1、习题选解,第一章习题1.1(第7页),=1,2,3,4,5,6,A=1,3,5.,1.用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A:,(1)抛一颗骰子,观察向上一面的点数,A表示“出现奇数点”.,(2)对一个目标进行射击,一旦击中便停止射击,观察射击的次数,A表示“射击不超过3次”.,(3)把单位长度的一根细棒折成 三段,观察各段的长度,A表示“三段细棒能构成一个三角形”.,=1,2,3,，A=1,2,3,=(a,b,1ab)|a,b0且a+b1,2.把 表示成n个两两互不相容事件的和。,A=(a,b,1ab)|00.5,=(a,b,c)|a,b,c0且a+bc1,=(a,b,c)|0a
2、,b,c0.5且a+bc1,解 n2时,n3时,一般地,3.在某班学生中任选一个同学,以 A表示选到的是男同学,B表示选到的人不喜欢唱歌,C表示选到的人是运动员.,(1)表述ABC及ABC;,(2)什么条件下成立ABC=A?,ABC 表示:选到的是不喜欢唱歌不是运动员的男同学.,成立的条件是:男同学一定是不喜欢唱歌的运动员.,ABC 表示:选到的是喜欢唱歌的男运动员同学.,(3)何时成立,成立的条件是:非运动员同学一定不喜欢唱歌.,(4)何时同时成立A=B与 A=C?,成立的条件是:男同学都不是运动员都不喜欢唱歌，女同学都是喜欢唱歌的运动员.,AB+AC+BC,ABC,A+B+C,4.设A,B
3、,C为三个随机事件,用A,B,C的运算及关系表示下列各事件:,(1)A发生,B与C不发生;,(2)A和B都发生,而C不发生;,(4)A,B,C都发生;,(3)A,B,C至少有一个发生;,(8)A,B,C至少有二个发生;,(5)A,B,C都不发生;,(6)A,B,C不多于一个发生;,(7)A,B,C不多于两个发生;,第一章习题1.2(第12页),1.某城市共发行三种报纸A,B,C,已知城市居民订购A的占45%,订购B的占35%,订购C的占30%,同时订购A与B的占10%,同时订购A与C的占8%,同时订购B与C的占5%,同时订购A,B,C的占3%,求下列事件的概率:,(1)只订购A;,(2)只订购
4、A与B;,P(A(B+C)=P(A)P(A(B+C),=P(A)P(AB)P(AC)+P(ABC),=0.450.10.08+0.03=0.3,P(ABC)=P(AB)P(ABC)=0.10.030.07,1.某城市共发行三种报纸A,B,C,已知城市居民订购A的占45%,订购B的占35%,订购C的占30%,同时订购A与B的占10%,同时订购A与C的占8%,同时订购B与C的占5%,同时订购A,B,C的占3%,求下列事件的概率:,(3)只订购一种报纸;,由(1)知:P只订购A=P(A)P(AB)P(AC)+P(ABC)0.3,同理,P只订购B=P(B)P(AB)P(BC)+P(ABC)0.23,或
5、 P=P(A+B+C)P(AB)P(AC)P(BC)2P(ABC),P只订购C=P(C)P(AC)P(BC)+P(ABC)0.2,所以,P只订购一种报纸=0.30.230.20.73,=P(A)+P(B)+P(C)2P(AB)2P(AC)2P(BC)3P(ABC),=0.45+0.35+0.30.20.160.1+0.09=0.73,1.某城市共发行三种报纸A,B,C,已知城市居民订购A的占45%,订购B的占35%,订购C的占30%,同时订购A与B的占10%,同时订购A与C的占8%,同时订购B与C的占5%,同时订购A,B,C的占3%,求下列事件的概率:,(4)正好订购两种报纸;,P正好订购A,
6、B=P(AB)P(ABC)0.07,所以,P正好订购两种报纸=0.14,=P(AB)+P(AC)+P(BC)3P(ABC),=0.10.080.050.090.14,P正好订购A,C=P(AC)P(ABC)0.05,P正好订购B,C=P(BC)P(ABC)0.02,或直接写出:P正好订购两种报纸,1.某城市共发行三种报纸A,B,C,已知城市居民订购A的占45%,订购B的占35%,订购C的占30%,同时订购A与B的占10%,同时订购A与C的占8%,同时订购B与C的占5%,同时订购A,B,C的占3%,求下列事件的概率:,(5)至少订购一种报纸;,P至少订购一种报纸=P只订购一种报纸,+P(ABC)
7、=0.9,P不订购任何报纸=1P至少订购一种报纸,=10.90.1,P正好订购两种报纸P订购三种报纸0.9,或 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC),(6)不订购任何报纸;,1.某城市共发行三种报纸A,B,C,已知城市居民订购A的占45%,订购B的占35%,订购C的占30%,同时订购A与B的占10%,同时订购A与C的占8%,同时订购B与C的占5%,同时订购A,B,C的占3%,求下列事件的概率:,(7)至多订购一种报纸;,P至多订购一种报纸,或 P至多订购一种报纸,=10.140.030.83,P不订购任何报纸P只订购一种报纸,=0.10.730.83,或
8、=1P正好订购二种报纸 P订购三种报纸,2.设在统计课考试中,学生A不及格的概率是0.5,学生B不及格的概率是0.2,两人同时不及格的概率是0.1,求:,(1)两人中至少有一人不及格的概率;,解 记A=“学生A不及格”,B=“学生B不及格”，则,(1)P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)0.50.20.10.6,(2)P(AB)=P(A+B)=1P(A+B)=10.6=0.4,(2)两人都及格的概率;,(3)两人中只有一个人不及格的概率;,(3)P只有一人不及格,P至少有一人不及格P两人都不及格,0.60.10.5,3.设A,B为两个随机事件,P(A)=0.7,P(AB)=0.3,求P(
9、AB).,解 由于P(AB)=P(AAB)=P(A)P(AB),4.设P(A)=P(B)=0.5,证明:P(A B)=P(A B).,所以，P(AB)=1P(AB)=10.40.6,证明 P(AB)=P(A)+P(B)P(A+B)=1P(A+B),=P(A+B)=P(A B),7.人体血型的一个简化模型包括4种血型和2种抗体:A、B、AB与O型,抗A与抗B.抗体根据血型与人的血液以不同的形式发生作用.抗A只与A、AB型血发生作用,不与B、O型血作用,抗B只与B、AB型血发生作用,不与A、O型血作用,假设一个人的血型是O型血的概率为0.5,是A型血的概率为0.34,是B型血的概率为0.12,求:
10、,(2)一个人的血型与两种抗体都发生作用的概率.,(1)抗A,抗B分别与任意一人的血型发生作用的概率;,解 由已知可得:一个人血型是AB型血的概率为0.04.,(1)PA=0.34+0.04=0.38,PB=0.12+0.04=0.16,(2)P=0.04,第一章章末习题1(第35页),1.已知随机事件A,B满足P(AB)=P(A B),且P(A)=p,求P(B).,解 由于 P(AB)=P(A)P(B)P(AB),=P(A)P(B)1+P(AB),=P(A)P(B)1+P(A B),所以,P(A)P(B)1=0,即,P(B)1P(A)1p,第一章习题1.3(第19页),2.在1500个产品中
11、,有400个次品,1100个正品,从中任取200个,求:(1)恰有90个次品的概率;(2)至少有2个次品的概率.,解(1)n,(2)P2=1P至多有一个次品,所以,P1n1/n,=1P没有次品P恰有一个次品,3.一个口袋里装有10只球,分别编有号码1,2,10,随机地从这个口袋取三只球,求:,解(1)组合法:n,(1)最小号码是5的概率;(2)最大号码是5的概率.,所以,P1=n1/n,或用排列法:,(2)P2=n2/n,(1)P1=n1/n,(2)P2=n2/n,5.进行一个试验:先抛一枚均匀的硬币,然后抛一个均匀的骰子,解(1)设试验是观察硬币正反面和骰子的点数,则,=(正面,1点),(正
12、面,2点),(正面,3点),(正面,4点),(正面,5点),(正面,6点),(反面,1点),(反面,2点),(反面,3点),(反面,4点),(反面,5点),(反面,6点),(2)P=3/12=1/40.25,(1)描述该试验的样本空间；,(2)硬币是正面且骰子点数是奇数的概率是多少？,6.假设2个叫Davis的男孩,3个叫Jones的男孩,4个叫Smith的男孩随意地坐在一排9座的座位上.那么叫Davis的男孩刚好坐在前两个座位上,叫Jones的男孩坐在挨着的3个座位上,叫Smith的男孩坐在最后4个座位上的概率是多少?,解 n,所以,P=nA/n=,解 记两艘船到达泊位的时间分别为x,y,则
13、样本空间为：(x,y)|0 x24,0y24,A=(x,y)|(x,y),且4xy3,m()=242=576,m(A)=242212/2202/2,7.某码头只能容纳一只船.现知某日独立地来两只船,且在24小时内各时刻来到的可能性相等.若它们需要停靠的时间分别为3小时和4小时,那么有一只船需要等待进入码头的概率是多少？,=155.5,所以,P(A)=155.5/576=0.27,9.把长度为l的线段任意折成3段,求它们能构成三角形的概率.,解 记3段长度为x,y,z 则有:,=(x,y,z)|x,y,z0且x+y+z=l,A=(x,y,z)|0 x,y,zl/2且x+y+z=l,m()=,m(
14、A)=,所以,P(A)=1/4=0.25,或,第i个部件强度太弱的概率为:,第一章章末习题1(第35页),4.50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件的强度就太弱.问发生一个部件强度太弱的概率是多少?,k=,p=,解 n=,所以,发生一个部件强度太弱的概率为:,8.甲、乙两人轮流掷一颗骰子,每轮掷一次,谁先掷出6点谁取胜,若从甲开始,问甲乙取胜的概率各为多少？,解 由于每轮掷出6点的概率为1/6,掷不出概率为5/6.,显然,奇数轮掷出甲取胜,所以甲取胜的概率为:,所以,第i轮掷出6点的概率为:,乙取胜的
15、概率为:p乙胜1p甲胜5/11.,第一章习题1.4(第23页),1.已知P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(A|B)=0.8,求P(AB).,解 由于 P(AB)=P(B)P(A|B)=0.70.8=0.56,所以,P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.94,于是,P(AB)=P(A+B)=1P(A+B)=0.06,解 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.8,PB(AB)=P(BA+)=P(A)P(AB)=0.2,P(B|AB)=PB(AB)/P(AB)=0.25,3.据以往资料,某一3口之家,患某种传染病的概率有以下规律:P孩子得病=0.6,P母亲得病|孩子得病=0.
16、5,P父亲得病|母亲及孩子得病=0.4.求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率.,解 P母亲及孩子得病,P母亲及孩子得病但父亲未得病,P父亲未得病|母亲及孩子得病=10.4=0.6,=0.30.6=0.18,=P孩子得病P母亲得病|孩子得病=0.3,=P母亲及孩子得病P父亲未得病|母亲及孩子得病,4.若M件产品中有m件废品,今在其中任区两件,(1)已知取出的两件中至少有一件是废品,求另一件也是废品的概率;,解 记Ai=“取出的两件中有i件废品”，i=0,1,2.则,(2)已知取出的两件中至少有一件不是废品,求另一件是废品的概率;,(3)求取出的两件中至少有一件是废品的概率.,(1)P1=P(A2|
17、A1+A2)=P(A2)/P(A1+A2),(2)P2=P(A1|A0+A1)=P(A1)/P(A0+A1),(3)P3=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2),所以,P(AB都有效)=P(B有效)P(A失灵B有效)=0.862,5.为防止意外事故,矿井内同时安装了两个警报系统A与B,每个系统单独使用时,有效率A为0.92,B为0.93,在A失灵条件下B的有效率为0.85,求,解(1)P(A失灵B有效)=P(A失灵)P(B有效|A失灵)=0.068,(2)在B失灵的条件下,A有效的概率.,(1)发生事故时,这两个警报系统至少有一个有效的概率.,因此,P(AB至少有一个有效)=P(A有效)+P
18、(B有效)P(AB都有效)=0.92+0.930.8636=0.988,(2)P(A有效B失灵)=P(A有效)P(AB都有效)0.058,P(A有效|B失灵)=P(A有效B失灵)/P(B失灵)0.829,6.一顾客每次购买牙膏都选择品牌A或B,假定初次购买后,以后每次购买时他仍选择上一次品牌的概率为1/3,设该顾客第一次购买时选择A或B的概率相等,求他第一次和第二次都购买A牌牙膏而第三次和第四次都购买B牌牙膏的概率.,解记Ai=“第i次购买A牌牙膏”,Bi=“第i次购买B牌牙膏”.,P(A1A2B3B4)=P(A1)P(A2|A1)P(B3|A1A2)P(B4|A1A2B3),=1/21/32
19、/31/3=1/27,(2)若已知至少取出一个红色卡片,求两个卡片都是红色的概率.,(1)若已知卡片A被抽出,求两个卡片都是红色的概率;,解(1)P(两个红色|A被取出)=P(A+一红)/P(A被取出),7.假定一个箱子里共装有一个蓝色卡片和四个分别记为A,B,C,D的红色卡片.设从箱子中一次随机地抽出两个卡片.,=(21/53/4)/(2/5)=3/4,(2)P(两个红色|至少一红)=P(两个红色)/P(至少一红),=P(两个红色)=4/53/43/5,8.某人忘了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号.求他拨号不超过三次就接通所要拨打的电话的概率.若已知最后一个数字是奇数,那么此概率又是
20、多少？,解 P11/10+9/101/9+9/108/91/8=3/10=0.3,P21/5+4/51/4+4/53/41/3=3/5=0.6,1.已知产品中96是合格的,现有一种简化的检查方法.它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98,而误认废品为合格品的概率为0.05,求以简化法检查为合格品的一个产品确实是合格品的概率。,解 记A=“检查为合格品”,B=“确实是合格品”,则,第一章习题1.5(第27页),P(B|A)=,=0.9979,解 记A=“目标被击毁”,B1=“距目标250米处发射”,B2=“距目标200米处发射”,B3=“距目标150米处发射”.,P(B1|A)=,2.炮战中
21、,在距目标250米,200米,150米处发射的概率分别为0.1,0.7,0.2,命中目标的概率分别为0.05,0.1，0.2,现在已知目标被击毁,求击毁目标的炮弹是由距目标250米处发射的概率.,0.04348,解 记A=“色盲患者”,B1=“男性”,B2=“女性”.,P(B1|A)=,0.9524,3.已知男性有5%是色盲患者,女性有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?,解 记A=“收到A”,B1=“发送A”,B2=“发送B”.,P(B1|A)=,0.9949,5.将两条信息分别编码为A和B传递出去,接收站收到时,A被误收作
22、B的概率为0.02,而B被误收作A的概率为0.01.信息A与信息B传送的频繁程度为2:1.若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少?,7.有两箱同种类的零件.第一箱装50只,其中10只一等品;第二箱装30只,其中18只一等品.今从两箱中任挑出一箱,然后从该箱中不放回地抽取零件两次.每次任取一只.求：(1)第一次取到的零件是一等品的概率.(2)第一次取到的零件是一等品的条件下,第二次取到的也是一等品的概率.,解(1)p1=0.510/50+0.518/30,(2)P都一等=0.510/509/49+0.518/3017/29,=1/10+3/10=4/10=0.4,=9/490+51/
23、290=0.194,p2=P都一等/p1=0.4856,第一章章末习题1(第35页),5.一打靶场备有5支某种型号的枪,其中3支已经校正,2只未经校正.某人使用已校正的枪击中目标的概率为p1,使用未经校正的枪击中目标的概率为p2,现在他随机地取了一支枪,射击5次都未击中,求他使用的是已校正的枪的概率(设各次射击的结果相互独立).,解 记A“5次都未击中”,B=“使用的是已校正的枪”.,P(B|A)=P(B)P(A|B)/P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B),=3/5(1p1)5/3/5(1p1)5+2/5(1p2)5,=3(1p1)5/3(1p1)5+2(1p2)5,7.设甲,乙,丙三门
24、炮同时独立地向某目标射击,命中率分别为0.2,0.3,0.5,目标被命中一发而击毁的概率为0.2,被命中两发而击毁的概率为0.6,被命中三发而被击毁的概率为0.9.求:(1)三门炮在一次射击中击毁目标的概率;(2)若已知目标被击毁,求只由甲炮击中的概率.,P(B1)=0.2(10.3)(10.5)+(10.2)0.3(10.5),+(10.2)(10.3)0.5=0.47,P(B2)=0.20.3(10.5)+0.2(10.3)0.5,解 记A=“目标被击毁”,Bi=“被命中i发”,(i=1,2,3),+(10.2)0.30.5=0.22,P(B3)=0.20.30.5=0.03,=0.470
25、.2+0.220.6+0.030.9=0.253,(2)记C=“只有甲命中”.则,P(C)=0.2(10.3)(10.5)=0.07,于是,(1)P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3),P(C|A)=P(AC)/P(A)=P(C)P(A|C)/P(A),=0.070.2/0.253,=0.0553,11.假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.7直接出厂,以概率0.3需进一步调试,经调试以后以概率0.8出厂,以概率0.2定为不合格不能出厂,现该厂新生产了n(n2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立),求:(1)全部能出厂的概率;(2)其中恰好有两
26、台不能出厂的概率;(3)其中至少有两台不能出厂的概率.,解 每台仪器能出厂的概率p0.70.30.80.94.,(1)=0.94n;,(2)=Cn2(0.06)2(0.94)n20.0018n(n1)(0.94)n2,(3)=10.94n0.06n(0.94)n1,解 n个卵变为k个成虫的概率为:Cnkpk(1p)nk,(1)每蚕养出k个成虫的概率为:,12.若每蚕产n个卵的概率为,每个卵变为成虫的概率为p,且各卵是否变为成虫是相互独立的,(1)求每蚕养出k个成虫的概率;(2)若某蚕养出k个成虫,求它产了n个卵的概率.,(2)P产n个卵|养出k个成虫,P产n个卵P养出k个虫|产n个卵/P养出k
27、个虫,=P产n个卵且养出k个成虫/P养出k个成虫,2.一旦危险情况C发生,报警电路会闭合发出警报.借助两个或更多开关并联的报警电路可以增强报警系统的可靠性.现在有两个开关并联的报警电路,每个开关有0.96的可靠性,问这个报警系统的可靠性是多少？如果要求报警系统的可靠性至少为0.9999,则至少需要多少只开关并联？假设各开关的闭合与否是相互独立的.,解 记Ai=“i个开关并联的系统发出警报”,则,第一章习题1.6(第34页),P(A2)=1P(A2)=10.042=0.9984,P(An)=1P(An)=10.04n0.9999,解得:nln0.0001/ln0.04=2.86.故至少需要3只开
28、关并联.,3.求下图所示的两个系统的可靠性,假设元件i的可靠性为pi,各元件正常工作与否相互独立。,解(a)易得:2-3子系统的可靠性是p2p3.,2-3-4子系统的可靠性是:,1(1p4)(1p2p3)p4+p2p3p2p3p4,系统的可靠性为:.,系统的可靠性为:p1(p4+p2p3p2p3p4).,PA1A2A3A4A5,pPA1A2+A1A3A5+A4A5+A2A3A4,(b)若以Ai表示“第i个元件正常工作”,i=1,2,n.则系统的可靠性为:,PA1A2+PA1A3A5+PA4A5+PA2A3A4,PA1A2A3A5PA1A2A4A5PA1A2A3A4,PA1A3A4A5PA1A2
29、A3A4A5PA2A3A4A5,+4PA1A2A3A4A5,PA1A2+PA1A3A5+PA4A5+PA2A3A4,PA1A2A3A5PA1A2A4A5PA1A2A3A4,PA1A3A4A5PA2A3A4A52PA1A2A3A4A5,p1p2p4p5+p1p3p5+p2p3p4p1p2p3p4p1p2p3p5,p1p2p4p5p1p3p4p5p2p3p4p52p1p2p3p4p5,4.根据以往记录的数据分析,某船只运送某种物资损坏的情况共有三种:损坏2%(记为A1),损坏10%(记为A2),损坏90%(记为A3),且P(A1)=0.8,P(A2)=0.15,P(A3)=0.05,现从已被运送物
30、资中随机取3件,发现3件都是好的(记为B),求:P(A1|B),P(A2|B),P(A3|B).(假设物资件数很多).,解 P(B|A1)=(10.02)3=0.941,P(B|A2)=(10.1)3=0.729,P(B|A3)=(10.9)3=0.001,所以 P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)/P(A1)P(B|A1),+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),=0.80.941/0.80.941+0.150.729+0.050.001,=0.7528/0.7528+0.10935+0.00005=0.873,P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)/P(A1)P(B|A
31、1),+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),=0.150.729/0.80.941+0.150.729+0.050.001,=0.10935/0.7528+0.10935+0.00005=0.127,P(A3|B)=P(A3)P(B|A3)/P(A1)P(B|A1),+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),=0.050.001/0.80.941+0.150.729+0.050.001,=0.00005/0.7528+0.10935+0.00005=0.000058,概率为,而输出为其它一字母的概率都是(1)/2.今将字母串AAAA,BBBB,CCCC之一输入信道,
32、输入AAAA,BBBB,CCCC的概率分别为p1,p2,p3(p1+p2+p3=1),已知输出为ABC A,问输入的是AAAA的概率是多少?(设信道传输各个字母的工作是相互独立的.),解 P=,=2p1/(1p13p1),5.将A,B,C三个字母之一输入信道,输出为原字母的,解 P=0.720.830.2509,6.设在第一台车床上制造一级品零件的概率为0.7,在第二台车床上制造一级品零件的概率为0.8,第一台车床制造了2个零件,第二台车床制造了3个零件,求这5个零件均为一级品的概率.,解(1)P1=1(0.5)2n,7.设实验室产生甲类细菌和乙类细菌的机会是相等的,若某次产生了2n个细菌,求
33、:(1)至少有一个是甲类细菌的概率;(2)甲,乙两类细菌各占一半的概率.,(2)P2=C2nn(0.5)2n,解 P至少击中两弹=1P一弹未中P只中一弹,8.设每次射击打中目标的概率是0.001,射击5000次,求至少击中两弹的概率.,10.999500050000.0010.9994999,0.9596,第一章章末习题1(第35页),3.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,求P(A).,解 由于 P(A)P(B)=P(AB)=P(AB)=P(A)P(B),所以 P(A)1P(B)=1P(A)P(B),故 P(A)=P(B),又由于 P(AB)=1P(A)1P(B)=1/9,所以 1P(A)=1/3,故 P(A)=2/3,解(1)P(A)=2/6=1/3;P(B)=21/36=7/12,6.将一颗骰子掷两次,考虑两事件A,B:A
