1、现代控制工程及测试技术作业班级： 硕911姓名： 卓迅佳学号： 31090090281. 用MATLAB求解微分方程的不同命令求解如下微分方程。，1) 至少选用两种求解微分方程的命令；2) 在同一幅图上，用不同属性、颜色的曲线表示和；解：编写m文件程序如下：%-第一种方法采用函数ode23或ode45解-clear all;close all;t0=0;tf=15;y0=0,0.4,-0.2;t,y=ode23(vdpl,t0,tf,y0);figure(1)plot(t,y(:,1),g-,t,y(:,2),r-)title(用ode23函数实现微分方程的数值解)xlabel(time/se
2、c)ylabel(value)legend(y,y)grid %-第二种方法采用dsolve函数求解-t1=0:0.05:15y=dsolve(D3y+2*D2y+3*Dy+2*y=0.5,y(0)=0,Dy(0)=0.4,D2y(0)=-0.2)s=subs(y,t1);dy=diff(y);s1=subs(dy,t1);figure(2)plot(t1,s,g-,t1,s1,r-)title(用dsolve函数实现微分方程的符号解)xlabel(time/sec)ylabel(value)legend(y,y)grid在方法一中将高阶微分方程等效表达成一阶微分方程组的程序如下：functi
3、on xdot=vdpl(t,x)xdot=zeros(3,1);xdot(1)=x(2);xdot(2)=x(3);xdot(3)=-2.*x(3)-3.*x(2)-2.*x(1)+0.5;程序运行的结果及输出图形如图1.1，图1.2所示：y=1/4-3/20*exp(-t)+2/35*7(1/2)*exp(-1/2*t)*sin(1/2*7(1/2)*t)-1/10*exp(-1/2*t)*cos(1/2*7(1/2)*t)dy=3/20*exp(-t)+3/140*7(1/2)*exp(-1/2*t)*sin(1/2*7(1/2)*t)+1/4*exp(-1/2*t)*cos(1/2*7
4、(1/2)*t) 图1.1 用ode23函数求微分方程的解及解的一阶导数 图1.2 用dsolve函数及diff函数求微分方程的解及解的一阶导数2. 负反馈系统的前向通道和反馈通道传递函数分别为； 1) 求闭环系统的标准传递函数模型，零极点增益模型，状态空间模型；并将状态空间表达模型转换成可控标准型和可观测标准型。2) 用传递函数模型求系统的单位阶跃响应；用零极点增益模型求单位斜坡响应；用状态空间表达模型求单位脉冲响应。解：编写m文件程序如下：%-第二题-clear all;close all;sys1=tf(4,16,1,1,5,20); %前向通道传递函数sys2=zpk(-1,-3,-5
5、,2); %反馈通道传递函数%-生成标准传递函数模型、零极点增益模型、状态空间模型disp(闭环系统的零极点增益模型为:)zpksys=feedback(sys1,sys2) num,den=tfdata(zpksys,v); disp(闭环系统的标准传递函数模型为:)tfsys=tf(num,den) disp(闭环系统的状态空间模型为:)A,B,C,D=ssdata(zpksys) abcdsys=ss(zpksys)%-下面将状态控制模型转换成可控标准型和可观测标准型%- 判断系统是否可控M=ctrb(A,B); r1=rank(M);l1=length(A);if r1l1 disp(
6、系统是状态不完全可控的！);else disp(系统是状态完全可控的！); disp(将状态空间模型转换为可控标准型：) JA=poly(A); a4=JA(2);a3=JA(3);a2=JA(4);a1=JA(5);a0=JA(6); W=a1 a2 a3 a4 1; a2 a3 a4 1 0; a3 a4 1 0 0; a4 1 0 0 0; 1 0 0 0 0; %计算变换矩阵T T=M*W; Ac=inv(T)*A*T Bc=inv(T)*B Cc=C*T Dc=D end%-判断系统是否可观 V=C A*C A*A*C (A)3*C (A)4*C;r2=rank(V);l2=size
7、(A,1);if r2l2 disp(系统是不完全可观的);else disp(系统是状态完全可观的); disp(将状态空间模型转换为可观测标准型：) %计算变换矩阵Q Q=inv(W*V); Ag=inv(Q)*A*Q Bg=inv(Q)*B Cg=C*Q Dg=D end%-求系统的单位阶跃响应，单位斜坡响应，单位脉冲响应t1=0:0.2:5;figure(1)step(tfsys,t1) %传递函数模型求系统的单位阶跃响应title(传递函数模型求系统的单位阶跃响应);grid%-零极点增益模型求单位斜坡响应%-转换为求zpksys与1/s乘积的单位阶跃响应zpk2sys=zpk(,0
8、,1); %zpk2sys=1/sG=series(zpksys,zpk2sys); t2=0:0.2:5;figure(2)step(G,t2);title(零极点增益模型求单位斜坡响应);grid%-用状态空间模型求单位脉冲响应t3=0:0.2:5;figure(3)impulse(A,B,C,D,1,t3)title(状态空间模型求单位脉冲响应);grid程序运行的结果如下：1）闭环系统的零极点增益模型为:Zero/pole/gain: 4 (s+3) (s+4) (s+5)-(s+3.332) (s+5.153) (s+2.029) (s2 - 1.514s + 9.532) 闭环系统
9、的标准传递函数模型为:Transfer function: 4 s3 + 48 s2 + 188 s + 240-s5 + 9 s4 + 28 s3 + 83 s2 + 275 s + 332 闭环系统的状态空间模型为:A = 0.7568 2.9931 -0.7916 1.4741 0 -2.9931 0.7568 -0.3522 0.6558 0 0 0 -5.1533 2.1479 0 0 0 0 -3.3316 2.0000 0 0 0 0 -2.0288B = 0 0 0 0 4C = 3.2269 0 -0.2685 0.5000 0D = 0系统是状态完全可控的！将状态空间模型转
10、换为可控标准型：Ac = -0.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 -332.0000 -275.0000 -83.0000 -28.0000 -9.0000Bc = 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000Cc = 240.0000 188.0000 48.0000 4.0000 0Dc = 0系统是状态完全可观的
11、将状态空间模型转换为可观测标准型：Ag = 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -332.0000 1.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -275.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 -83.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 -28.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000 -9.0000Bg = 240.0000 188.0000 48.0000 4.0000 -0.0000Cg = 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000D
12、g = 02）运行结果如图2.1、图2.2、图2.3所示： 图2.1 传递函数模型求系统的单位阶跃响应 图2.2 零极点增益模型求单位斜坡响应图2.3 状体空间模型求单位脉冲响应3. 设反馈系统的开环传递函数为1) 绘制系统的根轨迹。2) 确定系统稳定时的值范围。解：编写m文件程序如下：%-第三题-clear allclose allnum=1 1;den=conv(conv(1,0,1,-1),1,4,16);G=tf(num,den)rlocus(G) %求系统的根轨迹gridxlabel(实轴);ylabel(虚轴);title(根轨迹图);%-下面求根轨迹与虚轴交点的增益及频率K,Wc
13、g=plzy(G)程序运行结果如图3所示： 图3 系统的根轨迹图K = 23.3163 35.6837Wcg = 1.5616 2.5615从图3中可以看出，使系统稳定的K值的取值范围为: 此时对应的频率为1.5616 rad/s和2.5615 rad/s。4. 单位反馈系统具有如下的开环传递函数。1) 绘制系统的Nyquist图，判别系统的稳定性。2) 绘制系统的Bode图。确定系统的幅值交界频率，相位交界频率，相位裕量和幅值裕量。解：编写m文件程序如下：%-第四题-clear allclose allnum=10,10;den=conv(conv(0.1,1,5,1),8,1);sys=t
14、f(num,den);%-绘制Nyquist图figure(1)nyquist(sys,-b);title(系统Nyquist图);v=-5 10 -8 8;axis(v);xlabel(实轴);ylabel(虚轴);%-画系统的Bode图figure(2)bode(sys)grid;title(系统Bode图)%-Wcm为幅值交界频率，Wcg为相位交界频率，Pm为相位裕量，Gm为幅值裕量Gm,Pm,Wcg,Wcm=margin(sys)运行结果如图4.1，图4.2所示： 图4.1 系统的Nyquist图 图4.2 系统的Bode图从图4.1可以看出，极坐标图不包围（-1，j0）点，而系统开环
15、传递函数没有右半s平面的极点，因此闭环系统是稳定的。 运行程序可知，系统的幅值交界频率Wcm = 0.5018，相位交界频率Wcg = Inf，相位裕量Pm =59.4929和幅值裕量Gm =Inf。5. 如题图所示的系统。题5图 在rltool环境设计一个PID控制器，使闭环系统一对共轭复数极点位于。分析系统给定值阶跃扰动时系统的瞬态响应过程和性能指标；并说明极点能否作为闭环系统的主导极点，为什么？解：编写m程序如下：%-第五题程序-clear allclose allnum=1;den=1 0 1;sys=tf(num,den)产生的受控对象模块sys为：Transfer function
16、: 1-s2 + 1在MATLAB的Command Window窗口键入rltool打开根轨迹设计的GUI窗口，导入受控对象模块sys。首先观察C(s)=K时的根轨迹图, 可知无论如何调整增益K，根轨迹都不可能经过的希望极点，可见单纯的P控制器不能满足控制要求，因此还需要添加零点或极点。在s平面上添加一实数零点，用鼠标拖动零点观察此时根轨迹的变化趋势，当零点移至-1.49后，根轨迹就经过希望的闭环极点 ，如图5-1所示，此时采用理想微分作用的PD控制器，控制器的传递函数为，闭环系统的零点为-1.49，故系统的闭环传递函数为：。打开LTI Viewer for SISO Design Tool窗
17、口,显示闭环阶跃响应，如图5.2所示。性能参数：超调量为41.2%，峰值时间为1.06S，调整时间为3.72S。由于此时的零点为-1.49，极点为，在极点附近有闭环零点，故不能作为闭环主极点。图5.1 时的根轨迹图图5.2 采用PD控制器的阶跃响应6. 控制系统具有如下控制对象传递函数定义状态变量，利用状态反馈，把闭环极点配置到，试用MATLAB求所需的状态反馈增益矩阵。解：根据系统的传递函数可以得到系统的线型微分方程为：整理得：写成矩阵向量形式即为：。式中：，。编写m程序如下：%-第六题-%-依题意可知系统的状态方程模型-A=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6;B=0;0;10;P=
18、-2+j*2*1.732 -2-j*2*1.732 -10;K=acker(A,B,P)程序运行结果如下：K = 15.3993 4.4999 0.80007. 题图所示为电站锅炉三冲量给水控制系统典型示意图。图中为蒸汽流量信号； 为蒸汽流量测量变送装置放大系数，。为给水流量信号； 为给水流量测量变送装置放大系数，。为汽包水位信号； 为汽包水位测量变送装置放大系数，。为给水流量对汽包水位传递函数。为蒸汽流量对汽包水位传递函数。为执行器构传递函数。分别为主、副控制器。分别为蒸汽、给水流量分流系数。题7图 锅炉三冲量给水控制系统试用SIMULINK及LTI Viewer 对控制器参数进行设计和整定
19、。基本要求如下：1) 系统的超调量不大于；2) 主控制器选择PI或PID控制器；副控制器选择P,PD或PI控制器；3) 选择不同的主、副控制器类型组合，进行仿真和参数阐述整定研究，画出阶跃响应曲线，综合评价比较性能指标。解：（1） 搭建SIMULINK下控制系统的仿真模型，如下图7.1所示： 图7.1 锅炉三冲量给水控制的Simulink模型（2）按照两步法来整定串级控制系统的参数：将主控制器设置成的工作状态，用衰减曲线法整定副回路，当副回路75%衰减率时的比例增益,震荡周期。然后置副控制器比例增益,求得当主回路75%衰减率时主控制器的比例增益,瞬态响应周期。即：； 当副控制器采用P作用，主控
20、制器采用PI作用时；，此时系统单位阶跃响应曲线图如图7.2所示：图7.2 ，时的阶跃响应此时不满足超调量在20%范围内的要求，对控制器参数进行调整如下：；此时系统的单位阶跃响应如图7.3所示：图7.3 ，时的阶跃响应超调量为6%，响应时间为117s，满足要求。当副控制器采用P作用，主控制器采用PID作用时；。此时系统的阶跃响应如图7.4所示： 图7.4 ，时的阶跃响应由图可知，超调量为57%，不符合要求。经调整后的PID参数如下：，此时系统的阶跃响应如图7.5所示：图7.5 ，时的阶跃响应超调量为17.5%，调整时间为100s，满足要求。当副控制器采用PI作用，主控制器采用PI作用时； ；此时
21、系统的阶跃响应如图7.6所示：图7.6 ,时的响应此时系统发散，不符合要求。对控制器参数进行调整如下：，系统的阶跃响应如图7.7所示：图7.7 ，时的响应此时响应曲线的超调量为7.5%，响应时间为105s。满足要求。当副控制器采用PI作用，主控制器采用PID作用时；此时系统的阶跃响应如图7.8所示：图7.8 ，时的响应由图7.8可以看出，系统超调量超过20%，不符合要求，对控制器参数进行调整如下：；此时系统的阶跃响应如图7.9所示：图7.9 ，时的响应此时响应曲线无超调，响应时间为50s。满足要求。（3）综合评价性能指标当主控制器采用PI控制器时，能使系统稳定，经整定参数后，系统响应曲线的超调量较小，满足要求，但调整时间相对较长。当主控制器采用PID控制器时，能使系统稳定，但超调量较大，进一步调整参数后，可使超调量满足要求，同时，与主控制器为PI控制器相比，系统的调整时间较短。副控制器采用P控制器时，调整主控制器参数，也能满足要求，此时，调整时间虽然较长一些，但控制系统相对简单。
