1、乐山师范学院毕业论文(设计) 影院座位设计的数学模型2002级3班 吴小刚【摘要】:本文在平均视角越大越好的前提下,建立了一个简单的数学模型,求出了最佳视角所在位置,提出了进一步提高观众满意程度的地板设计方案。【关键词】:视角 平均视角 模型 数学建摸问题提出:下图为影院的剖面示意图,座位的满意程度主要取决于视角。仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角,是观众眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的夹角,视角的大小等于-,c为观众平均坐高。 a=3.9m b=2.1m d=4.5m D=19m c=1.1m(1) 地板倾角=10度,问最佳位置在什么地方。(2) 求地板线倾角 (一般不超过20度),
2、使所有观众的平均满意程度最大。(3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。模型假设:1、观众的满意程度主要取决于视角-,越大越好。 2、观众眼睛处于同一斜面,可以在斜面的任意位置。 3、如图建立直角坐标系,设某观众的眼睛在此坐标系中的坐标为(x,y)。 模型建立:根据题目,结合模型假设,有 Y=xtan tan= tan=tan (=模型求解:(1)令f(x)=(d+x)+为增函数要使tan()最大,即视角最大,只需f(x)最小,为此,我们对f(x)求导f(x)=1+=1+令f(x)=0x= (0x14.5)0x0x14.5 f(x)0因此,tan()在x=处取得最大值。将 a=
3、3.9,b=4.5,=10度代入上式,解得x=3.7m综上,当地板倾角=10度时,最佳座位在离屏幕水平距离为4.5+3.7=8.2m处。(2)假设相邻两排观众间的水平距离为1 m,那么观众所在位置的横坐标x的取值范围为0-14.5,x为整数。下面结合模型,利用VB语言编写程序,分别求出地板倾角=1,2,-,20度时的平均视角,从而找出使得平均视角最大的的值。具体程序见附录,程序运行结果如下: 结果分析:从以上数据可看出,随着地板倾角的增大,平均视角也在增大。那么,这是否意味着=20度就是所求结果呢?当然不是,我们还得考虑如下问题:处在最后一排的观众的水平视线应该位于屏幕中线以下,否则观众就得低
4、着头看电影了,这与实际不符。我们可用如下数学语言来描述这个问题:假设最后一排观众所在位置的地板高为h,则由题目数据及以上分析可得h5-1.8/2-1.1=3m。对于此限制条件,可用VB语言描述,具体程序见附录,程序运行结果如下: 结果分析:以上数据就是地板倾角在不同取值时,最后一排所在位置的地板高度,不难看出,当地板倾角=12度时,h3m ,最符合限制条件。综上,地板的倾角应为12度。敏感性分析:由于地板倾角的取值和相邻两排座位间的水平距离都是假设的,因此需要对二者(即t,x)作敏感性分析。首先我们研究地板倾角在12度附近变化时对平均视角的影响。假设相邻两排座位间的水平距离x不变,利用VB分别
5、求出地板倾角为11.5、12.6、-、12.4、12.5度时的平均视角,具体程序见附录,程序运行结果如下: 结果分析:从以上数据可知,当地板倾角在12度附近变化时,对平均视角并无多大影响,这说明对地板倾角的假设是可用的。下面我们研究相邻两排座位间的水平距离改变时对平均视角的影响。结合实际,间距可取为0.7m、0.8m、0.9m.假设地板倾角不变,利用VB求出不同间距所对应的平均视角,具体程序见附录,程序运行结果如下: 结果分析:我们可以挑取某一地板倾角对应的平均视角进行比较,在此以12度为例。 Step( )Step( 1)Step(0.9 )Step(0.8 )Step(0.7 )A(12)
6、2.9048292.9048312.9048332.65224从以上比较结果可知,相邻两排间的水平间距取0.8m为宜。(3)首先证明如下结论:如图所示,随着点A的下降(点A位于点C所在水平线上),逐渐减小。证明:cos=1-随着点A的下降,a,b都在增大 1-增大,即cos增大又0 90逐渐减小基于以上结论,我们可以适当升高位于屏幕下边缘所在水平面以下的座位,从而增大视角和平均视角,进一步提高观众的满意程度。地板可设计如下: 值得注意的是,ab、cd不能太长,否则位于同一水平面的前排观众会影响后排观众的视线,不符合题目要求。另外,cd应该稍低于屏幕下边缘所在水平线,否则后排观众将不能看到屏幕下
7、边缘。附 录Private Sub Form_Click()Dim x%, t%, f!, y!, a(20)Const pi = 3.14f = 0y = 1.8 / (4.5 + x + (16 - 8.2 * (Tan(pi * t / 180) + (Tan(pi * t / 180) 2 * x 2) / (4.5 + x)For t = 0 To 20 For x = 0 To 20 f = f + y Next x a(t) = f / 21Next tFor t = 0 To 18 Step (3) Print a(; t; ); =; a(t); a(; t + 1; );
8、=; a(t + 1); a(; t + 2; ); =; a(t + 2) Print Next tEnd SubPrivate Sub Form_Click()Dim y!, x!, t%, h(20)Const pi = 3.14For t = 0 To 20y = 14.5 * Tan(t * pi / 180)h(t) = yNext tFor t = 0 To 18 Step (3)Print h(; t; ); =; h(t); h(; t + 1; ); =; h(t + 1); h(; t + 2; ); =; h(t + 2)PrintNext tEnd SubPrivat
9、e Sub Form_Click()Dim x%, t!, f!, y!, a(20)Const pi = 3.14f = 0y = 1.8 / (4.5 + x + (16 - 8.2 * (Tan(pi * t / 180) + (Tan(pi * t / 180) 2 * x 2) / (4.5 + x)For t = 11.5 To 12.5 Step (0.1) For x = 0 To 14 f = f + y Next x a(t) = f / 15Next tFor t = 11.5 To 12.5 Step (0.1) Print a(; t; ); =; a(t) Prin
10、t Next tEnd SubPrivate Sub Form_Click()Dim x%, t%, f!, y!, a(20)Const pi = 3.14f = 0y = 1.8 / (4.5 + x + (16 - 8.2 * (Tan(pi * t / 180) + (Tan(pi * t / 180) 2 * x 2) / (4.5 + x)For t = 0 To 20 For x = 0 To 20 f = f + y Next x a(t) = f / 21Next tFor t = 0 To 18 Step (3) Print a(; t; ); =; a(t); a(; t
11、 + 1; ); =; a(t + 1); a(; t + 2; ); =; a(t + 2) Print Next tEnd Sub【参考文献】:【1】姜启源 谢金星 叶俊 数学模型 高等教育出版社【2】 朱道元 数学建模案例精选 科学出版社Mathematical modeling for theater seat designWu Xiaogang【Abstract】A simple mathematical modeling is set up in view of the average angle of view, a best position of viewing is acquired,.Furtherly the floor design programmers for promoting the watchers satisfaction is proposed.【Key words】 Perspective Average perspective Model Mathematical modeling