1、中考数学复习专题一元二次方程2020年中考数学复习专题一元二次方程知识点归纳1一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”例1观察下列一组方程：x2x0；x23x+20；x25x+60；x27x+120；它们的根有一定的规律，都是
2、两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”（1）若x2+kx+560也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；（2）请写出第n个方程和它的根【分析】（1）直接利用连根一元二次方程得出k的值；（2）利用因式分解法得出符合题意的值【解答】解：（1）由题意可得：k15，则原方程为：x215x+560，则（x7）（x8）0，解得：x17，x28；（2）第n个方程为：x2（2n1）x+n（n1）0，（xn）（xn+1）0，解得：x1n1，x2n【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法以及新定义，正确得出规律是解题关键2一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于
3、x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）这种形式叫一元二次方程的一般形式其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式例2已知关于x的一元二次方程（m1）x2+5x+m23m+20的常数项为0（1）求m的值；（2）求此时一元二次方程的解【分析】（1）直接利用常数项为0，进而得出关于m的等式进而得出答案；（2）利用（1）中所求得出方
4、程的解【解答】解：（1）由题意，得：m23m+20解之，得m2或m1，由m10，得：m1，由，得：m2；（2）当m2时，代入（m1）x2+5x+m23m+20，得x2+5x0，x（x+5）0解得：x10，x25【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键3一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c
5、=0（a0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量ax12+bx1+c=0（a0），ax22+bx2+c=0（a0）例3在一元二次方程x22ax+b0中，若a2b0，则称a是该方程的中点值（1）方程x28x+30的中点值是4（2）已知x2mx+n0的中点值是3，其中一个根是2，求mn的值【分析】（1）根据方程的中点值的定义计算；（2）利用方程的中点值的定义得到m6，再把把x2代入x2mx+n0计算出n的值，然后计算mn【解答】解：（1）（）2313，方程x28x+30的中点值为4；故答案为4；（2）3，m6，把x2代入x2mx+n0得462+n0，解得n8，mn6848【点
6、评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解4估算一元二次方程的近似解用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根例4可以用如下方法估计方程x2+2x100的解：当x2时，x2+2x1020，当x5时，x2+2x1050，所以方程有一个根在5和2之间（1）仿照上面的方法，找到方程x2+2x100的另一个根在哪两个连续整数之间；（2）若方程x2+2x+c0有一个根在0和1之间，求c的取值范围【分析】（1）分别计算出x2和x3时x2+2x10的值即可得出答案；（2）
7、根据方程x2+2x+c0有一个根在0和1之间知或，解之可得【解答】解：（1）当x2时，x2+2x1020，当x3时，x2+2x1050，方程的另一个根在2和3之间；（2）方程x2+2x+c0有一个根在0和1之间，或，解得：3c0【点评】本题主要考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是理解题意，并熟练掌握近似解的估算办法5. 解一元二次方程-直接开平方法形如x2=p或（nx+m）2=p（p0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=；如果方程能化成（nx+m）2=p（p0）的形式，那么nx+m=注意：等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个
8、非负数降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程方法是根据平方根的意义开平方例5解方程：（y+2）260【分析】先把给出的方程进行整理，再利用直接开方法求出解即可【解答】解：（y+2）260，（y+2）212，y+22，y122，y222【点评】此题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键6. 解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法（2）用配方法解一元二次方程的步骤：把原方程化为ax2+bx+c=0（a0）的形式；方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右
9、边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解例6解方程：（1）（2）2x24x+10【分析】（1）先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可；（2）移项，系数化成1，配方，开方，即可的两个方程，求出方程的解即可【解答】解：（1）方程两边都乘以x（x4）得：3x4+x（x4）x（x2），解得：x4，检验：当x4时，x（x4）0，所以x4不是原方程的解，即原方程无解；（2）2x24x+10，2x24x1，x22x，x22x+1+1，（x1）2，
10、x1，x1，x2【点评】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，能把分式方程转化成整式方程是解（1）的关键，能正确配方是解（2）的关键7. 解一元二次方程-公式法（1）把x=-bb2-4ac2a（b2-4ac0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；求出b2-4ac的值（若b2-4ac0，方程无实数根）；在b2-4ac0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：a0；b2-4ac0例
11、7解方程：（1）2x2+4x10（2）（x3）22（43x）【分析】（1）根据公式法即可求出答案（2）先将方程化为一般式，然后根据一元二次方程的解法即可求出答案【解答】解：（1）2x2+4x10，a2，b4，c1，16+824，；（2）原方程化为：x2+10，原方程无解【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型8. 解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的
12、形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解例8用合适的方法解方程：4x2x3【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程【解答】解：4x2x34x2x30，（4x+3）（x1）0，4x+30或x10，x1，x21【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为0
13、，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）9. 换元法解一元二次方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候
14、要通过变形才能发现把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的例9阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n21）80，试求2m2+n2的值解：设2m2+n2t，则原方程变为（t+1）（t1）80，整理得t2180，t281，t9因为2m2+n20，所以2m2+n29上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程已知实数x，y满足（4x2+4y2+3）（4x2+4y23）27，求x2+y2的值【分析】设tx2+y2（t0），则原方程转化为（
15、4t+3）（4t3）27，然后解该方程即可【解答】解：设tx2+y2（t0），则原方程转化为（4t+3）（4t3）27，整理，得16t2927，所以t2t0，tx2+y2的值是【点评】考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理10. 根的判别式利用一元二次方程根的判别式（=b2-4ac）判断方程的根的情况一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b2-4ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0时，方程有两个相等的两个
16、实数根；当0时，方程无实数根上面的结论反过来也成立例10已知关于x的一元二次方程ax2+bx+30，当ba+3时，请判断此方程根的情况【分析】先计算出判别式的值，再把ba+3代入得到（a+3）212a（a3）20，然后根据判别式的意义判断方程根的情况【解答】解：b24a3b212a，而ba+3，所以（a+3）212a（a3）20，所以方程有两个实数根【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根11. 根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，
17、x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=-（x1+x2），=x1x2（3）常用根与系数的关系解决以下问题：不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等判断两根的符号求作新方程由给出的两根满足的条件，确定字母的取值这类
18、问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a0，0这两个前提条件例11已知ABC的一条边BC的长为5，另两边AB，AC的长分别为关于x的一元二次方程x2（2k+3）x+k2+3k+20的两个实数根（1）无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）当k2时，请判断ABC的形状并说明理由；（3）k为何值时，ABC是等腰三角形，并求ABC的周长【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；（2）将k的值代入原方程并求解后，根据勾股定理逆定理即可求出答案；（3）根据等腰三角形的性质即可求出k的值【解答】解：（1）（2k+3）24（k2+3k+2）10，无论k为何值，方程总有两个不相等的实
19、数根；（2）当k2时，原方程化为：x27x+120，解得：x3或x4，32+4252，ABC是直角三角形；（3）当BC是等腰三角形的腰时，x5是方程的x2（2k+3）x+k2+3k+20解，255（2k+3）+k2+3k+20，解得：k27k+120，k3或k4，若k3时，则方程为：x29x+200，x4或x5，满足三角形三边关系，此时周长为14；若k4时，则方程：x211x+300，x5或x6，满足三角形三边关系，此时周长为16；当BC是等腰三角形的底边时，此时方程的x2（2k+3）x+k2+3k+20有两个相等的解，不满足题意，综上所述，ABC的周长为14或16；【点评】本题考查一元二次方
20、程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型12. 由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程例12南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？（1）解：方法1：设每千克特产应降价x元
21、，由题意，得方程为（60x40）（100+10x）2240；方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为：（x40）100+10（60x）2240（2）请你选择一种方法，写出充整的解答过程【分析】（1）方法1：设每千克特产应降价x元，利用销售量每件利润2240元列出方程求解即可；方法2：设每千克特产降价后定价为y元，利用销售量每件利润2240元列出方程求解即可（2）利用（1）中所列方程求出答案【解答】解：（1）方法1：设每千克特产应降价x元 根据题意，得（60x40）（100+10x）2240方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得（x40）100+10（60x）2240，故答
22、案为：（60x40）（100+10x）2240，（x40）100+10（60x）2240；（2）方法1：设每千克特产应降价x元 根据题意，得（60x40）（100+10x）2240，解得x14，x26要让顾客尽可能得到实惠，只能取x6，60654元，答：每千克特产应定价54元方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得（x40）100+10（60x）2240解得x154，x256要让顾客尽可能得到实惠，只能取x54，答：每千克特产应定价54元【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程13. 一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设
23、未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量100%如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数（1+增长百分率）2=后来数（3）形积问题：利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程（4）运动点问题：物体运
24、动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系2设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数3列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程4解：准确求出方程的解5验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题6答：写出答案例13随着夏季的到来，各类水果自然也成了大众喜爱的消费产品已知某水果店第一次售出苹果和芒果共200千克，其中苹果的售价为24元/千克，芒果的售价为20元/千克，总销售额为4320元（1
25、）求水果店第一次售出苹果和芒果各多少千克；（2）通过最近的调查发现消费者更加青睐于购买芒果，经销售统计发现与第一次相比，芒果的售价每降低1元，销量就增加20千克，苹果的售价和销量均保持不变，如果第二次的苹果和芒果全部售完比第一次的总销售额多980元，求第二次芒果的售价【分析】（1）设水果店第一次售出苹果x千克，售出芒果y千克，根据某水果店第一次售出苹果和芒果共200千克且总销售额为4320元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设第二次芒果的售价为m元/千克，则第二次售出芒果120+20（20m）千克，根据总价单价数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论【解
26、答】解：（1）设水果店第一次售出苹果x千克，售出芒果y千克，依题意，得：，解得：答：水果店第一次售出苹果80千克，售出芒果120千克（2）设第二次芒果的售价为m元/千克，则第二次售出芒果120+20（20m）千克，依题意，得：2480+m120+20（20m）4320+980，整理，得：m226m+1690，解得：m1m213答：第二次芒果的售价为13元/千克【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程14. 配方法的应用1、用配方法解一元二次方程配方法的理论依据是公式a22ab
27、+b2=（ab）2配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方3、配方法的综合应用例14已知：等腰ABC的三边长为整数a，b，c，且满足a2+b26a4b+130，求等腰ABC的周长【分析】根据配方法可求出a与b的值，然后根据等腰三角形的性质即可求出答案【解答】解a2+b26a4b+130，（a3）2+（b2）20，a30，b20，解得a3，b2，1c5，且c为整数，c2、3、4，ABC是等腰三角形c2或3故ABC的周长为：
28、7或8【点评】本题考查配方法，解题的关键是熟练运用配方法以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型15. 高次方程（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程（2）高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程也有的通过因式分解来解对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解例15解方程组【分析】由方程可得x+y0或x2y0，据此可得两个关于x、y的方程组，再分别求解可得【解答】解：由得（x+y）（x2y）0，则x+y0或x2y0，所以方程组可变形为或，解得或【点评】本题主要考查高次方程，解高次方程的关键是利用合适的方法将方程中未知数的次数降低16. 无理方程（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时
