1、数学吉林省长春市十一中学年高二下学期期末考试理吉林省长春市十一中 2013-2014学年高二下学期期末考试数学理一、选择题 （每小题5分，共60分）1. 设全集 U 一1,2,3,4,5?,集合 M1,4?，N1,3,5二则 N Q M =（）A. 1,3? B. 1,5 C.収5? D. U,5?2. 已知 i2 - _1，则 i 1- .、3i =（ ）A. .3 -i B. , 3 i C. 、3 - i D. 3 i3. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A .球 B .三棱锥 C .正方体 D .圆柱4. 设某大学的女生体重 y （单位：kg ）与
2、身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（人孑）（i =1,2,3,n），用最小二乘法建立的回归方程为 0= 0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是（ ）A. y与x具有正的线性相关关系B. 回归直线过样本点的中心 （x, y）C. 若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加0.85kgD. D.若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重为58.79kg则 AM =(则 a21 =图像上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是（二、填空题（每小题 5分，共20分）13.对任意实数 x，有(x-1)4 二a0 a(x-3) a2(x-3)2 a3(x-3)3 a
3、4(x-3)4.x =1 4t则a3的值为二-所截得的弦长为14.直线 5 (t为参数)被曲线 cos3y = T tL 515.将A、B、C、D、E排成一排，要求在排列中，顺序为“ ” ABC ”或“ CAB ”（可以不相令邻），这样的排法有 种.16.定义在(0,咼)上的函数f(x)满足：当XE 1,3 )时，f(x) = 1 X 2 :f (3x) =3f (x).设关于x的函数F (x) = f (x) - a的零点从小到大依次为X!,X2, ,Xn, (n N*).若 a (1,3)，则人 x? x?.x?.二 (用n表示)三解答题(本大题共 70分，解答时要写出必要的文字说明推理过
4、程和演算步骤)(I)求A的大小；(n)若a=6，求b c的取值范围18.(满分12分)如图，已知三棱柱 ABC -A3G的侧棱与底面垂直，且.ACB =90 ,BAC -30 , BC =1,AA =：6，点 P,M,N 分别为 B、CC“、AB1 的中点.(I)求证：PN /平面ABC ;(n)求证：ABj _ A,M ；(川)求二面角 C1 -AB -片的余弦值.19.(满分12分)甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从 6道备选题中一次任意抽取 3道题，独立作答，然后由乙回答剩余 3题，每人答对其中的2题就 停止答题，即闯关成功。已知6道备选题中，甲能答对其中的4道题
5、，乙答对每道题的概率都是 2 .3(I)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；(n)设甲答对题目的个数为 ，求的分布列及数学期望.2 X 220.(满分12分)设F1, F2分别是椭圆 $ =1的左，右焦点，4(I)若P是椭圆在第一象限上一点，且 PF1卩卩2 ,求P点坐标;4(n)设过定点(0, 2)的直线|与椭圆交于不同两点 A,B ,且.AOB为锐角(其中 0为原点)，求直线l的斜率k的取值范围2 221.(满分12分)设函数f (x)二x aln x, a R，其导函数为f (x)；x(I)当a 4时，求f x的单调区间；(n)当 a 兰4 时，于 xi,X2(0,p), xi 式 X2，
6、求证： 厂(xi)f (X2) a xiX2(22题、23题、24题中任选一个作答)22. (本小题满分10分)选修4-1 :平面几何选讲如图所示，AB是。O直径，弦BD,CA的延长线交于 E , EF垂直于BA的延长线于F .求证：(1) . DEA DFA ；(2) AB2 二 BE BD -AE AC.23. (本小题满分10分)选修4-4 :坐标系与参数方程已知极坐标系的原点在直角坐标系的原点处，极轴为 x轴正半轴，直线l的参数x = + J3t方程为 (t为参数)，曲线C的极坐标方程为 P = 4coSJ = t(1) 写出C的直角坐标方程，并说明 C是什么曲线？(2) 设直线|与曲
7、线C相交于P、Q两点，求PQ .24. (本小题满分10分)选修4-5 :不等式选讲设函数f (x )= 2x十4 一 x-4(1 )解不等式f x 2 ;(2)求函数f x的最小值长春市一高中2013-2014年高二下学期数学期末考试（理）答案、选择题（每题 5分，共60 分）题号123456789101112答案CBDDACCDADAB、填空题（每题 5分，共20 分）13、8 14 、7 15 、40 种 16 、6(3 -1)5三、解答题17( I)由已知条件结合正弦定理有： 一a C ，从而：j3cosA si nC si nA3cosA = sin A,tanA = 3 , 0 ：
8、 A ：二，.A 一3b c a (n)由正弦定理得： 41 3 ,sin B sinC sin Ab = 4 _3sin B,c = 4 3sinCb c =4 3si nB 4.3 si nC =4.3 sin B sin( B)- 3= 12s in (B )65:； 二B , 6 ： 12sin(B )26 6 6 6即: b e 6,12 118. (1)证明：连接CB1 , T P是BG的中点， CB1过点P ,/ N 为 AB1 的中点，二 PN /AC ,又 7 AC 面 ABC, PN 二面 ABC, - PN/ 平面 ABC ;(2)在直角心ABC中，I； BC =1，”.
9、N BAC =30,，二 AC = AC1 ,v棱柱ABC - ABQ1的侧棱与底面垂直， 且BQ C1A1 ,以点G为原点，以C1B1所在的直线为x轴建立如图所示空间直角坐标系如图示，则G 0,0,0 ,A 0八 3,0 ,Bi 1,0,0 ,A0J3J6 卜 M ”0,0，逅,.AB 二 1,- 3, -16 ,二 0 , . AM _ AB1 ；BVI I 吋LzC(3 )依题意得 G 0,0,0 , A 03,0 ,Bg。), g 恵),甲0疋),C(0,M ), M|。，0，寧设面AB1C1,n G B1 = 0 由 1I n C1A = 0的一个法向量为 n二x, y,z ,，得X
10、 =0i 3y 、6z = 0，令 z =1，得 n 二 0 .2,1 ,同理可得面AA1B1的一个法向量为故二面角的平面角 日的余弦值为cos日=cos m, n19.解：（1）设甲、乙闯关成功分别为A、Bo则 p（A）=C； c2 4C；20 532、13c2727所以，甲乙至少有1人闯关成功的概率为1-P A P B =1 一5 27128135（2）由题意,= 1,2P =1 =乩3 , P =2 电5c； +c；C22c3-c4 c；C63c；匕1214P一551 4E =1 25 520.解:(1)521.解：(1)当 a - -4 时,f(X)二 2x22X34 2(x -2x
11、-1)厂X X解得:15x -2所以：函数f(x)的单调增区间为152令 f (x) _0，即：x3 -2x-1 _0 , (x 1)(x2 -x-1)_02 a(2) f (x) =2x 2 ，所以:x xf (xj - f 吃)| =2 a(2x1 - p +)2 a_(2X2 _飞 + )为x2c2(X1+x2) a2 2 2x1 x1x2 x2X-! X2 X-! X2F面证明 x1,x (0/ :), x-= x2，有 2 2(x12 2x2)- a 1 恒成立,x1 x2 x1 x2即证：a X1X2 ( 1 2)成立,NX2X1X2 2(X1 X2)X1X2 4,X2 辛 X2只需证明:4x-! x2 + a 即可,X1X2 2对此：设 t - %x2 ,t O,u(t) = t而u(t)“2舒2彳曲片0所以：a ：XiX2 2(Xl X2).故命题得证.NX?22. (1) x2 y2 =4 圆(2) 723、(1)92
