目 的 及 要 求1.深刻理解线性方程组的实值解与复值解的区别和联系。2.了解 Cauchy定理。3.掌握幕级数解法。教学内容提要一、 复值矩阵函数复值矩阵函数的定义 复值矩阵函数的求导与积分二、 复值线性方程组 定理1,定理2三、 Cauchy定理推论四、 幕级数解法五、 例题六、 本讲习题教 学 重 点 与 难 点重点:难点:1理解线性方程组的实值解与复值解的区别和联系 2微分方程的幕级数解法Cauchy定理的理解作业：习题 3.5 1,3, 4.选作题:2用幂级数法求方程（t2_2t）帑+5（-1厝+3x=0满足初值条件x
21、(1) =7 , x(1) =3 的解.V. I. Arnold （ 阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北 京：科学出版社，1985.丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版）,北京：高等教育出版社， 2004.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社，1963.章 名称 授课 方式第十三讲： 4.1齐次问题理论课（2）;实践课（）；实习（）教 学 目 的 及 要 求1.掌握Euler待定指数函数法。2.深刻理解齐次方程的基本解组的求解方法教学内容提要一、 微分方程的算子形式二、 齐次方程的基本解组 Euler待定指数函数法 定理1定理2推论三、 例题四、 本讲习题教
22、学 重 点 与 难 点重点：齐次方程的基本解组的求解方法分析振动方程教 学 手 段多媒体课件为主、黑板教学为辅V. I. Arnold ( 阿诺德),常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北 京：科学出版社，1985.丁同仁、李承治，常微分方程教程(第二版),北京：高等教育出版社， 2004.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社，1963.章 名称 授课 方式第十四讲： 4.2非齐次问题理论课（2）;实践课（）；实习（）教 学 目 的 及 要 求1.掌握多项式微分算子的逆算子的基本性质。2.深刻理解非齐次方程的特解的算子解法。教学内容提要一、 逆算子的基本性质三条性质二、 非齐
23、次方程的算子解法 定理i）ii）iii）三点注意事项 二、例题四、本讲习题教 学 重 点 与 难 点重点：逆算子的基本性质难点：非齐次方程的特解的算子解法作业：习题 4.2 1,(6),(8).选作题:d2 x dx证明Cauchy-Euler方程在适当的自变量代换下，能化为常系数线性齐次方程V. I. Arnold ( 阿诺德),常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北 京：科学出版社，1985.丁同仁、李承治，常微分方程教程(第二版),北京：高等教育出版社， 2004.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社，1963.1.掌握Euler指数函数法。2.掌握矩阵指数函数法。3.
24、深刻理解齐次方程组对应于不同的特征值，其基本解组的不同表达 形式。教学内容提要、矩阵指数函数引理二、齐次方程组的基本解组定理1-3 三、例题 四、本讲习题作业：习题 4.3 1, 3(3), (5), (7).选作题：给定齐次方程组x = Ax,证明若A的所有特征根实部都0 ,则所有解当tT K时趋于0 ;若实部都 0都有界；若A有一 个特征根实部0 ,则有解趋向无穷.V. I. Arnold （ 阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北 京：科学出版社，1985.丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版）,北京：高等教育出版社， 2004.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教
25、育出版社，1963.章 名称 授课 方式第十六讲： 4.4应用：机械振动理论课（2）;实践课（）；实习（）教 学 目 的 及 要 求了解一个具体例子教学内容提要关于弹性振动问题分成下列几种情况讨论一、 无阻尼自由振动物理解释，谐振动二、 有阻尼自由振动 有限运动，阻尼谐振三、 无阻尼强迫振动四、 有阻尼强迫振动 共振现象五、 本讲习题教 学 重 点 与 难 点重点：分析机械振动运动方程的解作业：习题 4.4 1,2.选作题：考虑一个由电感L ,电容C和电源E串联组成的简单闭合电路，其中E =E0Sin毗.试证当 = FC时，将发生共振现象，且当tT处时，电位差v（t）变得无界.V. I. Ar
26、nold （ 阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北 京：科学出版社，1985.丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版）,北京：高等教育出版社， 2004.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社，1963.1.掌握Picard存在唯一性定理及其证明。2.深刻理解Picard迭代法并与未来泛函分析学习相联系。3.思考与线性系统的存在唯一性定理的区别和联系。4.Picard存在唯一性定理的局限性：结果是局部的。教学内容提要一、 问题的提出二、 Lipschitz 条件的定义三、 Picard存在唯一性定理四、 定理的证明证明思想：Picard 逐步逼近法 证明分五步完成五
27、、 几何意义有具体图例六、 例题七、 本讲习题教 学 重 点 与 难 点重点：1 Lip schitz 条件的意义2 P icard 存在唯一性定理的证明与几何意义难点：思考与线性系统的存在唯一性定理的区别和联系。作业：习题 5.1 1, 3, 5, 8.选作题:一 dx试求初值问题一=P(t)x +Q(t), x(t0) = x0的Picard迭代序列，并通过求迭dt代序列的极限求出初值问题的解。V. I. Arnold ( 阿诺德),常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北 京：科学出版社，1985.丁同仁、李承治，常微分方程教程(第二版),北京：高等教育出版社， 2004.王柔怀、伍卓群
28、，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社，1963.章 名称 授课 方式第十八讲： 5.2 Peano存在性定理理论课（2）;实践课（）；实习（）教 学 目 的 及 要 求1.掌握Peano存在性定理及其证明.2.掌握Euler折线法及其与微分方程的近似解法的联系3.从函数空间的高度理解Ascoli-Arzela 弓I理.4.与Picard存在唯一性定理的比较.教学内容提要一、 Peano存在性定理二、 定理的证明思想：Euler折线法 Euler折线法的构造及其几何意义三、 一致有界与等度连续1 一致有界与等度连续的定义2对定义的进一步说明四、 Ascoli-Arzela 引理五、 Peano存在性定理的证明 分四步完成六、 &逼近解的定义七、 本讲习题教 学 重 点 与 难 点重点:难点:掌握Peano存在性定理及其证明掌握Euler折线法及其与微分方程的近似解法的联系试着从函数
