1、高中数学第三章直线与方程33直线的交点坐标与距离公式第2课时点到直线的距离两条平行线间的距离讲义含第课时点到直线的距离、两条平行线间的距离核心必知预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材，回答下列问题：()如何用代数方法求点(，)到直线：的距离？提示：由，以及直线的斜率为，可得的垂线的斜率为，因此，垂线的方程可求出解垂线与直线的方程组成的方程组，得点的坐标，用两点间距离公式求出，即为点到直线的距离()能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离，如何转化？提示：能，由于一条直线上任意一点到另一条直线的距离都是两条平行直线间的距离，所以只要在一条直线上找到一个已知点，求这点到另一条直线的距离即可归
2、纳总结，核心必记()点到直线的距离概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离公式：点(，)到直线: 的距离，.()两平行直线间的距离概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离公式：两条平行直线：与：之间的距离.问题思考在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有何要求？提示：应用点到直线距离公式的前提是直线方程为一般式在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？提示：两直线的方程为一般式且，的系数分别相同课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点()点到直线的距离公式是什么？应注意什么？；()两平行直线间的距离公式是什么？应注意什么
3、？.在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短将铁路看作一条直线，仓库看作点.思考若已知直线的方程和点的坐标(，)，如何求到直线的距离？名师指津：过点作直线，垂足为，即为所求的距离直线的斜率为，则的斜率为，的方程为()，联立，的方程组，解出点坐标，利用两点间距离公式求出.思考在直角坐标系中，若(，)，则到直线: 的距离是不是过点到直线的垂线段的长度？提示：是思考应用点到直线的距离公式应注意什么问题？名师指津：()直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式例如求(，)到直线的距离，应先把直线方程化为，得.()点在直线上时，点
4、到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点与直线的位置关系()直线方程中或时，公式也成立，也可以用下列方法求点到直线的距离(，)到的距离；(，)到的距离. 讲一讲()在平面直角坐标系中，点()到直线的距离为(链接教材例)()求垂直于直线且与点()的距离是的直线的方程尝试解答()由点到直线的距离公式可得.()设与直线垂直的直线的方程为，则由点到直线的距离公式知：.所以，即.得或，故所求直线的方程为或.答案()点到直线的距离的求解方法()求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可()对于与坐标轴平行(或重合)的直线或，求点到它们的距离时，既可以
5、用点到直线的距离公式，也可以直接写成或.()若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可 练一练已知点()()到直线: 的距离为，则() 解析：选由点到直线的距离公式知，得.又，.点()到直线：的距离是解析：点到直线的距离.答案：观察下面坐标系中的直线，思考如下问题：思考若过(，)的直线与: 平行，那么点到的距离与与的距离相等吗？提示：相等思考怎样理解两平行直线间的距离公式？名师指津：()求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式()利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且，的系数对应相等()当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形
6、结合来解决两直线都与轴垂直时，：，：，则；两直线都与轴垂直时，：，：，则. 讲一讲已知直线：和：，直线与，的距离分别是，若，求直线的方程尝试解答由直线，的方程知.又由题意知，直线与，均平行(否则或，不符合题意)设直线：(且)，由两平行线间的距离公式，得，又，所以，解得或.故所求直线的方程为或.求两平行直线间距离的两种思路()利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离()直接利用两平行线间的距离公式，当直线：，：，且时，；当直线：，：且时，必须注意两直线方程中，的系数对应相等 练一练两直线与的距离等于() 解析：选在上取一点，其到的距离即为两平行线间的距离，.
7、讲一讲两条互相平行的直线分别过点()和(，)，并且各自绕着，旋转，如果两条平行直线间的距离为.求：()的变化范围；()当取最大值时两条直线的方程思路点拨()由两平行线间的距离公式写出与斜率之间的函数关系式，不难求出的范围或利用数形结合求的范围()求出取最大值时斜率的值，即可求出所求直线方程尝试解答()法一：当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为和，则它们之间的距离为.当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为：()，：()，即：，：，即().，且，()()()，即且.综合可知，所求的变化范围为(法二：如图所示，显然有.而.故所求的的变化范围为()由图可知，当取最大值时，两直线垂直于.而，所求
8、直线的斜率为.故所求的直线方程分别为()，()，即和.解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线的特征，然后由已知条件写出的方程 练一练已知直线经过直线与的交点()若点()到的距离为，求的方程；()求点()到的距离的最大值解：()法一：联立交点()，当直线斜率存在时，设的方程为()，即，解得，的方程为()，即.而直线斜率不存在时直线也符合题意，故所求的方程为或.法二：经过两已知直线交点的直线系方程为()()，即()()，即，解得或，的方程为或.()由解得交点()，过任意作直线，设为到的距离，则(当
9、时等号成立)，.课堂归纳感悟提升本节课的重点是掌握点到直线的距离公式，能用公式求点到直线的距离，会求两条平行直线间的距离难点是能用公式求点到直线的距离本节课要重点掌握的规律方法()点到直线的距离的求解方法，见讲.()求两平行直线间的距离有两种思路，见讲.()待定系数法求解有关距离问题的方法，见讲本节课的易错点是求两条平行线间距离时易用错公式，如讲.课下能力提升(二十一)学业水平达标练题组点到直线的距离点(，)到直线的距离是() 解析：选点(，)到直线的距离.点(，)到直线的距离等于() 解析：选直线，即为平行于轴的直线，所以点(，)到的距离().倾斜角为，并且与原点的距离是的直线方程为解析：因
10、为直线斜率为 ，可设直线方程为，化为一般式得.由直线与原点距离为，得.所以，所以所求直线方程为或.答案：或若点(，)到直线的距离是，则的值是解析：，或.答案：或题组两条平行线间的距离已知直线：，：，则，之间的距离为() 解析：选在上取一点(，)，则点到直线的距离为.两平行线分别经过点()，()，它们之间的距离满足的条件是() 解析：选当两平行线与垂直时，两平行线间的距离最大，所以.已知直线经过点()，且斜率为.()求直线的方程；()若直线与平行，且点到直线的距离为，求直线的方程解：()由直线方程的点斜式，得()，整理得所求直线方程为.()由直线与直线平行，可设直线的方程为，由点到直线的距离公式
11、得，即，解得或，故所求直线方程为或.题组距离的综合应用直线过点()且与点()的距离最远，那么的方程为() 解析：选由已知可知，是过且与垂直的直线，由点斜式得，()，即.已知三个顶点坐标()，()，()，求的面积.解：由直线方程的两点式得直线的方程为，即.由两点间距离公式得.设点到的距离为，即为边上的高，所以，即的面积为.能力提升综合练(济宁高一检测)两条平行线：，：间的距离等于() 解析：选的方程可化为，由平行线间的距离公式得.到直线的距离为的直线方程为()或解析：选设所求的直线方程为.由题意，解得或.故选.直线关于点(，)对称的直线方程是() 解析：选法一：设所求直线的方程为，由题意可知.(
12、舍)或.故所求直线的方程为.法二：令(，)为所求直线上任意一点，则点(，)关于(，)的对称点为(，)，此点在直线上，代入可得所求直线方程为.直线到直线的距离和原点到直线的距离相等，则直线的方程是解析：由题意设所求的方程为，则，解得，故直线的方程为.答案：已知直线与直线：和：的距离相等，则的方程是解析：法一：由题意可设的方程为，于是有，即，解得，则直线的方程为.法二：由题意知必介于与中间，故设的方程为，则.则直线的方程为.答案：已知正方形一边所在直线的方程为，对角线，的交点为()，求正方形其他三边所在直线的方程解：点()到的距离为，则.，可设：.点()到的距离也等于，则 .又，即：.，可设：，则
13、()到的距离等于()到的距离，且都等于，或，则：，：.所以，正方形其他三边所在直线方程为.已知点(，)()求过点且与原点的距离为的直线的方程；()求过点且与原点的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；()是否存在过点且与原点的距离为的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由解：()当直线的斜率不存在时，方程符合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线方程应为()，即.根据题意，得，解得.则直线方程为.故符合题意的直线方程为或.()过点且与原点的距离最大的直线应为过点且与垂直的直线则其斜率，所以其方程为()，即.最大距离为，()不存在理由：由于原点到过点(，)的直线的最大距离为，而，故不存在这样的直线.
