1、精华特殊平行四边形知识归纳和题型精讲 verygood四边形相关知识归纳和常见题型精讲性质和判定总表矩形菱形正方形的矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定有三个角是直角;是平行四边形且有一个角是直角;是平行四边形且两条对角线相等.四边相等的四边形；是平行四边形且有一组邻边相等；是平行四边形且两条对角线互相垂直。是矩形，且有一组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角。对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形一. 矩形矩形定义: 有
2、一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形).矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征)矩形性质1: 矩形的四个角都是直角矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分 如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=AC=BD因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半矩形的判定方法矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形判定
3、方法4： (4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形例1已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm求AD的长及点A到BD的距离AE的长 例2 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DFAE于F，若AE=BC 求证：CEEF 例3如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EFEC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长例4、如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F(1)求证：AB=CF；(2)当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由 二菱形菱形定义：有一组邻
4、边相等的平行四边形叫做菱形【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等菱形的性质性质1 菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形例1 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E 求证：AFD=CBE 例2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F求证：四边形AFCE是菱形 例3、如图，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC
5、的垂线与边AD、BC分别交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形.例4、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M，若AB=AE,EAD=2BAE。求证：AM=BE。例5 （10湖南益阳）如图，在菱形ABCD中，A=60,=4,O为对角线BD的中点，过O点作OEAB，垂足为E(1)求线段的长例6、（2008四川自贡）如图，四边形ABCD是菱形，DEAB交BA的延长线于E，DFBC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想例7、（2008山东烟台）如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1
6、）求证：BDEBCF； （2）判断BEF的形状，并说明理由；（3）设BEF的面积为S，求S的取值范围.三正方形正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）有一个角是直角的平行四边形 （矩形）正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：边：对边平行，四边相
7、等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质正方形的判定方法： (1)有一个角是直角的菱形是正方形； (2)有一组邻边相等的矩形是正方形 注意：1、正方形概念的三个要点： （1）是平行四边形； （2）有一个角是直角； （3）有一组邻边相等 2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形. 例1 已知：如图，正方形ABC
8、D中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DGAE于G，DG交OA于F求证：OE=OF 例2 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1l2，作BMl1于M，DNl1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点求证：四边形PQMN是正方形例3、（2008海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证： PE=PD ； PEPD；（2）设AP=x, PBE的面积为y. 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值. 例4（2006年河南省）如图，梯形ABCD中
9、，ADBC，AB=AD=DC，E为底边BC的中点，且DEAB，试判断ADE的形状，并给出证明例5：（2008深圳）如图，在梯形ABCD中，ABDC， DB平分ADC，过点A作AEBD，交CD的延长线于点E，且C2E（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形（2）若BDC30，AD5，求CD的长例题讲解例一.分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在RtABD中，由勾股定理：，解得x=6 则 AD=6cm（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形
10、，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AEDB ADAB，解得 AE 4.8cm例二分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AFBE，则问题解决，而证明AFBE，只要证明ABEDFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形 证明： 四边形ABCD是矩形， B=90，且ADBC 1=2 DFAE， AFD=90 B=AFD又 AD=AE， ABEDFA（AAS） AF=BE EF=EC此题还可以连接DE，证明DEFDEC，得到EFEC菱形 例1 证明：四边形ABCD是菱形， CB=CD， CA平分BCD BCE=DCE又 CE=CE， BCECOB（SAS
11、） CBE=CDE 在菱形ABCD中，ABCD， AFD=FDCAFD=CBE例2 证明： 四边形ABCD是平行四边形， AEFC 1=2又 AOE=COF，AO=CO， AOECOF EO=FO 四边形AFCE是平行四边形又 EFAC， AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)例6、解：DEDF 证明如下：连结BD四边形ABCD是菱形CBDABD(菱形的对角线平分一组对角)DFBC，DEABDFDE(角平分线上的点到角两边的距离相等)例7 、正方形 例1 分析：要证明OE=OF，只需证明AEODFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到AOE=DOF=90，AO=DO，再由同
12、角或等角的余角相等可以得到EAO=FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得 证明： 四边形ABCD是正方形， AOE=DOF=90，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）又 DGAE， EAO+AEO=EDG+AEO=90 EAO=FDO AEO DFO OE=OF例2 分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证ABMDAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP即可证出MN=NP从而得出结论证明： PNl1，QMl1， PNQM，PNM=90 PQNM， 四边形PQMN是矩形 四边形ABCD是正方形 BAD=ADC=90，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角
13、都是直角） 1+2=90又 3+2=90， 1=3 ABMDAN AM=DN 同理 AN=DP AM+AN=DN+DP即 MN=PN 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）例3 （1）证法一： 四边形ABCD是正方形，AC为对角线， BC=DC, BCP=DCP=45. PC=PC， PBCPDC （SAS）. PB= PD， PBC=PDC. 又 PB= PE ， PE=PD. （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时， PB=PE， PBE=PEB， PEB=PDC， PEB+PEC=PDC+PEC=180， DPE=360-(BCD+PDC+PEC)=90， PEP
14、D. ）（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PEPD.（iii）当点E在BC的延长线上时，如图. PEC=PDC，1=2， DPE=DCE=90， PEPD.综合（i）（ii）（iii）, PEPD. （2） 过点P作PFBC，垂足为F，则BF=FE. AP=x，AC=， PC=- x，PF=FC=. BF=FE=1-FC=1-()=. SPBE=BFPF= (). 即 (0x). . 0， 当时，y最大值. （1）证法二： 过点P作GFAB，分别交AD、BC于G、F. 如图所示. 四边形ABCD是正方形， 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，AGP和PFC都是等腰直角
15、三角形. GD=FC=FP，GP=AG=BF，PGD=PFE=90. 又 PB=PE， BF=FE， GP=FE， EFPPGD （SAS）. PE=PD. 1=2. 1+3=2+3=90. DPE=90. PEPD. （2） AP=x， BF=PG=，PF=1-. SPBE=BFPF= (). 即 (0x). . 0， 当时，y最大值. (注：用其它方法求解参照以上标准给分.)例4 【解析】ADE是等边三角形 理由如下：AB=CD，梯形ABCD为等腰梯形， B=C E为BC的中点， BE=CE 在ABE和DCE中， ABEDCE AE=DE ADBC，DEAB， 四边形ABCD为平行四边形 AB=DE AB=AD， AD=AE=DE ADE为等边三角形例5：（1）证明：AEBD, EBDC DB平分ADC ADC2BDC 又C2E ADCBCD 梯形ABCD是等腰梯形 （2）解：由第（1）问，得C2E2BDC60，且BCAD5 在BCD中，C60, BDC30DBC90DC2BC10完
