1、第八届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛试题doc第八届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛试题一、 填空（每题10分）：1、2、长方形草地ABCD被分为面积相等的甲、乙、丙和丁四份（如右图），其中图形甲的长和宽的比是a：b=2：1，其中图形乙的长和宽的比是（ ）：（ ）。3、乘火车从甲城到乙城，1998年初需要19.5小时，1998年火车第一次提速30，1999年第二次提速25，2000年第三次提速20。经过这三次提速后，从甲城到乙城乘火车只需（ ）小时。4、埃及著名的胡夫金字塔高146.7米，正方形底座边长为230.4米。假定建筑金字塔所用材料全部是石灰石，每立方米重2700千克，那么胡夫金字塔的总量是
2、（ ）千克。（结果保留一位小数）5、甲乙两人从A地到B地，甲前三分之一路程的行走速度是5千米/小时，中间三分之一路程的行走速度是4.5千米/小时，最后三分之一的路程的行走速度是4千米/小时；乙前二分之一路程的行走速度是5千米/小时，后二分之一路程的行走速度是4千米/小时。已知甲比乙早到30秒，A地到B地的路程是（ ）千米。6、有很多方法能将2001写成25个自然数（可以相同，也可以不相同）的和，对于每一种分法，这25个自然数均有相应的最大公约数，那么这些最大公约数中的最大值是（ ）。二、 解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分）：7、能否找到自然数a和b，使8、AB两地相距120千米，已知
3、人的步行速度是每小时5千米，摩托车的行驶速度是每小时50千米，摩托车后座可带一人。问有三人并配备一辆摩托车从A地到B地最少需要多少小时？（保留一位小数）9、6个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左右相邻的两个人。然后每个人把左右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮出来，如右图所示。问亮出数11的人原来心中想的数是多少？10、2001个球平均分给若干人，恰好分完。若有一人不参加分球，则每人可以多分2个，而且球还有剩余；若每人多分3个，则球的个数不足。问原来每人平均分到多少个球？三、解答（要求写出解答过程）（每题10分） 11、某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水4吨以下，每吨1.80元
4、；当超过4吨时，超过部分每吨3.00元。某月甲、乙两户共交水费26.40元，用水量之比为5：3.问甲、乙两户各应交水费多少元？12、电子跳蚤游戏盘（如右图）为三角形ABC，AB=8，AC=9，BC=10，如果电子跳蚤开始时在BC边上P0点，BP0=4.第一步跳蚤跳到AC边上P1点，且CP1=CP0；第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点，且AP2=AP1；第三步跳蚤从P2跳回到AC边上P3点，且BP3=BP2；跳蚤按上述规则跳下去，第2001次落点为P2001，请计算P0与P2001之间的距离。第七届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛试卷解答1. 计算(1.6-1.125 + 8(3/4)37(1/6)
5、 + 52.3(3/41)答:4(13/164)。解:原式=(1(2/3) - 1(1/8) + 8(3/4) (223/6) + (157/3) (3/41)= (223/24) (6/223)+ 3(34/41)=(1/4) + 3(34/41)=4(13/164)2. 1999年2月份,我国城乡居民储蓄存款月末余额是56767亿元,&127;比月初余 额增长18%,那么我国城乡居民储蓄存款2月份初余额是( )亿元 (精确到亿元)。答:48108亿元。解: 56767(1+18%)48108(亿元)3. 环形跑道周长400米,甲乙两名运动员同时顺时针自起点出发,甲速度是 400米/分,乙速
6、度是375米/分。( )分后甲乙再次相遇。答:16分钟。解:400(400-375)=16(分钟)注:追及路程是跑道一圈的长度,&127;再次相遇应把出发时看作第一次相遇。4. 2个整数的最小公倍数是1925,这两个整数分别除以它们的最大公约数, 得到2个商的和是16,这两个整数分别是( )和( )。答:175和385。解:这两个数分别除以最大公约数后所得到的商一定互质,而两个商的和是16,则有如下情形(1,15)、(3,13)、(5,11)、(7,9)。而(511)1925,因此最大公约数为1925(511)=35,&127;这两个数分别是535=175,1135=385。5. 数学考试有一
7、题是计算4个分数(5/3) ,(3/2) ,(13/8) ,(8/5)的平均值,小明很粗心,把其中1个分数的分子和分母抄颠倒了。抄错后的平均值和正确的答案 最大相差( )。答:(4/15)解:要使得两次的平均值相差最大,则抄错的数与原数的差应尽量的大,这里我们通过计算,看哪一对的差最大。(5/3) - (3/5) = 1(1/15)(3/2) - (3/2) = (5/6)(13/8) - (8/13) = 1(1/104)(8/5) - (5/8) = (39/40)经比较,最大的差是1(1/15),则平均值相差:1(1/15) 4 = (4/15)6. 果品公司购进苹果5.2万千克,每千克
8、进价是0.98元,付运费等开支1840 元,预计损耗为1%,。如果希望全部进货销售后能获利17%。每千克苹果 零售价应当定为( )元。答:1.2元。解:(1)成本是多少元?0.985.210000+1840=52800(元)(2)损耗后的总量是多少?52000(1-1%)=51480(千克)(3)最后总价为多少元?52800(1+17%)51480=1.2(元)7. 计算:19+199+1999+19999991999个9 答:222 202211996个2 解:原式=(20-1)+(200-1)+(2000-1)+(200 0-1)1999个0=222 20-1999 1999个2=222
9、202211996个28. 新新商贸服务公司,为客户出售货物收取3%的服务费,代客户购物 品收取2%服务费。今有一客户委托该公司出售自产的某种物品和代为 购置新设备。已知该公司共扣取了客户服务费264元,客户恰好收支平衡,问所购置的新设备花费了多少元?答:5121.6元。解:设代购置新设备价格为X元,代售货物为X+264元,&127;根据题意列方程有:2%X+3%(X+264)=264解得X=5121.69. 一列数,前3个是1,9,9以后每个都是它前面相邻3个数字之和除以3所得 的余数,求这列数中的第1999个数是几?答:0。 解:将这列数从前至后开始排列:1,9,9,1,1,2,1,1,1
10、,0,2,0,2,1,0,0,1,1, 这列数除去前面的三个数列,其每13个数为一周期。而(1999-3)13=1537周期中第7个数是0。10. 将1-9这九个数字填入右图9个圆圈中,使每个三角形和直线上的3个数 字之和相等(写出一个答案即可)。答:如图是一种方法。解:因为1+2+3+9=45453=15这就是说每个三角形和每条直线上的三个数之和都是15。11. 如右图,在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞,在上下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知正方体边长为10厘米, 侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形,上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆,求右图立体的表面积和体积?(取=3.14
11、)答:表面积785.12平米,体积为668.64立方厘米。解:表面积: 1026-424-3.1422+44(10-4)222+3.1422(10-4)=785.12(平方厘米)体积:103-42102+43-(10-4)223.14=668.64(立方厘米)12. 九个边长分别为1,4,7,8,9,10,14,15,18的正方形可以拼成一个长方 形,问这个长方形的长和宽是多少?请画出这个长方形的拼接图。答:长方形的长和宽分别是33和32。解:12+42+72+82+92+102+142+152+182=1056总面积设1056=AB,A,B(18+15)=33而1056=3233,因此长与宽
12、为33和32时符合要求。 第七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题1、把1999分成两个质数的和，有多少种方法。2、澳门人口43万，90%居住在半岛上，半岛面积7平方千米，求半岛上平均每平方千米有多少万人?(取两位小数)3、某人去年买一种股票,当年下跌了20%,今年应上涨百分之几，才能保持原值。4.某个月里有三个星期日的日期为偶数,请推算出这个月的15日是星期几?5.火树银花楼七层,层层红灯倍加增,共有红灯三八一,试问四层几红灯?6.左下图是由9个等边三角形拼成的图形,已知中间最小的等边三角形的边长是1,求这个六边形的周长是多少?7.一个正六边形的苗圃,用平行于苗圃边缘的直线,把它分成许多相
13、等的正三角形,在三角形的顶点上都栽种上树苗,已知苗圃的最外面一圈栽有90棵，请问苗圃中共栽树苗多少棵?8.甲、乙、丙三所小学人数的总和为1999,已知甲校学生人数的两倍,乙校学生人数减3,丙校学生人数加4都是相等的。问甲、乙、丙各校学生人数是多少?9.小明爷爷的年龄是一个两位数,将此两位数的数字交换得到的数就是小明爸爸的年龄,他俩年龄之差是小明年龄的4倍,求小明的年龄?10.用10块长7厘米,宽5厘米,高3厘米的长方体积木拼成一个长方体,问这个长方体的表面积最小是多少?11.时钟的时针和分针在6点钟恰好反向成一条直线,问下一次反向成一条直线是什么时间?(准确到秒)试题解答1、 答案：1种。解：
14、在所有的质数中，只有2是偶数，其它都是奇数。1999是奇数，不可能分成两个奇质数的和，一定是一奇一偶的情形。(199921997)此题有唯一的解。注：本题的实质是考察在质数中只有一个是偶数，另外奇数分成两个整数的和只能是一个是奇数，另一个是偶数，懂得了这个道理，问题便迎刃而解。2、 答案：5.53万人。 解：先求半岛上共有多少万人：4390%38.7(万人)再求平均每平方千米的人数是多少?38.775.53(万人)综合算式:4390%75.53(万人)注：本题是一道简单的应用题，只是要求我们计算时要准确、迅速。3、 答案：25% 解：设某人去年买股票A元,下跌后剩下A(120%)4/5 A(元
15、) 如果今年上涨X%才能保值,那么(4/5)A(1X%)=A1+X%=1(1/4)X%=25%注:1(1/4)表示一又四分之一。这道题如果我们灵活地“设计”数据,假设某人去年买股票100元,下跌20%后,剩下80元,再求100比80多百分之几?(100-80)/8025%,25%就是今年应上涨的百分率。4. 答案:星期六。解:每个月里,日期为偶数的编号从小到大依次排列为2,4,6,28或(30)。 我们不妨设这个月的2号是星期日,那么,本月的16号,30号都是星期日,这是符合要求的。因此,这个月的15号是星期六。注:一个月最多只有31天,事实上,如果这个月的4号是星期日,那么第三个星期日就是4
16、+28=32(号),这与实际不相符,懂得了这个道理,对于这道题就能准确、迅速地作出判断。5. 答案:第四层有红灯24盏。解:这首诗告诉我们,七层楼上红灯数目呈倍数递增,为了求出第四层上红灯的数目,我们可先分解381。381=3127而127=27-1=1+2+4+8+16+32+64各层上的红灯数从上到下依次是：第七层:31第六层:32第五层:34第四层:38第一层:364因此,第四层上的红灯数为38=24(盏)。注: 27表示二的七次方。分解质因数可找到解答本题的突破口。6. 答案:30。 解:设下图中等边三角形ABC的边长为a,按顺时针方向,六边形所在的正三角形2,3,4,5,6,8的边长
17、依次是:2号:a+1,3号:a+1,4号:a+2,5号:(a/2)+1,6号:(a/2)+1,8号:(a/2)+2。由于编号8的正三角形的边长是(a/2)+2,它与所设三角形ABC的边长a相等, 这样可求得a的值:(a/2)+2=a,解得a=4。这样,六边形的周长为:a+(a+1)+(a+1)+(a+2)+(a/2)+1+(a/2)+1+(a/2)+2 =5(1/2)a+8=5(1/2)4+8=30 注:5(1/2)表示五又二分之一。这道题通过“形”的组合,隐藏并反映“数”的等量关系,找出等量关系后,使题目容易求解。7.答案:721棵。 解:由正六边形苗圃的最外面一圈栽有90棵树苗,可求得每边
18、(外围)上的树苗为: 906=15(棵) 我们将正六边形分成六个相同的小正三角形: (如右图三角形ABC),每个正三形 里种有树苗: 15+14+13+2+1=120(棵) 六个三角形共种有树:1206=720(棵) 但中心点还种有一棵树,因此苗圃中共种有树苗720+1=721(棵)。 注:同学们知道等差数列求和的计算方法,这道题相当于告诉了等差数列的末项,需灵活地求出它的首项和项数,另外不可忽视正六边形的中点,对于这道题,还有另外的解法。如:90+(90-61)=(90-62)+(90-63)+(90-614)+1=721(棵)。8. 答案:甲400,乙803,丙796。 解:设相等时的人数
19、为A,那么甲、乙、丙各校的人数分别为: 甲(1/2) A人,乙(A+3)人,丙(A4)人。 根据题意列方程得: （1/2)A+(A+3)+(A-4)=1999 解得A=800 甲校人数800(1/2)=400(人) 乙校人数800+3=803(人) 丙校人数800-4=796(人) 注:依甲、乙、丙三所小学相等时的人数,通过逆推,用分别含有一个相同字母的式子表示各校的人数列出方程,是解答本题的技巧。9. 答案:9岁。 解:设小明爷爷的年龄为两位数,则他爸爸的年龄为,那么有4能整除(-) 也就是4能整除9(A-B) 当A-B=4时,小明年龄为944=9(岁) 当A-B=8时,小明984=18(岁
20、) 爷爷91岁,爸爸19岁,不符合要求。 因此,小明的年龄是9岁。 注:解答本题的关键是求一个两位数,交换数位顺序后所得到的新两位数与原数的差能被4整除。10. 答案:650平方厘米。 解:把这10块积木拼成如下情形,其表面积不是最小的。 要使长方体的表面积尽量的小,必须使拼成的长方体重合的面积尽量的大。如果能够 拼成正方体或接近正方体时,其表面积较小。拼完后,长方体的体积为:35710 =357(25) 这里我们注意长方体的长,宽,高尽量的靠近。23557=7(25)(35)=71015 如图拼法:其表面积为:(710+1015+715)2=650(平方厘米) 注:解答本题的关键是懂得一个道
21、理：当体积一定时,正方体的表面积比长方体的表面积小。11. 答案:7点5分27秒。 解:当下一次时针与分针反向成一条直线时,分针比时针多行一圈。 我们知道,一圈有360,不妨设计一种追及路程为度的方法: 时针每分行360(1/12) (1/60)=0.5 分针每分行360(1/60)=6 追及“路程”为360 追及时间:360(6-0.5)=65(5/11)(分) 65(5/11)=1小时5分27秒,下一次时针与分针恰好反向成一条直线的时间是7点5分27秒。 注：65(5/11)表示六十五又十一分之五。第六届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（1997年3月8日）1.香港回归祖国之日是星期几？今
22、天距回归之日还有多少天？2.请计算：。3.三角形的面积是24平方厘米，斜边长10厘米，将它以O点为中心旋转90o，问三角形扫过的面积是多少？（取3.14）4.甲、乙两个天平上都放着一定重量的物体，问：哪一个是平衡的？5.中山商场销售的名人系列笔记本电脑，按台数统计每月销售量平均增长20%，1996年12月份销售了120台，按次速度下去，预计1997年3月份比一月份多销售多少台？（按四舍五入计算）。6.编号为1、2、3的三只蚂蚁分别举起一个重物。问：金、银、铜奖牌分别发给几号蚂蚁？7.一辆汽车的速度是每小时50千米，现有一块每5小时慢2分的表，若用该表计时，测得这辆车的时速是多少？（得数保留一位
23、小数）8.歌德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”。问：168是哪两个两位的质数之和，并且其中的一个的个位数字是1？9.右图中有九个空格，要求每个格中填如互不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三格数之和都相等。问图中左上角的数是多少？10.某工厂原用长4米，宽1米的铁皮围成无底无顶的正方体形状的产品存放处，恰好够放一周的产品。现在产量增加了27%，问：能否还用原来的铁皮围成存放处，装下现在一周的产品？11.甲管注水速度是乙管注水速度的一倍半，同时开放甲、乙两个水管向游泳池注水，12小时可注满。现在先开甲管向游泳池注水若干小时，剩下的由乙管注9小时将游泳池注满，问：甲
24、管注水时间是多少？12.用棱长是1厘米的立方块拼成如图所示立体图形，求该图形的表面积。13.威力集团生产的某种洗衣机的外形是长方体，装衣物部分是圆柱形的桶，直径40厘米，深36厘米，已知该洗衣机装衣物的空间占洗衣机总体积的25%，长方体外形的长为52厘米，宽50厘米。问，高是多少厘米？（按四舍五入计算，取3.14）14.在分母小于15的最简分数中，比大并且最接近的是哪一个？15.在周长为200米的圆形跑道一条直径的两端，甲、乙两人分别以每秒6米、5米的骑车速度同时同向出发，沿跑道行驶。问：16分钟内，甲追上乙多少次？16.右图中AD=AC ，三角形CDE的面积是三角形ABC的一半。问：BE的长
25、是BC的几分之几？第五届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题(1993年3月9日9：009：20中央电视台播送) 1一个成年人平均每分钟呼吸16次，每次吸入500立方厘米空气.问：他在一昼夜里吸人多少立方米空气? 2右面是一个乘法算式： 问：当乘积最大时，所填的四个数字的和是多少？3某部84集的电视连续剧在某星期日开播，从星期一到星期五以及星期日每天都要播出1集，星期六停播。问：最后一集在星期几播出? 4.计算：5.用下面写有数字的四张卡片排成四位数。问：其中最小的数与最大的数的和是多少?6甲、乙两人在河中先后从同一个地方同速同向游进。现在甲位于乙的前方，乙距起点20米；当乙游到甲现在的位置时，甲
26、已离起点98米。问：甲现在离起点多少米?7. 有面值为1分，2分，5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。问：有多少种不同的支付方法? 8有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水。甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢。问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米?9甲、乙、丙三个学生在外午餐，共买了1斤4两包子。甲没有带钱，由乙和丙分别付了买8两和6两包子的钱。甲、乙吃的一样多，丙比乙多吃了1两。第二天，甲带来他应付的2元3角4分。问：其中应付给丙多少钱?10如图2，图中的曲线是用半径长度的比为2：1.
27、5：0.5的6条半圆曲线连成的。问：涂有阴影的部分与未涂阴影的部分的面积比是多少? 11. 小明今年的年龄是他出生那年的年份的数字之和。问：他今年多少岁?12图3是一个园林的规划图，其中，正方形的34是草地；圆的67是竹林；竹林比草地多占地450平方米。问：水池占地多少平方米?1350名学生面向老师站成一行，按老师口令从左至右顺序报数：1，2，3，。报完后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转。接着又让所报的数是6的倍数的同学向后转。问：现在仍然面向老师的有多少名同学? 14图4中的大圆盖住了小圆的一半面积。问：在小圆内的大圆的弧线AMB的长度和小圆的直径相比，哪个比较长一些？15在两位数10
28、，11，98，99中， 将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加一个小数点，其余的数不变。问：经过这样改变之后，所有数的和是多少? 16某人连续打工24天，赚得190元(日工资10元，星期六做半天工，发半工资，星期日休息，无工资)。已知他打工是从1月下旬的某一天开始的，这个月的1号恰好是星期日。问：这人打工结束的那一天是2月几日? 答案（1） 11.52立方米 （2） 24 （3） 最后一集在星期五播出 （4） 三又二分之一 （5） 11517 （6） 59米 （7） 5种 （8） 0.5厘米 （9） 0.36元（10）5/11 （11） 21岁 （12） 150平方米（13）38名 （14）
29、 大圆的弧线长一些 （15）4316.4 （16） 2月18日第4届华杯少年数学邀请赛决赛第二赛试题以及答案（1）互为反序的两个自然数的积是92565，求这两个互为反序的自然数。（2）某工厂的一个生产小组，生产一批零件，当每个工人在自己原岗位工作时，9小时可完成这项生产任务。如果交换工人A和B的工作岗位，其它工人生产效率不变时，可提前一小时完成这项生产任务；如果交换工人C和D的工作岗位，其它工人生产效率不变时，也可以提前一小时完成这项生产任务。问： 如果同时交换A与B，C与D的工作岗位，其它工人生产效率不变，可以提前几分割完成这项生产任务？（3）某校学生中，没有一个学生读过学校图书馆的所有图书，又知道图书馆内任何两本书至少被一个同学都读过，问：能不能找到两个学生甲、乙和三本书A、B、C，甲读过A、B，没读过C，乙读过B、C
