1、第21讲 平行四边形矩形菱形正方形第21讲平行四边形、矩形、菱形、正方形,知识清单梳理)平行四边形1定义：两组对边分别_平行_的四边形叫做平行四边形2性质(1)边：对边_平行_且_相等_(2)角：对角_相等_(3)对角线：对角线互相平分(4)对称性：_中心_对称3判定(1)两组对边分别_平行_的四边形是平行四边形(2)两组对边分别_相等_的四边形是平行四边形(3)一组对边_平行_且_相等_的四边形是平行四边形(4)两组对角分别_相等_的四边形是平行四边形(5)对角线互相_平分_的四边形是平行四边形矩形1定义：有一个角是_直角_的平行四边形叫做矩形2性质(1)边：对边_平行_且_相等_(2)角：
2、四个角都是_直角_(3)对角线：对角线互相_平分_且_相等_(4)对称性：_中心_对称和_轴_对称3判定(1)有_一_个角是_直角_的平行四边形是矩形(2)有_三_个角是_直角_的四边形是矩形(3)对角线_相等_的平行四边形是矩形菱形1定义：有一组_邻边相等_的平行四边形叫做菱形2性质(1)边：四边_相等_，对边平行(2)角：对角_相等_(3)对角线：对角线互相_垂直_、_平分_，且每一条对角线平分一组对角(4)对称性：_中心_对称和_轴_对称3判定(1)有一组_邻边相等_的平行四边形是菱形(2)四边_相等_的四边形是菱形(3)对角线互相_垂直_的平行四边形是菱形正方形1定义：有一个角是_直角
3、_，有一组邻边_相等_的平行四边形叫做正方形2性质(1)边：四边_相等_，对边平行(2)角：四个角都是_直角_(3)对角线：对角线互相_垂直_、_平分_、_相等_，每一条对角线平分一组对角(4)对称性：_中心_对称和_轴_对称3判定(1)有一个角是_直角_、有一组邻边_相等_的平行四边形是正方形(2)有一组邻边相等的_矩形_是正方形(3)有一个角是直角的_菱形_是正方形中点四边形1顺次连接任意四边形各边中点，所得四边形是_平行四边_形2顺次连接平行四边形各边中点，所得四边形是_平行四边_形3顺次连接矩形各边中点，所得四边形是_菱_形4顺次连接菱形各边中点，所得四边形是_矩_形5顺次连接正方形各
4、边中点，所得四边形是_正方_形6顺次连接等腰梯形各边中点，所得四边形是_菱_形,云南省近五年高频考点题型示例)轴对称图形与中心对称图形【例1】(2017曲靖中考)平行四边形、矩形、菱形、正方形中是轴对称图形的有()A1个 B2个 C3个 D4个【解析】平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；矩形、菱形、正方形都是轴对称图形，故是轴对称图形的有3个【答案】C平行四边形的性质和判定 【例2】(2014昆明中考)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是()AABCD，ADBC BOAOC，OBODCADBC，ABCD DABCD，ADBC
5、【解析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可【答案】C1(2015曲靖中考)若平行四边形中两个内角的度数比为12，则其中较大的内角是_120_.2(2014云南中考)如图，在平行四边形ABCD中，C60，M，N分别是AD，BC的中点，BC2CD.求证：(1)四边形MNCD是平行四边形；(2)BDMN.证明：(1)ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC.M，N分别是AD，BC的中点，MDNC，MDNC，四边形MNCD是平行四边形；(2)连接ND.四边形MNCD是平行四边形，MNDC.N是BC的中点，BNCN.BC2CD，C60，NCD是等边三角形NDNC，DNC60.DNC是BND的外角，
6、NBDNDBDNC.DNNCNB，DBNBDNDNC30，BDC90.tanDBC，DBDCMN.3(2015云南中考)如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，求证：BEDF.证明：连接BF，DE.四边形ABCD是平行四边形，OAOC，OBOD.E，F分别是OA，OC的中点OEOA，OFOC，OEOF，四边形BFDE是平行四边形，BEDF.矩形的性质和判定【例3】(2016云南中考)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，ABCBAD12，BEAC，CEBD.(1)求tanDBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形【解析】(1)由四边形ABC
7、D是菱形，得到对边平行，且BD为角平分线，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出BCD的度数，即可求出tanDBC的值；(2)由四边形ABCD是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证【答案】解：(1)四边形ABCD是菱形，ADBC，DBCABC，ABCBAD180.ABCBAD12，ABC60，DBC ABC30，tanDBCtan30；(2)BEAC，CEBD，四边形OBEC是平行四边形四边形ABCD是菱形，ACBD，即BOC90.四边形OBEC是矩形4(2016云南中考)如图，在平行四
8、边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上的两个动点，分别从A，C两点以相同的速度向C，A运动，其速度为2 cm/s.(1)当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由；(2)若BD24 cm，AC32 cm，当运动时间t为何值时，以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形？说明理由解：(1)当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形理由如下：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，OBOD.E，F两动点分别以相同的速度向C，A运动，AECF，OAAEOCCF，即OEOF，BD，EF互相平分，四边形DEBF是平行四边形；(2)四边形DEBF是平行四边形，当BDEF时，四
9、边形DEBF是矩形BD24 cm，EF24 cm，OEOF12 cm，AC32 cm，OAOC16 cm，AE4 cm或28 cm，E，F两动点的速度都是2 cm/s，t2 s或t14 s，当运动时间t2 s或14 s时，以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形菱形的性质和判定【例4】(2015昆明中考)菱形的两条对角线分别为8，10，则菱形的面积为_【解析】菱形的面积计算公式Sab(a，b为菱形的对角线长)，菱形的面积S81040.【答案】405(2016曲靖中考)菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为_20_6(2013云南中考)如图，在ABC中，ABBC，D，E，F分别是BC，A
10、C，AB边上的中点(1)求证：四边形BDEF是菱形；(2)若AB12 cm，求菱形BDEF的周长解：(1)D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，DEAB，EFBC，四边形BDEF是平行四边形又DEAB，EFBC，且ABBC，DEEF，四边形BDEF是菱形；(2)AB12 cm，F为AB的中点，BF6 cm，菱形BDEF的周长为6424 cm.7(2017云南中考)如图，ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E，F分别是AB，AC的中点(1)求证：四边形AEDF是菱形；(2)如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.解：(1)AD是等腰AB
11、C底边上的高，D是BC边的中点点E，F分别是AB，AC的中点，四边形AEDF是平行四边形又ABAC，DEDF，AEDF是菱形；(2)连接EF交AD于O点，设AOx，EOy.由题意得(xy)292xy，12.2592xy，2xy3.25，S2x2y2xy3.25.正方形的性质和判定【例5】(2016昆明中考)已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点(1)求证：ABMDCM；(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；(3)当ADAB_时，四边形MENF是正方形(只写结论，不需证明)【解析】(1)根据矩形的性质可得ABCD，AD9
12、0，再根据M是AD的中点，可得AMDM，然后再利用SAS证明ABMDCM；(2)四边形MENF是菱形首先根据中位线的性质可证明NEMF，NEMF，可得四边形MENF是平行四边形，再根据ABMDCM可得BMCM，进而得MEMF，从而得到四边形MENF是菱形；(3)当ADAB21时，四边形MENF是正方形，证明EMF90，根据有一个角为直角的菱形是正方形得到结论此题主要考查了矩形的性质、菱形的判定和正方形的判定，关键是掌握菱形和正方形的判定方法【答案】解：(1)四边形ABCD是矩形，ABCD，AD90.又M是AD的中点，AMDM.在ABM和DCM中，ABMDCM(SAS)；(2)四边形MENF是菱
13、形证明如下：E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，NEMF，NEMF.四边形MENF是平行四边形由(1)得BMCM，MEMF.四边形MENF是菱形(3)当ADAB21时，四边形MENF是正方形理由：M为AD中点，AD2AM.ADAB21，AMAB.A90，ABMAMB45.同理DMC45，EMF180454590.四边形MENF是菱形，菱形MENF是正方形,近五年遗漏考点及社会热点与创新题)1.遗漏考点正方形的有关计算【例1】如图，正方形ABCD中，AEAB，直线DE交BC于点F，则BEF()A45 B30 C60 D55【解析】先设BAEx，根据正方形性质推出ABAEAD，BAD90，根据
14、等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出AEB和AED的度数，根据平角定义求出即可本题考查了三角形的内角和定理的运用、等腰三角形的性质的运用，正方形性质的应用及解此题的关键是如何把已知角与未知角结合起来，题目比较典型，但是难度较大【答案】A【例2】如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且BAE22.5，EFAB，垂足为F，则EF的长为()A1 B. C42 D34【解析】根据正方形的对角线平分一组对角可得ABDADB45，再求出DAE的度数，根据三角形的内角和定理求AED，从而得到DAEAED，再根据等角对等边的性质得到ADDE，然后求出正方形的对角线BD的长，再求出BE的长，最后
15、根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解【答案】C2创新题【例3】一个四边形四条边依次为a，b，c，d且a2b2c2d22ac2bd，则这个四边形是_【解析】a2b2c2d22ac2bd，(a22acc2)(b22bdd2)0，(ac)2(bd)20，ac0，bd0，ac，bd.四边形是平行四边形【答案】平行四边形,课内重难点真题精练及解题方法总结)1.(2017海南中考)如图，在菱形ABCD中，AC8，BD6，则ABC的周长是(C)A14 B16 C18 D20【方法总结】掌握菱形的边、对角线的性质，四边相等，对角线互相平分且垂直，再应用勾股定理即可解决(第1题图)(第2题图)2(
16、2017贵州中考)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且EAF45，将ABE绕点A顺时针旋转90，使点E落在点E处，则下列判断不正确的是(D)AAEE是等腰直角三角形BAF垂直平分EECEECAFDDAEF是等腰三角形【方法总结】本题考查了旋转的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形、正方形的性质及相似三角形的判定等知识的综合应用3(2016曲靖中考)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE2，AE3BE，P是AC上一动点，则PBPE的最小值是_10_.【方法总结】本题考查了轴对称最短路线问题及正方形的性质，解此题通常利用“两点之间，线段最短”的性
17、质4(2015临沧中考)如图，在RtABC中，B90，AC60 cm，A60，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D，E运动的时间是t s(0t15)过点D作DFBC于点F，连接DE，EF.(1)求证：AEDF；(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；(3)当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由解：(1)ABC中，B90，A60.C180BA30.又DFBC，CD4t，AE2t.在RtCDF中，DFCD2t，DF
18、AE；(2)DFAB，DFAE，四边形AEFD是平行四边形，当ADAE时，四边形AEFD是菱形，即604t2t，解得t10，即当t10时，AEFD是菱形；(3)当t时，DEF是直角三角形(EDF90)；当t12时，DEF是直角三角形(DEF90)理由如下：当EDF90时，DEBC.ADEC30，AD2AE.即604t22t，解得t，t时，EDF90.当DEF90时，DEEF，四边形AEFD是平行四边形，ADEF，DEAD，ADE是直角三角形，ADE90.A60，DEA30，ADAE.ADACCD604t，AE2t，604tt，解得t12.四边形ADEF是平行四边形，ADEF，DFE不可能为直角
19、综上所述，当t时，DEF是直角三角形(EDF90)；当t12时，DEF是直角三角形(DEF90)5(2016曲靖中考)如图，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CEBC，连接DE，CF.(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)若AB4，AD6，B60，求DE的长解：(1)在ABCD中，ADBC，且ADBC.F是AD的中点，DFADBC.又CEBC，DFCE，且DFCE，四边形CEDF是平行四边形；(2)过点D作DHBE于点H.在ABCD中，B60，DCE60，CDH30，AB4，CDAB4，CHCD2，DH2.在CEDF中，CEDFAD3，则EH1.在RtDHE中，根据勾股定理知DE.6(2017贵州中考)如图，DBAC，且DBAC，E是AC的中点(1)求证：BCDE；(2)连接AD，BE，若要使四边形DBEA是矩形，则应给ABC添加什么条件，为什么？解：(1)E是AC的中点，ECAEAC.DBAC，DBEC.又DBEC，四边形DBCE是平行四边形BCDE；(2)添加ABBC.四边形DBEA是平行四边形BCDE，ABBC，ABDE.DBEA是矩形【方法总结】掌握平行四边形、矩形的性质及判定方法
