1、（3）；（4）；（5）|a|-|b| |ab| |a|+|b|的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离在数轴上，表示数对应数轴上两点间的距离【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。【绝对值不等式】（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；B）利用不等式：|a|-|b|a+b|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。【绝对值必考题型】例1：已知|x2|y3|0，求x+y的值
2、。解：由绝对值的非负性可知x2 0，y30； 即：x=2，y =3；所以x+y=5 判断必知点： 相反数等于它本身的是 0 倒 数等于它本身的是 1 绝对值等于它本身的是 非负数 【例题精讲】（一）绝对值的非负性问题1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0.2. 绝对值的非负性；若，则必有，【例题】若，则 。总结：若干非负数之和为0， 。【巩固】若，则【巩固】先化简，再求值：其中、满足. （二）绝对值的性质【例1】若a0，则4a+7|a|等于（）A11a B-11a C-3a D3a【例2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（）A1，0 B正数 C非正数 D非负数【例
3、3】已知|x|=5，|y|=2，且xy0，则x-y的值等于（）A7或-7 B7或3 C3或-3 D-7或-3【例4】若，则x是（）A正数 B负数 C非负数 D非正数【例5】已知：a0，b0，|a|b|1，那么以下判断正确的是（）A1-b-b1+aa B1+aa1-b-bC1+a1-ba-b D1-b1+a-ba【例6】已知ab互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（）A2 B2或3 C4 D2或4【例7】a0，ab0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（）A6 B-4 C-2a+2b+6 D2a-2b-6【例8】若|x+y|=y-x，则有（）Ay0，x0 By0，x0 Cy0
4、，x0 Dx=0，y0或y=0，x0【例9】已知：x0z，xy0，且|y|z|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）A是正数 B是负数 C是零 D不能确定符号【例10】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；（3）若|m|m，则m0；（4）若|a|b|，则ab，其中正确的有（）A（1）（2）（3） B（1）（2）（4） C（1）（3）（4） D（2）（3）（4）【例11】已知a，b，c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c-b|-|b-a|-|a-c|= _【巩固】知a、b、c、d都是整数，且|a+b|+|b+
5、c|+|c+d|+|d+a|=2，求|a+d|的值。【例12】若x-2，则|1-|1+x|=_若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|= _【例13】计算= 【例14】若|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= _【例15】已知数的大小关系如图所示，则下列各式：；其中正确的有 （请填写番号）【巩固】已知：abc0，且M=，当a，b，c取不同值时，M有 _种不同可能当a、b、c都是正数时，M= _；当a、b、c中有一个负数时，则M= _；当a、b、c中有2个负数时，则M= _；当a、b、c都是负数时，M=_ 【巩固】已知是非零整数，且，求
6、的值（三）绝对值相关化简问题（零点分段法）零点分段法的一般步骤：找零点分区间定符号去绝对值符号【例题】阅读下列材料并解决相关问题：我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值），在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下中情况：当时，原式当时，原式当时，原式综上讨论，原式（1）求出和的零点值 （2）化简代数式（1）|x+2|和|x-4|的零点值分别为x=-2和x=4 （2）当x-2时，|x+2|+|x-4|=-2x+2； 当-2x4时，|x+2|+|x-4|=6； 当x4时，|x+2|+|x-4|=2x-2
7、 【巩固】化简1. 2. 的值3. 4. （1）；变式5.已知的最小值是，的最大值为，求的值。（四）表示数轴上表示数、数的两点间的距离【例题】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与，3与5，与，与3. 并回答下列各题：（1） 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： .（2） 若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为1，则A与B两点间的距离可以表示为 .（3） 结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ，取得最小值时x的取值范围为 .（4） 满足的的取值范围为 .（5） 若的值为常数，试求的取值范围（五）、绝对值的最值问题例题1: 1）当x取何值时，|x
8、-1|有最小值，这个最小值是多少？ 2） 当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？3） 当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？ 2）当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？ 3）当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？ 4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？若想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如下知识点：、1）非负数：0和正数，有最小值是02）非正数：0和负数，有最大值是0
9、3）任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|0，则-|a|04）x是任意有理数，m是常数，则|x+m|0，有最小值是0， -|x+m|0有最大值是0（可以理解为x是任意有理数，则x+a依然是任意有理数，如|x+3|0，-|x+3|0或者|x-1|0，-|x-1|0）5）x是任意有理数，m和n是常数，则|x+m|+nn，有最小值是n-|x+m|+nn，有最大值是n（可以理解为|x+m|+n是由|x+m|的值向右（n0）或者向左（n0）平移了|n|个单位，为如|x-1|0，则|x-1|+33，相当于|x-1|的值整体向右平移了3个单位，|x-1|0，有最小值是0，则|x-1|+3的最小值是3）根据3
10、）、4）、5）可以发现，当绝对值前面是“+”号时，代数式有最小值，有“-”号时，代数式有最大值 . 例题1：1 ） 当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？ 2 ） 当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？ 3 ） 当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？ 4） 当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？ 1）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|有最小值是0 2）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|+3有最小值是3 3）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-3 4）此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3，即
11、当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3 有最小值是-3 2 ） 当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？ 3 ） 当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？1）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|有最大值是0 2）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|+3有最大值是3 3）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|-3有最大值是-3 4 ） 3-|x-1|可变形为-|x-1|+3可知如2）问一样，即：当x-1=0时，即x=1时， -|x-1|+3有最大值是3 （同学们要学会变通哦） 思考：若x
12、是任意有理数，a和b是常数，则 1）|x+a|有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？ 2）|x+a|+b有最大（小）值？ 3） -|x+a|+b有最大（小）值？例题3：求|x+1|+|x-2|的最小值，并求出此时x的取值范围分析：我们先回顾下化简代数式|x+1|+|x-2|的过程：可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值） 在数轴上找到-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个部分 1）当x-1时，x+10，x-20，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-（x-2）=-x-1-x+2=-2x+12）当x=-1时，x+1=0，x-2=-3，则|x+1|+
13、|x-2|=0+3=3 3）当-1x0，则|x+1|+|x-2|=x+1-（x-2）=x+1-x+2=3 4）当x=2时，x+1=3，x-2=0，则|x+1|+|x-2|=3+0=3 5）当x0，x-20，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1 我们发现：-1时，|x+1|+|x-2|=-2x+13 当-1x2时，|x+1|+|x-2|=3 2时，|x+1|+|x-2|=2x-13 所以：可知|x+1|+|x-2|的最小值是3，此时：-1x2 可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值） 则当-1x2时，|x+1|+|x-2|的最小值是3 评：若问代数式|x
14、+1|+|x-2|的最小值是多少？并求x的取值范围？一般都出现填空题居多；若是化简代数式|x+1|+|x-2|的常出现解答题中。所以，针对例题中的问题，同学们只需要最终记住先求零点值，x的取值范围在这2个零点值之间，且包含2个零点值。例题4：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程可令x+11=0，x-12=0，x+13=0得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）-13时，x+110，x-120，x+130，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-
15、x-13=-3x-12当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40当-13-11时，x+11则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14当x=-11时，x+11=0，x-12=-23，x+13=2，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=25当-11则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+366）当x=12时，x+11=23，x-12=0，x+13=25，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=
16、487） 当x0，x-12则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12可知：-13时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-1227当x=-13时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=40-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x+14 ,25-x+14 当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=2512时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+36,25x+36观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25，此时x=-11得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值） 将-11,12，-13从小到大排列为-13-1112 可知-11
