1、北师大版数学八年级下第一章三角形的证明教案汇总第一章 三角形的证明1.等腰三角形（一）教学目标 1知识目标：理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理；熟悉证明的基本步骤和书写格式。2能力目标：经历“探索发现猜想证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平；3情感与价值目标：启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合
2、情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系；培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.教学重点 探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；教学难点 明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。教学过程1、 创设情境，引入新课提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条： 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行； 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等； 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；在此基础上回
3、忆全等三角形的另一判别条件：1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；2.回忆全等三角形的性质。由于有了前面的铺垫，学生一般都能得到该推论的证明思路，但由于有了一个暑假的遗忘，可能部分学生的表述未必严谨、规范，教学中注意提请学生分析条件和结论，画出简图，写出已知和求证，并规范地写出证明过程。具体证明如下：已知：如图，A=D,B=E,BC=EF.求证：ABCDEF.证明：A=D,B=E（已知），又A+B+C=180，D+E+F=180（三角形内角和等于180），C=180-(A+B)，F=180-(D+E)，C=F（等量代换）。又
4、BC=EF（已知），ABCDEF（ASA）。2、讲述新课在提问：“等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？”的基础上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。具体操作中，可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足。由于有了教师引导下学生的活动，以及具体的折纸操作，学生一般都能得到有关等腰三角形的性质定理，当然，可能部分学生得到的定理并不全面，在学生小组的交流中，通过同伴的互相补充，一般都可以得到所有性质定理。当然，在教学过程中，教师应注意小组的巡视，提醒学生思考
5、多种证明思路，思考不同的辅助线之间的关系从而得到“三线合一”。3、明晰结论和证明过程在学生小组合作的基础上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上两个个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明,其余学生挑选其一证明.其后，教师通过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法，给学生明晰证明过程。（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合4 、随堂练习 活动内容：学生自主完成P4第2题：如图（图略）,在ABD中,C是BD上的一点，且ACBD，AC=BC=CD，（1）求证：ABD是等腰三角形；（2）求BAD的度数。5、课堂小结教师注意对学生的感想进行适
6、当的引导，并在学生交流的基础上，明晰部分收获供学生共享，如：1、具体有关性质定理；2、通过折纸活动对获得的定理给予了严格的证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论依据3、体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性6、课后作业P5习题1,2.教学反思1. 等腰三角形（二）教学目标 1知识目标： 探索发现猜想证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；2能力目标： 经历“探索发现猜想证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从
7、而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性；在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉；3情感与价值观要求 鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性教学重点 经历“探索发现一一猜想证明”的过程。教学难点 能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论教学过程1、创设情境，引入新课在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗?2、讲述新课在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪
8、些相等的线段，并尝试给出证明。活动中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题：你可能得到哪些相等的线段？你如何验证你的猜测？你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程；还可以有哪些证明方法？通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出：等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等并对这些命题给予多样的证明。如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方法：已知：如图，在ABC中，AB=AC，BD、CE是ABC的角平分线求证：BD=CE证法1：AB=AC，ABC=ACB(等边对等角)1=ABC，
9、2=ABC，1=2在BDC和CEB中，ACB=ABC，BC=CB，1=2BDCCEB(ASA)BD=CE(全等三角形的对应边相等) 证法2：证明：AB=AC，ABC=ACB又3=4在ABC和ACE中，3=4，AB=AC，A=AABDACE(ASA)BD=CE(全等三角形的对应边相等)3、议一议提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：在课本图14的等腰三角形ABC中，(1)如果ABD=ABC，ACE=ACB呢?由此，你能得到一个什么结论?(2)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗?如果AD=AC，AE=AB呢?由
10、此你得到什么结论?在学生解决问题的基础上，教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法。4、想一想提请学生在上面等腰三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60.已知：如图，ABC中，AB=BC=AC求证：A=B=C=60.证明：在ABC中，AB=AC，B=C(等边对等角) 同理：C=A，A=B=C（等量代换） 又A+B+C180（三角形内角和定理），A=B=C60 5、 随堂练习 如图,已知ABC和BDE都是等边三角形.求证:AE=CD 6、 课时小结本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段，并由特殊结论归纳出一般结论。7、课后作业
11、教学反思1. 等腰三角形（三）教学目标 1探索等腰三角形判定定理2理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明3.了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。4.培养学生的逆向思维能力。教学重点 经历“探索发现一一猜想证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论教学难点 反证法的理解与运用教学过程1、创设情境，引入新课 通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。 问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？ 问题2.我们是如何证明上述定理的？ 问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两
12、个角相等，那么这两个角所对的边也相等？ 2、讲述新课教师：上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径例如“等边对等角”，反过来成立吗?也就是：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?生如图，在ABC中，B=C，要想证明AB=AC，只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了师你是如何想到的? 生由前面定理的证明获得启发，比如作BC的中线，或作A的平分线，或作BC上的高，都可以把ABC分成两个全等的三角形师很好同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然后分组讨论生我们组发现，如果作BC的中线，
13、虽然把ABC分成了两个三角形，但无法用公理和已证明的定理证明它们全等因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，是不能够判断两个三角形全等的后两种方法是可行的师那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来(教师可让两个同学在黑板上演示，并对推理证明过程讲评)(证明略)师我们用“反过来”思考问题，获得并证明了一个非常重要的定理等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形这一定理可以简单叙述为：等角对等边我们不仅发现了几何图形的对称美，也发现了数学语言的对称美3、巩固练习已知：如图，CAE是ABC的外角，ADBC且1=2求证：AB=AC证明：ADBC，1=B(
14、两直线平行，同位角相等)，2=C(两直线平行，内错角相等) 又1=2，B=CAB=AC(等角对等边)4、适时提问 导出反证法我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数学结论如果否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗?我们一起来“想一想”：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?有学生提出：“我认为这个结论是成立的因为我画了几个三角形，观察并测量发现，如果两个角不相等，它们所对的边也不相等但要像证明“等角对等边”那样却很难证明，因为它的条件和结论都是否定的”的确如此像这种从正面人手很难证明的结论，
15、我们有没有别的证明思路和方法呢?我们来看一位同学的想法：如图，在ABC中，已知BC，此时AB与Ac要么相等，要么不相等假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得C=B，但已知条件是BC“C=B”与已知条件“BC”相矛盾，因此ABAC你能理解他的推理过程吗?再例如，我们要证明ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设A=90，B=90，可得A+B=180，但ABA+B+C=180, “A+B=180”与“A+B+C=180”相矛盾，因此ABC中不可能有两个直角引导学生思考：上一道面的证法有什么共同的特点呢?引出反证法。都是先假设命题的结论不成立，然后由此推
16、导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法接着用“反过来”思考问题的方法获得并证明了等腰三角形的判定定理“等角对等边”，最后结合实例了解了反证法的含义5、拓展延伸在一节课结束之际，为培养学生思维的综合性、灵活性特安排了2个练习。一个是通过平行线、角平分线判定三角形的形状，再通过线段的转换求图形的周长。另一个是一个开放性的问题，考察学生多角度多维度思考问题的能力。学生在独立思考的基础上再小组交流。1.如图，BD平分CBA，CD平分ACB，且MNBC，设AB=12，AC=18，求AMN的周长.2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个
17、角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数? 6、课堂小结（1）本节课学习了哪些内容？（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？（3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系（4）举例谈谈用反证法说理的基本思路7、课后作业教学反思1. 等腰三角形（四）教学目标 1知识目标 理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。2能力目标 经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维经历实际操作，探索含有30角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理
18、能力和初步的演绎推理的能力；在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力。3情感与价值观要求 积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.教学重点 等边三角形判定定理的发现与证明.含30角的直角三角形的性质定理的发现与证明.教学难点 含30角的直角三角形性质定理的探索与证明.引导学生全面、周到地思考问题.教学过程1、创设情境，引入新课教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等腰三角形呢？从而引入新课。在老师的
19、引导下，一般学生都能得出等边三角形的性质；对于等边三角形的判别，学生可能会出现多种情况，如直接从等边三角形性质出发，当然也可能有学生考虑分步进行，现确定它是等腰三角形，再增补条件，确定它是等边三角形。这是教师可以适时提出问题：如果已知一个三角形是等边三角形的基础上，如何确定它是等边三角形呢？下面是实际教学中的部分师生活动实况：生等腰三角形已经有两边分别相等，所以我认为只要腰和底相等，等腰三角形就成了等边三角形生等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60我认为等腰三角形的三个内角都等于60，等腰三角形就是等边三角形了(此时，部分同学同意此生的看法，部分同学不同意此生的看法，引起激烈地争论教师可
20、让同学代表充分发表自己的看法)生我不同意这位同学的看法因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形根据等角对等边，三个内角都是60，所以它们所对的边一定相等但这一问题中“已知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，我觉得他给的条件太多，浪费!师给三个角都是60，这个条件的确有点浪费，那么给什么条件不浪费呢?下面同学们可在小组内交流自己的看法(2)你认为有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流(教师应给学生自主探索、思考的时间)2、讲述新课学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概
21、括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：性质判定的条件等腰三角形（含等边三角形）等边对等角等角对等边“三线合一”即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合有一角是60等边三角形三个角都相等，且每个角都是60三个角都相等的三角形是等边三角形活动注意事项与效果：由于有了第1环节的铺垫，学生多能探究出：顶角是60的等腰三角形是等边三角形；底角是60的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形。对于前两个定理的形式相近，教师可以进一步提出要求：能否用更简捷的语言描述这个结论吗?从而引导学生得出：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。在学生
22、得出这些结论的基础上，教师注意引导学生说明道理，给出证明的思路，选择部分命题，给与严格的证明，由于“有一个角是60的等腰三角形是等边三角形”的证明需要分类讨论，因此，可以以此问题作为对学生证明的要求，并与同伴交流证明思路并要求学生思考证明中的注意事项，从而点明其中的分类思想，提请学生注意：思考问题要全面、周到3、议一议教师直接提出问题：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：含30角的直角三角形。拿出三角板，做一做：用含30角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结
23、论？说说你的理由学生一般可以得出下面两种图形：其中第1个图形是等边三角形，对于该图学生也可以得出BD=AB，从而得出：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半注意，教学过程中，教师应注意引导学生说明为什么所得到的三角形是等边三角形。具体的说明过程可以如下：方法1：因为ABDACD，所以AB=AC又因为RtABD中，BAD=60，所以ABD=60，有一个角是60的等腰三角形是等边三角形方法2：图(1)中，B=C=60，BAC=BAD+CAD=30+30=60，所以B=C=BAC=60，即ABC是等边三角形如果学生不能很快得出30度所对直角边是斜边一半，教师可以在图上
24、标出各个字母，并要求学生思考其中哪些线段直接存在倍数关系，并在将三角板分开，思考从中可以得到什么结论。然后在学生得到该结论的基础上，再证明该定理。定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半已知：如图，在RtABC中，C=90，BAC=30求证：BC=AB分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD证明：在ABC中，ACB=90，BAC=30B=60.延长BC至D，使CD=BC，连接AD(如图所示)ACB=90ACB=90AC=AC，ABCADC(SAS)AB=AD(全等三角形的对应边相等)ABD是等边三角形(有一个角是60的等腰三角
25、形是等边三角形)BC=BD=AB4、变式训练 巩固新知活动1：直接提请学生思考刚才命题的逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30吗?如果是，请你证明它在师生分析的基础上，给出证明：已知：如图，在RtABC中，C=90，BC=AB求证：BAC=30证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.ACB=90，ACD=90又AC=ACACBACD(SAS)AB=ADCD=BC，BC=BD又BC=AB，AB=BDAB=AD=BD，即ABD是等边三角形B=60在RtABC中，BAC=30注意事项：该命题的证明中辅助线较复杂，但恰有前面原命题探究活动过程的铺垫，
26、可以给学生一些启示，因此，教学中，教师可以引导学生思考：从前面定理证明的辅助线的作法中能否得到启示？活动2 ：呈现例题，在师生分析的基础上，运用所学的新定理解答例题。例题等腰三角形的底角为15，腰长为2a，求腰上的高CD的长.分析：观察图形可以发现在RtADC中，AC=2a而DAC是ABC的一个外角，而DAC=15=30，根据在直角三角形中，30角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD解：ABC=ACB=15DAC=ABC+ACB=15+15=30CD=AC=2a= a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半)5、课时小结让学生对课堂学习进行小结，注意总结具体的知
27、识、结论，以及解决问题的方法和蕴含其中的思想，如分类讨论思想、逆向思维等6、课后作业教学反思第一章 三角形的证明2直角三角形（一）教学目标：（1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立（3）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力教学重点：了解勾股定理及其逆定理的证明方法结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立教学难点
28、：勾股定理及其逆定理的证明方法教学过程1、创设情境，引入新课通过问题1，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质。问题1一个直角三角形房梁如图所示，其中BCAC， BAC=30，AB=10 cm，CB1AB，B1CAC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少? B1C1呢?解：在RtABC中，CAB=30，AB=10 cm，BCAB105 cmCB1AB，B+BCB190又A+B90BCB1 A30在RtACB1中，BB1BC5cm25 cmAB1ABBB1102.57.5(cm)在RtC1AB1中，A30B1C1 AB1 7.53.75(cm)解决这个问题，主要利用了上节课已经证
29、明的“30角的直角三角形的性质”由此提问：“一般的直角三角形具有什么样的性质呢?”从而引入勾股定理及其证明。教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理如果利用公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗?请同学们打开课本P16，阅读“读一读”，了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理，证明勾股定理的方法2、讲述新课阅读完毕后，针对“读一读”中使用的两种证明方法，着重讨论第一种，第二种方法请有兴趣的同学课后阅读（1）勾股定理及其逆定理的证明已知：如图，在ABC中，C90，BCa，ACb，ABc求证：a2+b2c2证明：延长CB至D，使BDb，作EBDA，并取BEc，连接ED、AE(如图)，则ABCBEDBDE90，EDa(全等三角形的对应角相等，对应边相等)四边形ACDE是直角梯形
