1、高中数学必修1知识讲解讲义目录第一讲 集合的概念1第二讲 集合的关系与运算6第三讲 映射与函数11第四讲 函数的表示方法解析式法16第五讲 函数单调性20第六讲 函数奇偶性27第七讲 指数与指数幂的运算36第八讲 指数函数42第九讲 对数函数50第十讲 对数与对数运算56第十一讲 幂函数61第十二讲 方程的根与函数的零点66第十三讲 用二分法求方程的近似解71第十四讲 几类不同增长的函数模型76第十五讲 函数的图像85第十六讲 函数的综合应用93第十七讲 二次函数性质与函数的图像111第一讲 集合的概念一. 知识思维导图 二. 知识要点解读（一）集合的概念1. 含义：一般地，我们把研究对象统称
2、为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称为集）。（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象. （2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合. （3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 集合通常用大括号 或大写的拉丁字母表示，如A、B、C、元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、 2. 元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA 要注意“”的方向，不能把aA颠倒过来写. 3.
3、 集合中元素的三个特性： (1) 元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2) 元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3) 元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4) 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 4. 集合分类 根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元
4、素的集合叫做无限集【例1】考察下列每组对象能否构成集合？中国的直辖市；young中的字母；不超过20的质数；高一班16岁以下的学生；高一班所有个子高的学生. 【分析】“中国的直辖市”构成一个集合，该集合的元素是“北京、上海、天津、重庆”；“young中的字母”构成一个集合，该集合的元素是“y,o,u,n,g”；“不超过20的质数”构成一个集合，该集合的元素是“2,3,5,7,11,13,17,19”；（质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。与之相对立的是合数：“除了1和它本身两个约数外，还有其它约数的数，叫合数。”如：41=4，42=2，44=
5、1，很显然，4的约数除了1和它本身4这两个约数以外，还有约数2，所以4是合数。）“高一班16岁以下的学生”构成一个集合；“高一班所有个子高的学生”不能构成一个集合，个子高这个标准不可量化。 【例2】：用集合符号表示下列集合，并写出集合中的元素：(1)所有绝对值等于6的数的集合A(2)所有绝对值小于6的整数的集合B【分析】由集合定义：一组确定对象的全体形成集合，所以能否形成集合，就看所提对象是否确定；其次集合元素的特征也是解决问题依据所在.【解】(1)A绝对值等于6的数 ；其元素为：6，6(2)B绝对值小于6的整数；其元素为：5，4，3，2，1，0，1，2，3，4，5（二）集合的表示方法1. 常
6、用数集的表示方法 常用数集简称记法全体非负整数的集合非负整数集N非负整数内排除0的集合正整数集N+或N+全体整数的集合整数集Z全体有理数的集合有理数集Q全体实数的集合实数集R【例3】判断正误：所有在N中的元素都在N*中() 所有在N中的元素都在Z中() 所有不在N*中的数都不在Z中() 所有不在Q中的实数都在R中() 由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0() 不在N中的数不能使方程4x8成立() 注：（1）自然数集包括数0. （2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z* 2. 列举法：把集合中的元素一
7、一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。1)是有限集而元素个数较少 如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x 2)是无限集且元素离散 所有正奇数组成的集合：1，3，5，7， 3)是有限集但元素个数较多 如从1到100的所有整数组成的集合可以表示为1,2,3,4，98,99,100 3. 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。x|p(x)中x为代表元素，p(x)指x具有的性质. 描述法的两种表述形式：1)
8、、数式形式:如由不等式x-54的所有解组成的集合，可以表示为x|x-54；由抛物线y=x2+1上所有点组成的集合，可以表示为(x,y)|y=x2+1。2)、语言形式：如由所有直角三角形组成的集合，可以表示为直角三角形；所有绝对值小于6的整数的集合，可以表示为绝对值小于6的整数。【例4】求不等式2x-35的解集【答案】不等式的解集为x|x4,xR【例5】下列各组对象不能形成集合的是（ ）A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数 D.函数yx图象上所有的点【解】综观四个选择支，A、C、D的对象是确定的，惟有B中的对象不确定，故不能形成集合的是B.【例6】集合A的元素由k
9、x3x20(kR)的解构成，若A中的元素至多有一个， 求k值的范围.【解】由题A中元素即方程kx23x20(kR)的根。 若k0，则x2/3，知A中有一个元素，符合题设 若k0，则方程为一元二次方程. 当98k0即k9/8时，kx23x20有两相等的实数根，此时A中有一个元素.又当98k0即k9/8时,kx23x20无解. 此时A中无任何元素，即A也符合条件 综上所述 k0或k9/8【评述】解决涉及一元二次方程问题，先看二次项系数是否确定，若不确定，如该题，则须分类讨论.其次至多有一个元素，决定了这样的集合或者含一个元素，或者不含元素，分两种情况.三. 知识要点总结1. 含义：一般地，我们把研
10、究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 2. 元素与集合的关系:属于和不属于 3. 集合的中元素的三个特性：元素的确定性，元素的互异性，元素的无序性。4. 集合分类 根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集5. 集合的表示方法 常用数集简称记法全体非负整数的集合非负整数集N非负整数内排除0的集合正整数集N+或N+全体整数的集合整数集Z全体有理数的集合有理数集Q全体实数的集合实数集R6. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。1)是有限集而元素个数
11、较少2)是无限集且元素离散3)是有限集但元素个数较多7. 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。 8. 描述法的两种表述形式：1)、数式形式 2)、语言形式 第二讲 集合的关系与运算一. 知识思维导图 二. 知识要点解读（一）集合之间的关系1. 集合与集合之间的“包含”关系 A=1，2，3，B=1，2，3，4 集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。记作：A B或B A 读作：A包含于（is contained i
12、n）B，或B包含（contains）A 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系 2. 集合与集合之间的“相等”关系 AB且AB，则A=B中的元素是一样的，因此A=B，根据以上我们可以得到这样一个结论：任何一个集合是它本身的子集。即AA。 3. 真子集的概念 若集合A B ，存在至少一个元素属于集合B且不属于集合A ，则称集合A是集合B的真子集（proper subset）。记作：A B 读作：A真包含于B 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。4. 真子集的性质 结论： AB且B C，则AC 【例1】集合A=1,2,3,4，集合B=4,2,3,1，问集合A和集合B相等吗？ 【例
13、2】化简集合A=x|x-72,B=x|x 5，并表示A、B的关系； 【例3】（1）写出集合0，1，2的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。（2）集合a1,a2,a3an，子集个数共有多少个；真子集有多少个；非空子集有多少个；非空的真子集有多少个. （二）集合的运算1. 集合的运算并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）记作：AB 读作：“A并B” 即： AB=x|xA，或xB 2. 集合的运算并集说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可
14、以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 3. 集合的运算交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。记作：AB读作：“A交B” 即： AB=x|xA，且xB说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集。4. 集合的运算补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集
15、合A的所有元素组成的集合称为集合A对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A的补集记作：CUA 即：CUA=x|xU且xA 补集的Venn图表示说明：补集的概念必须要有全集的限制5. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是且与或，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。6. 集合的运算的一些结论交集ABA，ABB，AA=A，A= ,AB=BA 并集AAB，BAB，AA=A，A=A,AB=BA 补集（CUA）A=U，（CUA）A=
16、若AB=A，则AB，反之也成立若AB=B，则AB，反之也成立若x（AB），则xA且xB 若x（AB），则xA或xB 【例1】A=1,2,3,6，B=1,2,5,10，则 AB=_【例2】已知集合A=1,2,4 , B=2,4,6，则AB=_. 【例3】已知集合A=1,2,k，B=2,5 ，若AB=1,2,3,5 则 k=_. 【例4】已知集合A=1,3, m ,B=1,m，AB=A,则m=（ ）A0 B0或3 C1或 3 D1或3 【例5】A=a,b,c,d,e,B=c,d,e,f.则AB=_ 【例6】设集合M=-1,0,1,N=x|x2x，则MN=（ ）A0 B0,1 C-1,1 D-1,0
17、,0 【例7】已知集合A=xR|3x+20, B=xR|(x+1)(x-3)0,则AB=（）A (-，-1) B(-1,-2/3) C (-2/3,3) D(3, +) 【例8】已知集合A=xR|x+2|3,集合B=xR|(x-2)(x-m)0,且AB=(-1,n) ,则m=_,n=_. 【例9】如果全集U=x|0X6,XZ,A=1,3,5,B=1,4，那么，CUA= _ CUB= _ 【例10】如果全集U=x|0x10,A=x|2x5，则CUA=_ 【例11】已知全集U=0,1,2,3,4 ,集合A=1,2,3 ,集合B=2,4则CUAB=（）A1,2,4 B2,3,4 C0,2,4 D0,
18、2,3,4 【例12】设集合A=x|1x4,B=x|x 2-2x-30,则A( CRB)=（）A 1,4 B3,4 C1,3 D1,2 【例13】已知全集U=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,集合A=0,1,3,5,8,集合B=2,4,5,6,8, 则(CUA) (CUB)=( ）A5,8 B7,9 C0,1,3 D2,4,6 三. 知识要点总结1集合之间的关系相等：集合A与集合B中的所有元素都相同子集：A中任意一个元素均为B中的元素 真子集：A中任意一个元素均为B中的元素， B中至少有一个元素不是A中的元素空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集2集合的运算并集：AB=x|x
19、A，或xB 交集：AB=x|xA，且xB 若全集为U，则集合A的补集为CUA=x|xU且x_A 四. 本章小结第三讲 映射与函数一. 知识思维导图 二. 知识要点解读（一）函数的定义1. 映射 定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:AB. 映射的概念中象、原象的理解： (1) A中每一个元素都有象;(2) B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；A中每一个元素的象唯一。2. 函数(1) 函数的定义：设A、B
20、是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），xA，其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f（x）|xA叫做函数的值域.定义域、值域、对应法则是决定函数的三要素，是一个整体；值域由定义域、对应法则唯一确定；函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”而不是表示“y等于f与x的乘积。3. 函数与映射的区别与联系 (1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映
21、射 (2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数 (3)由映射和函数的定义可知：函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集. 4. 两个函数的相等 函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. 【例1】判断下列各式，哪个能确定y是x的函数？为什么？(1)xy1 (2)xy1(3)y=1-xx-1【解】（1）由xy1得y1x，它能确定y是x的函数 （2
22、）由xy1得y1-x，它不能确定y是x的函数。因为对于任意的xx|x1，其函数值不是唯一的 （3）y=1-xx-1的定义域是，所以它不能确定y是x的函数。【例2】在下列图象中，表示y是x的函数图象的是( ) A. B. C. D. 【答案】B【例3】试判断以下各组函数是否表示同一函数？1，x0-1，x0(1) fx=x2，gx=3x3(2) fx=xx，gx=(3) fx=2n+1x2n+1,gx=2n-1x2n-1(nN*)(4) fx=xx+1，gx=x2+x(5) fx=x2-2x-1，gx=t2-2t-1（二）函数三要素 1. 函数的定义域 研究一个函数，一定要在其定义域内研究，所以求
23、定义域是研究任何函数的前提； 函数的定义域常常由其实际背景决定，若只给出解析式y=f(x)时, 而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数X的集合。 2. 求定义域的几种情况： (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数R(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于0的实数的集合(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合 (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）x(x0)-x(x0)x(x0)x(x0)【例1】与函数y=x表示相同
24、函数的是 ( )A.y=x2 B.y=x2x C.y= D.y=【答案】D【例2】求下列函数的定义域 (1) y=x-8+3-x(2) y=x2-1+1-x2x-1(3) y=x-2x2-4(4) y=11-11-1x-x【例2】求下列函数的定义域 (5) 设f(x)的定义域为0,2，求函数f(x+a)+f(x-a)(a0)的定义域（三）函数表示方法1. 常用的函数表示法(1) 解析式；(2) 列表法；(3) 图像法。2. 区间的概念: 设a,b是两个实数，而且ab, 我们规定：(1)满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为 a,b (2)满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示
25、为 (a,b) (3)满足不等式axb或aa,xa,xa的实数的集合分别表示为a, +)、(a, +)、(-，a、(-,a). 3. 分段函数 习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数，对它应有以下两点基本认识：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。 4. 复合函数 定义：如果y是u的函数，记为y=f(u),u又是x的函数，记为u=g(x)，且g(x)值域与f(u)的定义域交集不空，则确定了一个函数y=fg(x)，这时y叫做x的复合函数。 x2+1,x1 2x,x1fx= 【例1】 设函数 ，则 f(f(
26、3)= 【例2】 已知定义在区间(0,2)上的函数的图像如图所示,则y=-f(2-x)的图像为( ) 【答案】B1 (x为有理数)0 (x为无理数) 1,x0【例3】 设f(x)= 0,x=0 ，g(x)= ，则f(g()的值为（） -1,x0【例4】 函数y=x+1x的定义域为_.三. 知识要点总结函数映射两集合A,B设A,B是两个非空数集设A,B是两个非空集合对应法则f：AB如果按照对应法则f，对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素y和它对应如果按照某种对应法则f，对于A中的一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应名称称这样的对应为从A到B的一个函数这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射记法Y=f(x),xAf：AB1. 给定两个非空 A和B,如果按照某个 , 对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有 和它对应,那么就把对应关系f叫做定义在集合A上的函数,记作 .其中,x叫做 ,x的取值范围A叫做函数的 ; 集合f(x)|xA叫做函数的 . 2. 构成函数的三要素: 、 和 . 3. 常用的函数表示法:(1) ;(2) ;(3) 4. 两个函数的相等：两个函数能成为同一个函数的充要条件是 与 都相同. 第四讲 函数的表示方法
