1、利用待定系数法因式分解和分式的拆分等第2讲利用待定系数法因式分解.分式的拆分等一、 方法技巧1.待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了 多项式/（x） = g（x）的充要条件是：对于一个任意的值，都有/（X）= g（x）:或者两个多项 式各关于X的同类项的系数对应相等.2.使用待定系数法解题的一般步骤是：（1） 确定所求问题含待定系数的一般解析式；（2） 根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）：（3） 解方程（组），从而使问题得到解决.例如：已知x2-5 =（2-6/）-x2 +Z?x+c,求 d, b, c 的值.解答此题，并不困难.只需将右
2、式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到b, c的值.这里的a, bf c是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法.3.格式与步骤：（1） 确定所求问题含待定系数的解析式.上面例题中，解析式就是：（2 a）/+bx+c（2） 根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程.在这一题中，恒等条件是：（3） 解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.a = l/ b = 0c = -5二、 应用举例类型一利用待定系数法解决因式分解问题【例题1】已知多项式2x4-3x3 +股 + 7x+b能被F + x2整除（1） 求 o, b（2） 分解因式：2x4-3x34-ax2 + 7x+b
3、【答案】（1） a= 一 12和/?= 6 （2） 2兀“-3x一12亍+ 7x+6 =（兀+x-2）（2x一5兀一3）【解析】试题分析：（1） 由条件可知疋+ /-2是该多项式的一个二次因式，而该多项式次数为巾，故可设2疋一3疋+ +7x+b = （x+兀一2）（2亍+肌+川），可解出7、m最后代入即可求出a、b的值.（2） 由（1）可得结果试题解析：解：(1) T 多项式2x 3x + qx7 + 7x+ b 能被at + x 2 整除设2x4 -3x + + 7x+b = (x，+兀一2)(2亍 + ?x + ),整理，得2x4 一3x3 + ax2 +7x+b = 2x4 + (?+2
4、)牙 + 伽+n-4)x2 + (/?-2m)x一2nm + 2 = -3 m+n-4=a n 一 2m = 7 b = -2/?b = 6a、b的值分别为-12和6.(2) 2疋-3屮-12亍 + 7兀+6 =(x2 +x-2)(2xz-5x-3)考点：1.待定系数法因式分解2.整式乘法3.解方程组.点评：用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘枳，这些因式中 的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原 理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.【难度】一般【例题2】分解因式：2x2 + 5xy-3y2-
5、3x+5y-2【答案】2x2 + 5.巧-3y - 3x + 5y-2 = (2x-y + l) (x+3y-2)【解析】试题分析：方法一因为2x2 + 5xy-3y2=C2x-y) (x+3y),因此加果多项式能分解成两个关于x、y的一次因式的乘枳，那么设原式的分解式是(2x-y+加)(x + 3y切),其中加、n为待定系数然后展开，利 用多项式的恒等，求出7、的值.试题解析：解：: 2亍+ 5厂一3尸=(2x_y) (x+3y),:.设2亍 +5xy-3y2 -3x+5y-2 = (2x-y + m) (x + 3y + “)即 2x2 + 5号 一 3才 一 3x+5y - 2 = (2
6、x - y) (x+3y)+(m+2n )x4-(3/tt-n)y + nmm + In = -3 对比系数，得：3/n-n = 5 mn = -2 = 1n = -2代入式也成立. 2x2 + 5xy-3y2-3x + 5y-2 = C2x-y + l) (x+3y-2)试题分析：方法二前面同思路1,因为2x2 + 5心-3)F_3x+5y-2 =(2x-y)(x+3y)+(7+2“)x+(一幵)y + mn 是恒等式，所以对 任意的值，等式都成立，所以给取特殊值，即可求出7屮的值.试题解析：解：V2x2 + 5xy-3y2 =(2x-y) (x+3y),/设+ 5卩一3)F -3x+5y-
7、2 = (2x(x+3y+)即 2x2 + 5A)?-3y2 -3x+5y - 2 = (2x-y) (x+3y)+(加+2m)x+(3 加-/7)y+/wf?该式是恒等式，它对所有使式子有意义的X, y都成立，那么令x = 0, y = 0得:nm = -22m =3n = -3令 x = 0, y = 1得：3加一 +肋一3 = 0 m = l解、组成的方程组，得 或n = -2m 1把它们分别代入恒等式检验，得彳n = -2/ 2x2 + 5xy-3y2 -3x + 5y-2 = (2x- y+ 1) (x+3y-2)考点：1.待定系数法分解因式2.解方程组.点评：本题解法中方程的个数多
8、于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验.若有的 解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去：若得方程组无解，则说明原式不能分解成所 设形成的因式.【难度】较难类型二利用待定系数法解决分式拆分问题【例题3】将分式 拆分成两个分式的和的形式.(r + l)(x + l) = + (x2 +1)(% +1) 2(%2 +1) 2(x +1)【解析】 试题分析: ax + b c设 = + ,将等式右边通分，再利用分子恒等求出a、b、c的值即可.(X + l)(x+ 1) JT + 1 X+ 1试题解析:ax+b c x2 +1 x+1ax+b c而+ i X +1 x+1(a +
9、c)x2 + (a + b)x+b + c (亍 + 1)(兀+1)即r 1 =(L + l)(X + l)比较分子，得(a + c)x2 + (a + b)x + b + c (x2 +l)(x+l)解得“弓冷.1 -x+1 1; = ； H (x2 + l)(x +1) 2(亍 +1) 2(x +1)考点：分式的恒等变形点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为Ax+B形式，分母只含一次项，则设分 子为常数【难度】较难1 1 1 1 + + + a(a + l) (a + l)(a + 2) (a + 2)(a + 3) (a + 9)(a + 10) “ 小 10答案 a(a
10、+ 10)【解析】试题分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积(若d是整数)，所以我们探究其中一个分式，找到相通的规律，从而解题.试题解析：1 A R解：我们设 =- + a(a + l) ci a + l.A B A(a + l) + Ba (A + B)a + AIIIJ + = = a a + 1 a(a + l) a(a + l)比较分子得：+ B = 解得：= lIA = 1 15 = 1所以a(a + l)卄1 1 1 1 1 1 1 1a a + l 67 + 1 a + 2 a + 2 a + 3 a + 9 a + 10考点：分
11、式计算.点评：在做题的时候见到式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的枳，可直接用公式1 1 1 jr/, = 拆分.n（n + l） n n + 1【难度】较难类型三利用待定系数法解决多项式中不含某项问题【例题5】已知（干一泾+3）（3兀一2）的积中不含x的二次项，则？的值是（ ）223A. 0 B. C.一一D.332【答案】C【解析】试题分析：将多项式（亍-加+3）（3x-2）展开、合并，按x的降幕排列，根据积中不含x的二次项等价于F项 的系数为零列方程即可求得加的值.试题解析：解：（x2 - mx+3）（3x - 2） = 3x3 - 3mx2 +9x-2x2 + 2mx 一 6
12、=（37+2）亍+（9 + 27）x-6积中不含x的二次项， 3/77 4-2 = 02解得/;/ = .3故选C.考点：多项式乘以多项式.点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.【难度】一般三、实战演练1若多项式3F + 5JQ，2于+兀+9，+ ”能被3xy + 4整除，则 = .【答案】-4【解析】试题分析：此题可通过因式分解得到：被除式=商乂除式（余式为0）,其除式为3x-y + 4即可试题解析：解：设原式=（3x y + 4）（x+2y + 也）=3x2 + 5xy- 2y2+（3?+4）x+（87） y+3/w + 4 = 1 比较系
13、数，得：老一加=9 n = 4加 由，解得7 = 1,代入得n = -4考点：因式分解的应用点评：此题考查知识点是因式分解的应用，运用公式被除式二商x除式（余式为0）是解题关键.【难度】容易2.分解因式：h + x + F + x + l【答案】x4 + x3+x2+x+l =(X2 + 1-耳Y+l)( + + 1)2【解析】试题分析：这个多项式各项之间没有公因式也不符合乘法公式，又因为不是二次三项式所以不适用十字相乘法; 虽多于三项，但分组之后分解不能继续.因此，我们应采用其他的办法一待定系数法.这是一个四次五 项式，首项系数为1,尾项也是1,所以它可以写成两个二次三项式的枳，再利用恒等式
14、的性质列方 程组求解即可.试题解析： 解：设 X1 + X3 + 妒 + 兀+1 = (x2 + mx+V)(x2 + nx +1)而(X2 + mx + l)(x2 + nx +1)m + n = lmn + 2 = 1/. x4 + x5 + x2 +x + l = (x2 + + l)(x2 + 上逅x +1)2 2考点：待定系数法因式分解.点评：本题考查了待定系数法因式分解解高次多项式，恰当设待定系数是关键.【难度】容易3.分解因式：ler + 3ab- 9b2 +146/- 3Z? + 20【答案】2亍+3”-松+14。-3/?+20 = (2/-3/?+4)(。+ 3处5)【解析】
15、试题分析：属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法.先分解 2cr + 3ab - 9Z?2 = (la - 3Z?)(6/ + 3Z?),再设原式=(2a-3b+M)(a + 3Z?+)，展开后，利用多项式恒等列方程组即可求解.试题解析：方法一解：/ 2cr + 3ab 一 9b2 = (2c/ - 3Z?)(c/ + 3b)可设原式=(2a-3b+M)(a + 3Z?+”)原式=2a2 + 3cib 一 9b2 + (/w+2n) d + (一 3n) b+mn即 2cr + 3ab - 9b2 + 14c3b+20 = 2夕 + 3ab - 9b2 + (?+2n)
16、a + (一 3) b+mn *m + 2n = 14比较左右两个多项式的系数，得：3加-引? = 一3mn = 20m = 4 解得 vn = b:.2/+3ab9b+14d 3b+20 = (2x3b + 4)(d + 3b+5)方法二对于方法一中的恒等式(*)因为对a、b取任何值等式都成立，所以也可用特殊值法，求心的 值.令 c/ = 0, b = 0,得7 = 20 令 a = 1, Z? = 0,得7+ 2 = 14 令 a = Or b = l9 得7 = -1 m =解、组成的方程组，得n =m = 4当 u时，成立n = b:.2a2 +3ab-9Z? +14r/-3b+20
17、= (2x-3Z?+4)(a + 3b+5)考点：1.待定系数法因式分解2.整式乘法3.解方程组.点评：对于复杂的多项式分解因式，关键是列出恒等关系式，然后根据恒等原理，建立待定系数的 方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.【难度】较难4.已知/(X)表示关于X的一个五次多项式，若/(-2)= /(-l) = /(O)= /(l) = O, /(2) = 24,门3) = 360,求几4)的值.【答案】1800【解析】试题分析：因为/(-2)= /(-l) = /(O)= /(l) = O,所以这个多项式中必有因式(x+2)、(x+l)、x、(xl), 而四个因式的乘枳为四次多项式，故原多
18、项式可以分解为以上四项因式的乘枳以及还有一项一次因 式的乘枳，故式的乘积，故这个多项式可以设为(兀+2)(兀+1)兀(兀_1)(妙+巧，利用待定系数法求出 b的值 最后代入原多项式，即可求出丁(4)的值.试题解析: 解：于(_2)= /(_1) = /(0) = /(1) = 0,设 /(X)=(x+2)(x+1)x(x-1)(q+Z?)由/(2)= 24, f(3) = 360,可得方程组解得：，a = 2 b =-3/(x) = (x+2)(x+l)x(x-l)(2x-3).-./(4) = 6x5x4x3x(8-3) = 1800考点：1解二元一次方程组2多项式变形点评：此题考查了解二元
19、一次方程组以及多项式的变形，弄清题意是解本题的关键.【难度】较难5.hk 为何值时，多项式x4 - 5x2 +1 lx2 + mx+n能被x2 -2x + l整除？【答案】m = -ll，“ = 4【解析】试题分析：由于多项式x4-5x2 + llx2+mx + n能被xz-2x+l整除，可设商为F + or + b,再利用逆运算，除式X商式二被除式，利用等式的对应相等，可求出a,b.试题解析：解：设原式=(x2-2x+l)( F +ox+b)=x4 + ar3 + bx2 一 2x3 一 lax1 一 2bx+x2 -ax+b=x4 +(-2)丘 +(b-2a + l)x +(o-2Z?)x
20、+b对比系数，得：a-2 = -5 b-2a + l = ll m = a-2b n = ba = -3解得：b = 4/77 = -ll77 = 4故 777 = -11 t H = 4.考点：整式的除法点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意多项式除以多项式往往可转化成多项式乘以多项式.【难度】一般6. 若多项式x5ax2+bx能被(兀-5)和(x-6)整除，那么c匸 b = .该多项式因式分解为： 【答案】【解析】试题分析：因为多项式ax2+bx能被(兀-5)和(x-6)整除，则说明(x5)和(x-6)都是多项式x5+ax2+bx 的一个因式，故设x+a+bY = (x-5)(x-6)(
21、x+7),展开即可求解.试题解析：解：设x3 +oy2 +Z?x = (x-5)(x-6)(x+/z?)ci = in-11对比系数，得：lb = 3Q-llm30/? = 0m = 0解得Jn = -llb = 30故,d = -11上=30,多项式因式分解为：+11F+30x = x(x5)(x6)考点：整式除法与因式分解点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意理解整除的含义，比如A被B整除，另外一层意思就是B是A的因式7.分解因式：一丘+ 4，+3/ + 5【答案】x4-x3 + 4x2+3x4-5 = (x: + x+l)(x2-2x+5)【解析】试题分析：本题是关于*的四次多项式可考
22、虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积.试题解析：解：设 x4-x3 +4x2 + 3x+5 =(x + ax+l)(x +bx+5)a + b = -l由恒等性质有：ab + 6 = 45a + b = 3(a = l解得：,代入ob+6 = 4中，成立.b = -2， x4 - a3 + 4x2 + 3x+ 5 =(界 + x+ l)(x 一 2x+ 5) 说明：若设x4 -x3 4-4x2 + 3x+ 5 = (x2 + ax- 1)(F +加-5) 由待定系数法解题知关于a与b的方程无解， 故 X4 - X3 4- 4%2 4- 3X4- 5 =(X，+ X+ 1)(兀 -2X4-5)
23、 考点：因式分解应用点评：根据多项式的特点恰当将多项式设成含待定系数的多项式的积的形式是解题的关键.【难度】较难8.在关于x的二次三项式中，当x = l,其值为0；当x = -3时，其值为0；当x = 2时，其值为10, 求这个二次三项式.【答案】2扌+4兀一6【解析】试题分析：思路1先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可考虑利用恒等 式的性质。试题解析：解：法1先设出关于X的二次三项式Q+bx+C,a+b+c=0把已知条件分别代入，得9c/ + 3b + c = 0 ,4a + 2b + c = 10fa = 2解得 b = 4c = -6故所求的二次三项式为2
24、x2 + 4x - 6思路2根据已知x = l,3时，其值为0这一条件可设二次三项式为o(xl)(x+3),然后求出a的 值.法2由已知条件兀=1,-3时，这个二次三项式的值为0,故可设这个二次三项式为c/(xl)(x+3)把x = 2代入上式，得5a = 10，故所求的二次三项式为2(x-l)(x+3),即2x2+4x-6考点：多项式点评：选用待定系数法，利用已知条件求多项式是解题关键.【难度】一般9.已知多项式x + bx+cx+d的系数都是整数，若bd + cd是奇数，证明这个多项式不能分解为两 个整系数多项式的乘积.【答案】见解析【解析】试题分析：先设这个多项式能分解为两个整系数多项式
25、的乘枳，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的.试题解析：证明：+ bx2 + ex+d = + 伽+川)F + (/z?/? + r)x+mr (/,/?,广都是整数) 比较系数得:时=d因为bd + cd = d(b+c)是奇数，则b + c与d都是奇数，那么皿 也是奇数，由奇数的性质得 出加也都是奇数.在式中令x = l,得l + b+c + d = (l+?)(l+“ + /*) 由b + c与d是奇数，得1+b+c+d是奇数。而加为奇数，故1+加是偶数，所以(l+/n)(l + n + r)是偶数.这样的左边是奇数，右边是偶数。这是不可能的.因此题中多项式不能分解为两个整系
26、数多项式的乘积.考点：多项式除法.点评：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明.【难度】容易10.将分式 拆分成两个分式的和的形式.11.【答案】而(6y +l)(y + l) (6y+ l)(y + l)(6y+ l)(y + l)比较分子，得&+?=0 a + b = l6 a = 解得 5b = -L5 _ 6 1* (6y + l)(y +1) 5(6y +1) 5(y +1)考点：分式的恒等变形.点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为Av+ B形式，分母只含一次项，则设 分子为常数【难度】一般3x+5 2 1 = 1 (x + l)(x + 2) x +
27、1 x+2【解析】 试题分析: 设冷矿鲁+岛将等式右边通分，再利用分子恒等求出宀的值即可.试题解析: 方法一解:3x + 5 a b = + (x+l)(x+2) x + 1 x+2而 a + b _(d + b)x + (2a + b) x + 1 x+2 (x+l)(x+2)即 3x + 5 _ (a + b)x + (2a + b)(x + l)(x + 2) (x + l)(x + 2)f a + b = 3比较分子，得 ,2a + b = 5,(67 = 2解得彳fb = l. 3x + 5 2 1 = + (x+l)(x+2) x + 1 x+2方法二考点：分式的恒等变形.点评：拆
28、分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为Ax+B形式，分母只含一次项，则设分 子为常数【难度】容易1 1 1 112.计算 + + + x(x+l) (x+l)(x+2) (x+2)(x+3) (x + 3)(x + 4)答案-x(x+4)【解析】试题分析：本题的4个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积(若a 是整数)，利用、=丄-一，进行拆分即可./?(/? + 1) n + 1试题解析：解：原式丄-+ + +-x x + 1 x+1 x + 2 x + 2 x + 3 x + 3 x+41 1x x+44x(x + 4)考点：分式计算点评：利用公式,=
29、丄-一拆分，是解题关键，而原理就是设 1 , 求出n(n + l) n n + 1 n(n + l) n n + 1A = iB = -l，熟练后可直接运用公式.【难度】容易13.将分式 拆分成两个分式的和的形式.(6y +l)(y + l)【答案】(6y+ l)(y + l) 5(6)，+ 1) 5(y + l)【解析】试题分析: 设&4乔丁总占将等式右边通分，再利用分子恒等求出的值即可.试题解析:i , (ci + 6b = 0 比较分子，得彳 fIa+b=l6Cl =解得 5 .b =5. =6 _ _匚* (6y +1)(y +1) 5(6y +1) 5(y +1)考点：分式的恒等变形.点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为Ax+E形式，分母只含一次项，则设分 子为常数.【难度】一般Y4 _ % + 314将分式 一 拆分成一个整式和一个分式(分子为整数)的和的形式.一 JT +1
