1、从应用题到解决问题周玉仁从“应用题”到“解决问题”周玉仁（全文摘自2010年小学数学教师第7、8合刊）应用题历来是我国小学数学教学中的一个棘手问题。2001年课程改革中将应用题更名并扩大为解决问题，近年来已取得一定进展，当然还存在一些问题。本着“回顾历史，面对现实，展望未来”的精神，本文提出下列几个有关问题和同行们研讨。一、应用题教学的历史回顾历史是一面公正的镜子，它能折射出人们在推动社会进步中的贡献与不足，从而总结经验，吸取教训，以利进一步促进社会的发展。在关键时期，适时地作一些历史回顾是十分必要的。我国古代数学有很多辉煌的成就，如九章算术、孙子算经等。但是，由于封建桎梏，闭关自守，数学作为
2、一门课程列人中小学教学计划中，历史的年轮已到了清末民初。民国初年出版的算术教科书，都是按照当时的课程暂行标准编写的，体例大多随美、日，内容除了整数、小数、分数、复名数、简单簿记以外，还都包括不少的应用题。这些内容大概和我国的数学传统有较大关系。大家知道，古代的东、西方数学是不同的。吴文俊院士曾说过：“西方重证定理，而中国的古代数学，不考虑定理，不考虑怎样定义公理，不考虑定理怎样证明，而着重在解决各式各样实践中出现的具体问题，因此重在解方程解多项式程就变成中国古代数学发展的主线。”事实的确如此，以几乎集中了过去和当时全部数学知识的九章算术为例，将246个问题分为九章，其中很多是人们在实践中遇到的
3、各类具体问题，有的还流传至今。下面再结合建国后的教学大纲研究一下小学应用题教学的演变。2001年课程改革以前我国小学算术（数学）教学大纲历经修改，概括起来可分为下面两个阶段。第一阶段：从建国到1965年。当时的算术课程十分重视应用题，1956年小学算术教学大纲（修订草案）中规定：应当用算术课和算术课外作业总时间的一半左右来解答应用题。”同时把应用题按前苏联的经验分为“简单”、“复合”和“典型”三大类，每一大类又细分为很多类型。1963年全日制小学算术教学大纲（草案）将简单应用题分为12种，复合应甩题学到2步5步（按解答步骤多寡分类），典型应用题多达11种12种。其中典型应用题大多是我国传统的数
4、学题型，每一种题目都有其特殊的解题规律或公式，如相遇、追及、流水、工程、植树、盈不足、年龄、方阵、鸡兔同笼、和差、和倍、正反比例、求平均数等问题。由于人为分类过细，要求又高，加之教学不甚得法，养成了学生找类型、背结语、死套公式的弊病，有的学生甚至用找关键词来代替分析数量关系（如见“还剩”就“减”，见“一共”便是“加”，见“倍”就“乘”，见“平均”就要“除”），题目稍一变化，便不知所措。学生的学习负担增加了，应用题这个“老大难”的问题凸显了出来。第二阶段：从1978年到实施义务教育大纲之前。1978年，按照邓小平同志提出的“教材要反映出现代科学文化的先进水平，同时要符合我国实际情况”的精神，制定
5、了全日制十年制学校小学数学教学大纲（试行草案）。大纲明确指出“使学生能够应用所学的知识解决日常生活和生产中简单的实际问题”，课程内容增加了代数初步知识，并将“小学算术”易名为“小学数学”课程。在1978年以前，我国中小学算术与代数历来是泾渭分明，小学只学算术，初中才正式学习代数。从数学发展史来看，算术遇到不能解答的应用题时才促进了方程理论的研究，而方程的出现又简化了算术应用题的解答。所以，当时在小学阶段正式引人一些简易方程，既遵循了从算术到代数的由浅入深的认识规律，重演了历史进程，又因势利导、由高到低地大大缩短了人们的认识历程，应视为我国小学算术具有重要意义的一次大改革。于是，自1978年以后
6、的二十年，一步应用题不再人为分类，而按加、减、乘、除意义自然归类；复合应用题只学到4步（义务教育大纲只到3步）；典型应用题也大幅度地简化，把过繁的删去，只保留求平均数、相遇和工程问题，把一些逆思考的题目如分数除法应用题、正反比例应用题等均列方程求解。这样，应用题的“老大难”问题得到一定程度的缓解，小学生的解决问题能力也有了提高。纵观半个世纪的历史，我国小学应用题教学的改革是处在在一个由繁到简，由单一的算术方法到算术与代数方程灵活运用的渐变过程，这里有继承、有借鉴，也有创新。二、新课程改革大大打破了传统应用题的格局20世纪80年代，随着信息社会信息传递的快速发展，必须随时根据变化作出抉择，于是世
7、界各国都开始注意把数学应用于现实世界的“问题解决”之中。根据数学广泛应用的基本特征，西方（尤其是美国）将“问题解决”作为数学改革的行动纲领，并发展成为世界性的口号；同时，数学教育家波利亚提出的“问题解决”教学也已成为世界各国数学教育界的共识。鉴于我国小学传统应用题教学存在着不少弊端，全曰制义务教育数学课程标准（实验稿）（以下简称课程标准）制定时，为了与之“拉开距离”，干脆将应用题取名为“解决问题”，与国际接轨。近一个世纪以来我国小学算术（数学）把应用题作为一个独立领域的传统格局被彻底打破了，并把应用题融于“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”等领域之内，把它作为各领域
8、解决其相应的实际问题的有机部分而呈现。这种安排，与世界绝大多数国家的小学数学教学大纲相一致，比较合理，也比较符合逻辑。把应用题改为“解决问题”，当然不是一次简单的易名。原课程标准编制组主要负责人之一孙晓天教授曾说过：“解决问题脱胎于应用题，但绝不同于应用题。”究竟两者有什么区别？不妨从西方提出“解决问题”的原意来思考。解决问题是个体在一个新情境下，根据已有的知识和经验对发现的新问题寻求答案的心理过程。所谓“问题”，本身就是被意识到的一种矛盾、一种空缺。而这里讲的“问题”是初次见面的“新”问题，解决问题的策略也是新的；具体说来，是无法从已掌握的知识或经验中直接找出现成的方法以达到解决问题目的的，
9、至少要利用已有的知识、技能、方法进行复杂的加工，它是学生种克服各种障碍的探究活动。问题一旦解决，通过解决问题过程所获得的方法、途径、策略又可以作为学生认知结构中的一个组成部分，变为已知的策略、方法；也就是说，再用这种方法、策略去解决其他问题，就不再是“解决问题”，而是一般的练习作业了。为此，课程标准把“解决问题”列为总体的四大目标（知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度）之一，并贯穿于四大内容的整个教学过程之中，具体要求可以概括为：使学生学会从数学角度发现问题、提出问题、分析问题和综合运用数学知识解决简单的实际问题；获得解决问题的一些基本策略（方法），体会解决问题方法的多样性，发展应用意识
10、、创新意识和实践能力；学会与同伴合作交流；养成评价和反思的意识。而传统的应用题呢，只是众多数学内容中的一个内容，教学中又往往是见“题”论题，目标就是让学生会“解题”；当然也注意到逻辑思维的训练，但是总的说来任务是比较单一的。由此可见，解决问题与应用题教学两者在其功能和价值取向方面都有着明显的区别。再者，解决问题是以解决数学问题为研究对象的，它既包括四则运算、找规律等纯数学的题目，也包括融于课程标准四大内容之中的类似原应用问题模式的题目，更包括直接指向生活实践的综合实践活动的课题，后者更具有综合性、多元性、开放性和挑战性，有助于学生积累数学活动经验，并在综合运用已学知识解决实际问题中感悟到数学各
11、部分知识的联系、数学与其他学科的关系。通过一轮的课改实验，解决问题的成果已初见成效，当然还存在不少有待研究的问题，拟在第三个问题中进行讨论。三、实现解决问题教育功能的几点思考（一）两个转化，一个也不能少小学生在解决问题的过程中，实质上完成认识上的两个转化。第一个转化指从纷乱的实际问题中，收集、观察、比较、筛选有用的信息，抽象成数学问题。这种从现实生活原型中抽象出数学问题的能力，在当今信息社会中是十分重要的，因为从某种角度上看它是“建模”的起点。在小学阶段我们一般不明确提出“建模”，因为方程、方程组、不等式、函数等是基本的数学模型，小学生由于所学数学知识有限，还没有真正地完全接触到这些数学本质的
12、东西。第二个转化是根据已抽象出来的数学问题，分析其中的数量关系，探索解决问题的方法求解或近似解，进而在实践中检验，必要时还需反思自己解决问题的全过程。以上两个转化相辅相成，缺一不可。在以往的小学数学教学中，往往重视的是第二个转化，引导学生分析条件和问题之间的关系，根据数量关系式列式解答并检验，这是解决问题必须具备的基本能力，应予以肯定。但是，最大的缺失是忽视第一个转化，呈现的文字应用题条件不多也不少，与问题完全匹配，根本不需要学生自己去收集信息、发现问题和提出问题。换句话说，第一个转化完全由教材或教师包办了，这是我国传统应用题教学中的一大弊病。而课改后的新教材呢？的确为学生提供了不少新鲜且贴近
13、学生生活情境的，采用图画、对话、表格和文字各种形式呈现的实际问题，让他们感到这些问题都来自自己熟悉的生活，有助于激发学习兴趣，引导他们去发现问题、提出问题，这是很大的进步；但是，在完成第二个转化时，却又往往一带而过，显得相当单薄，甚至认为只要学生知道故事情节，就自然会解题。殊不知了解问题情境是顺利解决问题的必要条件而不是充分条件，让学生学会分析数量关系才是充分条件；只有这样，以后遇到各种变式，才能举一反三，迎刃而解。磨刀不误砍柴工，解决问题是个系统工程，无论是教材编者还是从教的一线教师，都应瞻前顾后，通盘设计，做到“走一步、看两步、想到第三步”。总之，只有同时重视学生在解决问题中的思维跨度完成
14、两个转化，才能大面积、有效地提高解决问题的能力。（二、解决“常规”与“非常规”问题，功能互补新教材中的解决问题基本分两大类。一类是融于“数与计算”等领域并作为解决相关内容的实际问题而呈现的“常规”应用问题，它有利于巩固知识，培养初步的数学思维，学会解答简单的实际问题。另一类以现实问题为载体，引导学生综合所学的知识和经验，通过独立思考或与他人合作，经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的全过程，并能积累数学活动经验，培养学生的应用意识和创造性数学思维。如新增设的“实践和综合应用”等。这是一类具有多元性、开放性、综合性、挑战性的“非常规”问题，在课改中已显示其一定的功能。在实际教学中，以上两类
15、的问题解决是功能互补、和谐发展的。就小学生数学学习的特点来看，培养他们解决具有挑战性的、综合的、多元的、开放的实际问题的能力，还需从解决简单的、一元的、基本的常规问题着手。正如盖一座综合功能的高楼大厦，必须先从一砖一瓦、一块块预制板垒起一样，教材设计也应从简单到复杂、从一元到多元、由常规到非常规统筹安排。目前教学中不少教师的困惑是“常规”的解决问题目标设置不透明，编排体系不清晰，教师往往只知今日不知明日，只见树木不见森林。广大教师希望各套教材编者对内隐在这些“常规”应用问题中的“红线”予以说明，以免教学行为的失控。尤其在两步运算解决问题时，问题就比较突出。有的教材在学习混合运算（“先乘除，后加
16、减”，“先算小括号里的”）时，就把所有的两步应用问题都安排在练习中出现。在他们看来，只要会“算”就自然会“用”，往往在同一节课内，要求同时达到“算”和“用”的两个目标。不少学生感到困难，教师不得不从练习中挑出一些题目作新课讲解。此外，关于运算顺序的教学也有值得研究的地方。以往的教材编排是先学运算顺序，并明确告知学生这是数学上的规定，接着按此规定进行混合运算练习；然后在解答两步运算应用问题时列综合算式求解，以保证结果的唯一性。这种安排层次清楚，无可非议。现在大多数新教材，都是先创设问题情境，从实际问题引入，其目的是便于小学生去理解和接受这一规定，同样是合理的。例如北师大版二年级下册教材出现“小熊
17、购物”插图，并以对话形式呈现以不题目：小熊买了4个面包和1瓶饮料，面包每个3元，饮料每瓶6元，小熊应付多少元？算式：3x412(元)3x46 63x412618（元）126（）1218（元）（）（元）由此启发学生思考：“有加又有乘，先算什么？再算什么？”很明显，教材编者的意图是帮助学生利用这一故事情境去理解“先乘除后加减”的含意。教学中，如果教师能因势利导、画龙点晴地向学生指出：“你们的认识与数学上的规定是完全一致的，以后遇到混合运算时都要按照这个规定来运算”，那么我认为是很成功的。可是，在实际教学中，有些教师却误认为运算顺序的产生来自于生活情境，给学生的认知带来了很大的负面影响。（难倒不是生
18、活实际的情况决定了运算顺序吗？）应该知道，在现实生活的素材里，有要先算乘除的，也有要先算加减的，如果让学生通过现实生活的素材去理解应属于纯数学范畴的运算顺序（哪么数学范畴的运算顺序是如何规定的，来源何在？），逻辑上是行不通的。因此，如何吃透教材的编写意图，根据儿童的认知规律，突出数学本质，仍是当前课堂教学中的一个重要问题。（3）做好图画情境问题与文字应用问题的恰当过渡遵循低年级儿童的年龄特征，一年级可以多呈现一些图画情境题，以利于激发学习兴趣，帮助儿童身临其境地了解题意。如有的一年级教材，画面上有两堆水果，一堆上标了“苹果28箱”字样，另一堆标上“梨24箱”，旁边有一辆小卡车，车身标明“限装5
19、0箱”，小卡通问：“一次能运完吗？”这样的问题情境生动活泼，贴近儿童的生活，改变了过去“一共有多少”的固定问题模式，思维含量高，孩子们能不喜欢吗？当然，提供的情境要防止过泛过大，要简明有童趣，要突出数学的本质。在课改实验的几年内，不少教师已摸索出一些成功的经验，譬如有的根据教科书中提出的问题，引导儿童从情境图中去寻找相应的有用的信息，“你看到了什么？又看到了什么？”有的要求他们根据观察收集到的信息，自己去发现问题，“你还能提出什么数学问题？”并注意启发学生学会有条理地表述图意，为正式解决问题打下良好的基础。 进入二年级，教材可以逐步出现一些或半文半图、或表格式的、或直接用文字叙述的应用问题，以
20、培养他们初步的抽象概括能力。图画情境在低年级是必要的，但不能只停留于此而过分迷恋。我认为，文字应用问题与图画情境题提供的都是数学情境，不同的是前者提供的情境是概括的、理性的、经过提炼的，解答这种言简意赅的数学问题是实行第二个转化的必需，同时也是数学的本意所在。所以我们不仅要引导学生会看图，还要会读题，读懂题。“读懂”，对小学生来说，并不只是能区分题目中的条件和所求，而是要把题目中的故事内化成学生自己的认识，并保留清晰的印象，正如有的老师所总结的“读文想图”、“观图思文”、“图文合一”，然后才有可能正确地解题。（四）重视数量关系的分析无论是“常规”还是“非常规”的问题解决，在弄懂题意、分清条件和
21、问题后，都要着重分析数量关系。解析应用问题的核心就是分析数量关系，数量关系有反映加、减、乘、除意义的基本数量关系，还有密切结合某类实际问题概括而得的常见数量关系。在日常教学中，不少教师都常发现某些数学能力强的学生，当读完一遍题目后，马上就能洞察到题目的“骨架”，这个“骨架”往往就是数量关系。例如有这样的题目：中国银行某网点销售奥运门票。上午售出120张，下午比上午多售出30张，这一天共售出奥运门票多少张？上午售票张数下午售票张数一天共售票张数？学生无论从条件推向问题（习惯上叫“综合法”）去思考，还是从问题追溯到条件去分析（习惯上叫“分析法”），根据上述的数量关系式，都能推知只要先求出下午的售票
22、数，便可得出该题的最终答案。列式：2030150（张），150120270（张）。此时，教师佯作困惑地问：“我真不明白，120这个条件怎么用两次啊？”一个小学生天真地说了自己的思路：“下午卖出多少张票还不知道，我拐了个弯，用12030先求出下午的售票数，再算150120才是一天的总售票数。”多好的一个“拐个弯”，正因为他抓住了这一基本数量关系，连这样含有隐蔽条件容易出错的问题也能顺利解决。又如“相遇问题”是“速度时间路程”这一数量关系的直接运用，只不过加上“两物体所行路程和等于总路程”的特征而已。这样的常见数量关系是一种数学模型，是以后学习变速运动的基础，在微积分中也常要用到。在小学阶段学到的
23、“单价数量总价”、“工作效率工作时间工作总量”也都是数学模型。在小学生理解的基础上用数学语言（包括符号）概括其中的数量之间的变化规律，既是锻炼数学思想的重要形式，又大大有利于提高解决实际问题的能力。（5）适时提供一些行之有效的解题策略实际问题变化多端，有的结构也各不相同，并非一开始就：能发现其中的数量关系。教材如能适时地让学生感悟到一些有效的解题策略，将能大大促进学生数学思维和解决问题能力的提髙。近年来，国外数学教材对此有所反映，我国新教材也作了新的尝试。有的注意结合有关内容渗透一些数学思想和解决问题的策略；有的教材还在六年级下册总复习时，对前面见过的“策略”回顾梳理，升华学生的认识，如北师大
24、版教材、青岛版教材；还有的教材采用分散与集中相结合的原则，在第一学段适时渗透一些数学思想和一般的解题策略，到第二学段每册都单设“解决问题的策略”一章，不按题型归类，而按策略组合所选素材，随着年级的升高，越来越体现策略的灵活和多样，如苏教版教材。总之，各套新教材已迈开步子作了不少有益的尝试，并取得一定实效，当然还需作进一步的实验研究。解决问题的策略应该包括解题方法，它又比解题方法上位一些，解决问题的策略是在数学思想支持下的解题思路、方式和方法。所以有的学者把策略比作战略，方法比作战术，两者既有区别，又联系密切。下面介绍以下一些除了大家公认的分析法和综合法以外，常用的解决问题的策略。1模拟和实验遇
25、到某些数量关系比较隐蔽的实际问题，可以放手让学生自己去模拟，进人角色，了解题意。如中年级学生曾对下面的问题发出困惑：“有一座大桥长1550米，一列长100米的火车以15米/秒的速度行驶过桥，火车过桥需多少时间？”缺乏生活经验的学生往往错列为“155015”。如果启发学生用身边的短铅笔比作火车，用铅笔盒当作大桥，自己模拟实验火车是怎样过桥的，火车行驶到什么地方才算全部过桥，他们很快便会弄明白为什么要把火车自身的车长也计算进去，从而找到解题方案（1550100）15。2画图示意图画示意图，是低年级儿童解决问题时喜欢采用的形式，比起模拟实验已抽象了步，它“简缩”了题目中的次要成份，把主要成分直观地展
26、示出来，帮助学生去清晰地思考问题。笔者曾为考查低年级学生解决问题的思维水平，出示了如下的变式题：二年级有两个班，这学期（1）班转走5人，（2）班转来8人，这学期二年级人数比上学期（ ）（ ）人。（只填空，不列式）该题正确率约43%，相当一部学生认为题中没有告诉上学期（1）（2）班各有的人数，无法解答而不作答。答对的少数学生这样说：“因为转来的人数比转走的多，8比5多3，所以这学期人数比上学期（多）（3）人。”其余答对的学生有的先假设上学期（1）（2）班的人数再逐步推出，也有的通过画示意图来解决。下面是一位小同学所画的示意图，他还生动地说明自己的思考过程。“本来两个班的人数都是全的，后来 （1）
27、班转走5人（画箭头人人人向下，5人），（2）班转来8人（画箭头向上，8人）。”这时他已将题目中的故事用图画呈现其形象，但我们仍百思不得其解。稍待片刻他又接着说:“我从（2）班的8人中抽出5人补给（1）班，不就行了吗？（随手从（2）班处向（1）班画箭头，5人） 所以这学期比上学期（多）（3）多人。”通过画图，对头脑中的表象进行组合加工，形象思维和抽象推理相互结合，生动而有效地解决了问题。（2）线段图线段图采用了数与形相结合的形式将事物之间的数量关系一目了然地呈现出来，使抽象问题具体化，复杂关系明朗化。这是小学数学学习中常用的一种解题策略。尤其在学习，分数、百分数实际问题时，学生只要把部分与整体的
28、关系、具体数量与比率的对应关系正确地表示出来，问题解决的任务便完成一半了。（3）连线列举图对一些渗透排列思考方法的实际问题，可让学生根据自己的经验用画连线的形式作有序的搭配，一一列举。如解答“用7、3、9可以摆出多少个不同的三位数”，连线列举，不重不漏，十分清楚。百十个（4）集合图对解决一些渗透集合思想的实际问题，可以画集合图把其间的从属关系清楚地反映出来。例四（1）班全班40人参加秋季运动会，每人至少参加一项比赛，其中参加田赛的22人，参加径赛的25人。既参加田赛又参加径赛的有几人？参加田赛参加径赛22人？人25人2225407人即参加田赛又参加径赛3、枚举当数学问题已难与原认知结构建立直接
29、联系，而且难于找到问题解决的人口时，可以采用列表一一“枚举、尝试、猜测，逐步调整，直至问题的解决。尝试与猜测并非是低级的策略，创造与发明往往都是从尝试实验开始。我国著名的古代数学名题“鸡兔同笼”，不少新教材都采用这一策略引导学生获得结果。例 鸡兔同笼，从上面数有8个头，从下面数有16条腿。鸡和兔各有几只？（列表试一试？）鸡（只）兔（只）共有腿数（条）鸡（只）兔（只）共有腿数（条）173044242628532235266220（逐一列举）（对半列举）4. 假设在解决一些较复杂的数学问题时，当已知条件与所求问题之间有明显的空隙而不易探求时，可以根据条件作出符合逻辑的假设，然后根据变化了的新条件进
30、行推理，找出解决问题的途径。在进行假设推理时往往可以用等量代换的思想方法找出解题的捷径。例 小林家买了1套桌椅（图：1张桌子，周围放4把椅子）共用去1040元。（1）已知1张桌子和4把椅子的价格相等，求桌子和椅的单价。 若把1张桌子替换成4把椅子，则椅子单价为1040（44）130（元），桌子单价为1304520（元）；同理，若把4把椅子换成1张桌子，则桌子单价为1040（11）520（元），椅子单价为5204130（元）。（2）已知每把椅子比每张桌子便宜390元，求桌子和椅的单价。假设买的都是椅子（5把），则少花390元，椅子单价为（1040-390）5130元，桌子单价为130390520
31、（元）；同理，假设买的都是桌子，也可求得桌子和椅子的单价。5. 转化利用已有的经验和知识，将复杂的转化为简单的，将未知的转化为己知的，将看来不能解答的转化为能解答的。这就是转化策略的功能。转化策略的感悟，有赖于学生储备良好的认知结构和思维的灵活程度，善于“换一个角度”去观察、去思索，如正向思维受阻，则用逆向思维；分析发现各部分关系缺失，则改从整体着眼思考。下面以苏教版课程实验教科书六年级下册部分内容为例：上述例题要比较两个不同形状图形的面积是否相等，静止地观察不可能有结论，如果通过平移、旋转等变换（等积变形）使它们都转化成长方形，就比较容易找出答案，从而体会到转化在解决问题中的作用。感受到转化在解决问题过程中带来的便利。接着引导学生回顾曾经运用转化策略解决过的问题，如在探求圆面积时把圆转化为近似的长方形，把分数除法转化为分数乘法等，这切都是吧新知识转化成已有的旧知识，把陌生的转化为熟悉的，把复杂的转化为简单的，使“不会”变成“会”，“不能”变成“能”。后面的试一试与练一练，让学生进一步运用转化的策略解决不同的实际问题，感受转化策略的应用价值，积累应用转化策略的经验，提高解决问题的能力。另
