1、等腰三角形讲练等腰三角形讲练新课指南1.知识与技能：（1）经历获得知识的过程，并通过观察、分析、想象、探索，掌握等腰三角形的性质及判定；（2）了解等边三角形的性质和判定等知识的形成过程，培养丰富的想像力，增强审美意识.2.过程与方法：经历探索等腰（边）三角形的性质及判定，探索应用等腰三角形知识解决实际问题，尤其是用轴对称的性质来解释等腰（或等边）三角形的相关性质，进一步体会从一般到特殊，再从特殊到一般的研究事物的辩证方法.3.情感态度与价值观：培养学生合作交流、体验成功、体验审美、增强自信心，同时，充分体会分类讨论数学思想在解决问题中的广泛应用.4.重点与难点；重点是等腰三角形的性质和判定.难
2、点是由轴对称知识来理解和掌握等腰三角形的性质和判定.教材解读 精华要义数学与生活如图1461所示，位于在海上A，B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得A=B，如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？思考讨论 如果两艘船以同样的速度同时出发，并且同时赶到出事地点，说明两艘船的航程相同，即OA=OB，而已知A=B，能直接由此判断出OA=OB吗？知识详解知识点1 等腰三角形的概念有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图1462所示，在ABC中，若AB=AC，则
3、ABC是等腰三角形，其中AB，AC叫做腰，BC叫做底边，A叫做顶角，B和C叫做底角.知识点2 等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【说明】 等腰三角形的两个性质都可以由证明两个三角形全等而证实.例如：如图1463所示，在ABC中，AB=AC.求证B=C.证明：过点A作BC边上的中线AD.BD=DC.在ABD和ACD中，ABDACD（SSS）.B=C（全等三角形的对应角相等）.探究交流上例中并没有直接全等的三角形，而是通过作辅助线“BC边上的中线AD”来构造出两个全等的三角形，再用全等三角形的
4、性质证明出“B=C”.想一想，本题还有没有作其他辅助线的方法？在本题中能否进一步证明AD是BAC的平分线和BD边上的高？试试看.点拨 由等腰三角形的性质2可知，等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线.知识点3 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.例如：图1464所示，在ABC中，B=C.求证AB=AC.证明：作ADBC，垂足为D.ADB=ADC=90.在RtADB和RtADC中，RtADBRtADC（AAS）.AB=AC（全等三角形的对应边相等）.知识点4 等边三角形的概念三条边都相等的
5、三角形，叫做等边三角形.知识点5 等边三角形的性质和判定.等边三角形的性质和判定.（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.在直角三角形中，如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半.典例剖析 师生互动基础知识应用题本节知识的基础应用主要包括：（1）等腰三角形的性质和判定；（2）等边三角形的性质；（3）三角形的内角和；（4）三角形三边关系.例1 已知三角形的一个内角是110，求另外两个角的度数.分析 因为等腰三角形的内角和是180，若110是底角，则1102=220180，所以110只
6、能是顶角.故底角是=35.解：由题意可知，110是顶角，设底角为，则2+110=180，=35.这个三角形另外两个角是35，35.例2 等腰三角形的一个内角是80，求它的另外两个角.分析 用分类讨论的思想方法来思考本题.若顶角是80，则设底角为，由三角形内角和得2+80=180，=50.若底角是80则设项角为，由三角形内角和得280+=180，=20.解：若顶角是80，设底角为，则有2+80=180，=50.若底角是80，设顶角为，则有802+=180，=20。这个等腰三角形的另外两个角是50，50或80，20.学生做一做 （1）若等腰三角形的一个内角为40，则它的顶角为 ；（2）若等腰三角形
7、的两个内角和为100，则它的顶角为 .老师评一评 （1）只告诉一个内角为40，并没有说明是哪一个内角，所以应分两种情况来讨论：若顶角为40，则40+2=180，=70。符合要求，直接填上即可；若底角为40，则顶角为180-240=100，符合要求.应填40或100.（2）已知两个内角的和为100，三角形的内角和为180，所以可知等腰三角形一个内角为180-100=80，同样用分类讨论方法来考虑：若80是顶角，可直接填上即可；若80是底角，则顶角是100-80=20.应填80或20.例3 等腰三角形的底角与顶角的度数之比为21，则顶角为( )A.72 B.36 C.36或72 D.18分析 设顶
8、角为，则底角为2，由三角形的内角和可知，+22=180，5=180，=36，这个三角形的顶角为36，故正确答案为B项.例4 若等腰三角形的底边长是8cm，腰长是5cm，则这个等腰三角形的周长是( )A.21cm B.18cm C.18cm或21cm D.13cm或26cm分析 由题意可知，8+5+5=18(cm)，故正确答案为B项.学生做一做 等腰三角形一边长为8，另一边长为4，则它的周长为 .老师评一评 题中给出等腰三角形的两边长分别是8和4，但并没有给出哪一个是腰，哪一个是底，要分两种情况：若腰是8，底是4，则另一腰是8，有4+88，满足三角形三边关系，82+4=20；若腰是4，底是8，则
9、另一腰是4，有4+4=8，不满足三角形三边关系，这种情况不存在.这个三角形的周长为20.小结 已知等腰三角形两边，求第三边或周长时，要全面考虑第三边的情况，求出第三边要满足三角形的三边关系，所以上题可以这样考虑：设这个等腰三角形的第三边为x，由三角形三边关系可知，8-4x8+4，即4x12，又因为这个三角形是等腰三角形，所以第三边只能考虑4或8，由4x12，x=8，这个三角形的第三边为8，其周长为82+4=20.例5 如果等腰三角形的三边长均为整数，且它的周长为10cm，那么它的三边长分别为. .（分析）设这个三角形的腰长为xcm，则底边长为10-2x=2（5-x）cm.共有4种情况：当x=1
10、cm时，10-2x=8(cm)；当x=2cm时，10-2x=6(cm)；当x=3cm时，10-2x=4(cm)；当x=4cm时，10-2x=2(cm).又由三角形三边关系可知，不满足三角形三边关系.这个三角形的三边有两种；3cm，3cm，4cm或4cm，4cm，2cm.答案：3cm，3cm，4cm或4cm，4cm，2cm综合应用题本节知识的综合应用主要包括：（1）等腰（边）三角形的性质和判定的综合应用；（2）与方程、不等式知识的综合应用；（3）与三角形全等的综合应用.例6 如图1465所示，在ABC中，AB=AC=CD，AD=DB，求BAC的度数.分析 本题由已知条件知，图中的三个三角形都是等
11、腰三角形，相等的角或有关系的角较多，为了明确它们之间的关系，这类题往往要设其中一个角为，然后利用将其余的角表示出来.解：AB=AC=CD，AD=DB1=2，B=3，B=C.设B=，则B=3=C=，1=2=3+B=2.在ABC中，B+C+1+3=180，即+2+=180，5=180，=36.BAC=3+1=+2=3=336=108.BAC的度数为108.学生做一做 （1）如图1466所示，已知AB=AC，BC=CD=AD，求B的度数；（1）如图1467所示，已知BD=CD=AC，B=18，求ACB的度数.老师评一评 （1）（2）题中都有几个等腰三角形，有许多相等的角，可设其中某一个角，再把其余的
12、角表示出来.（1）AB=AC，BC=CD=AD，B=ACB，2=B，1=A.设1=A=，则2=B=2a，3=B-1=a.在BCD中，B+2+3=180，2+2+=180，5=180，=36，B=2=236=72.（2）BD=CD=AC，1=B，2=A.又2=1+B=2B，B=18，2=218=36.A=36.ACB=180-A-B=180-36-18=126.例7 如图1468所示，在ABC中，AB=AC，ADBC于点D，E是AD延长线上一点，连接BE，CE.求证BE=CE.分析 本题主要考查等腰三角形的性质和三角形全等的判定.证明：AB=AC，ABC=ACB.又ADBC，ADB=ADC=90
13、.在RtABD和RtACD中，RtABDRtACD（HL）.BAD=CAD（全等三角形的对应角相等）.在ABE和ACE中，ABEACE（SAS）.BE=CE（全等三角形的对应边相等）.例8 如图1469所示，在ABC中，AB=AC，AE是BAC外角DAC的平分线.试判断AF与BC的位置关系.分析 主要考查等腰三角形性质的应用.解：AE与BC的位置关系是AEBC.理由如下：AB=AC，B=C.又DAC=B+C=2C，AE是DAC的平分线；2EAC=DAC，C=EAC，AEBC（内错角相等，两直线平行）.学生做一做 （1）如图1469所示，在ABC中，AB=AC，AEBC.求证AE是BAC的外角D
14、AC的平分线；（2）如图1469所示，在ABC中，AE是BAC的外角DAC的平分线，且AEBC.试判断ABC的形状.老师评一评 本题意在考查如果把已知问题中的条件与结论互换，看得到的新命题是否成立，有利于培养学生灵活分析问题和解决问题的能力.（1）AB=AC，B=C.又AEBC，EAC=C（两直线平行，内错角相等），DAE=B（两直线平行，同位角相等）.EAC=DAE.AE是DAC的平分线.（2）ABC是等腰三角形.理由如下：AE是DAC的平分线，DAE=EAC.又AEBC，DAE=B，EAC=C，B=C，AB=AC（等角对等边）.ABC是等腰三角形.例9 如图1470所示，ABD和ACE是等
15、边三角形.求证BE=CD.（分析）欲证BE=CD，只需证明ADCABE即可.证明：ABD和ACE是等边三角形，DAB=EAC=60，AD=AB，AC=AEDAB+BAC=EAC+BAC，即DAC=BAE.在DAC和BAE中，DACBAE（SAS）.DC=BE（全等三角形的对应边相等）.学生做一做 如图14-71所示，B，C，D三点在一条直线上，ABC和ECD是等边三角形.求证BE=AD.老师评一评 欲证BE=AD，只需证明BCEACD即可.ABC和ECD是等边三角形，ACB=ECD=60，BC=AC，EC=CD.ACB+ACE=ECD+ACE，即BCE=ACD.在BCE和ACD中，BCEACD
16、（SAS）.BE=AD（全等三角形的对应边相等）.小结 在完成类似的几何问题时，要注意灵活，举一反三，这样就可以避免题海战术，能够以点代面，同一类问题研究透彻，类似问题便能迎刃而解.例10 等腰三角形ABC的周长为10cm，底边BC长为ycm，腰AB长为xcm.（1）写出y关于x的函数关系式；（2）求x的取值范围；（3）求y的取值范围.分析 本题主要考查代数与几何知识的综合应用，解题时注意相关的几何知识.解：（1）y=10-2x.（2）x，y为线段，x0，y0.10-2x0，Ox5.又x，y为三角形边长，x+xy，即2x10-2x.由可得2.5x5.x的取值范围是2.5x5.（3）2.5x5，
17、52x10，-10-2x-5，O10-2x5，Oy5.y的取值范围是Oy5.例11 如图14-72所示，在ABC中.AB=AC，BDAC，垂足为D，求DBC与A的关系.图14-72解：AB=AC，ABC=C.又A+ABC+C=180，C=（180-A）=90-A.又BDAC.BDC=90.DBC=90-C=90-（90-A）=A，DBC=A.即等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于该等腰三角形顶角的一半.学生做一做 （1）在ABC中，AB=AC，BDAC，垂足为D，若DBC=25，则A= ；（2）在ABC中，AB=AC，若B=70，BDAC，垂足为D，则DBC= .老师评一评 由例11的结论得出；
18、（1）题中，DBC=25=A，A=50.（2）题中，AB=AC，B=C=70.A=40.DBC=20.例12 如图1473所示，在ABC中，C=90，BAC=60，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=3cm，求BE的长.分析 主要应用线段垂直平分线的性质和30角的直角三角形的性质.解：连接AE，C=90，BAC=60，B=30.又DE是AB的垂直平分线，EA=EB.EAB=B=30.CAE=30.AE是CAB的平分线.又C=90，EDAB，DE=EC=3cm.在RtDBE中，B=30，EDB=90，DE=BE，BE=23=6(cm).学生做一做 如图1474所示，在RtABC中，C
19、=90，B=15，AB的垂直平分线分别与BC，AB交于M，N.求证MB=2AC.老师评一评 连接MA，C=90，B=15，CAB=75.又MN是AB的垂直平分线，MA=MB.MAB=B=15.CAM=CAB-MAB=75-15=60.CMA=30.在RtCMA中，C=90，CMA=30，CA=MA.CA=MB.即MB=2AC.小结 在直角三角形中证明线段的一半或2倍关系时，经常考虑30角所对的直角边.探索与创新题主要考查：（1）利用等腰三角形知识探索和创新的能力；（2）图形分割；（3）辅助线的灵活应用；（4）探讨结论性问题等。例13 如图14-75所示，已知点O是ABC，ACB的平分线的交点，
20、且ODAB，OEAC.（1）图形中共有哪几个等腰三角形？选一者证明之；（2）试说明ODE的周长与BC的关系；（3）若BC=12cm，则ODE的周长 .分析 本题（1）问主要是等腰三角形的判定；（2）问是探讨两者间的数量关系，由（1）可得；（3）问由（2）问的结果得出.解：（1）图形中共有两个等腰三角形，它们分别是OBD和OCE.以OBD为例.BO平分ABC，1=2.又ODAB，1=3.2=3.DB=OD.OBD是等腰三角形.（2）由（1）可知，DB=DO.同理EO=EC.ODE的周长=OD+DE+EO=DB+DE+EC=BC.ODE的周长与BC的关系是：ODE的周长=BC.（3）由（2）可知，
21、ODE的周长=BC.又BC=12cm，ODE的周长=12cm.学生做一做 如图1476所示，在ABC中，BO，CO分别为ABC，ACB的平分线，经过点O的直线DEBC，交AB于点D，交AC于点E.（1）图中等腰三角形分别是 ；（2）DE与BD+EC的关系是：BD= .老师评一评 欲证等腰三角形，需证角相等.（1）DEBC，DOB=OBC.又BO平分ABC，ABO=OBC.DOB=ABO.DB=DO.DBO是等腰三角形.同理EO=EC.EOC是等腰三角形.（2）DE=DO+OE=BD+EC，DE=BD+EC.例14 如图1477所示，在ABC中，ACB=90，BD=BC，AE=AC.试问：DCE
22、是否与A有关？如果无关，求DCE的大小.解：DCE与A无关，DCE=45.理由如下：BD=BC，BDC=BCD.BDC=（180-B）=90-B.又AE=AC，AEC=ACE.AEC=（180-A）=90-A.AEC+BDC=（90-A）+（90-B） =180-（A+B）.又ACB=90，BDC+AEC=180-90=135.BDC+AEC=135.DCE=45.例15 如图1478所示，在ABC中，ADBC于D，B=2C.求证AB+BD=CD.分析 如何利用条件B=2C，又如何得到AB+BD，不同的思考方向，会找到不同的解题方法.证明：在CD上截取DE=DB，连接AE，ADBC，AE=AB
23、.B=AEB.又AEB=C+CAE=2C，CAE=C.AE=EC.AB+BD=AE+BD=EC+ED=CD.AB+BD=CD.例16 如图1479所示，AOP=BOP=15，PCOA，PDOA，若OC=4，则PD等于( )A.4 B.3 C.2 D.1分析 本题中有角平分线、平行线，这是等腰三角形的重要形成条件，另外，PDOA于D，显然需要作另外一个垂直，这是角平分线性质的一个重要应用.如图1480所示，过点P作PEOB于E.又OP平分BOA，PDOA于D.PD=PE.PCOA，2=3.又1=2，1=15，3=15，CO=CP.4=1+3=21=152=30.在RtCPE中，4=30，CEP=
24、90，PE=PC=OC=4=2.PD=2，故正确答案为C项.学生做一做 如图1481所示，已知矩形ABCD，沿对角线AC把DAC翻折，AD与BC相交于点E.判断AEC的形状.老师评一评 AEC是等腰三角形，关键是证明EAC=ECA.理由如下：由题意可知，ADCADC，DAC=DAC.又ADBC，DAC=ACE.DAC=ACE.EA=EC.EAC是等腰三角形.小结 （1）证明线段相等是最基本的几何问题，目前常用证法有：若两条线段属于两个三角形，则考虑对应的三角形全等；若两条线段是同一个三角形两边，则考虑用等角对等边证明；寻找中间线段，通过等量代换来证明.（2）类似地，我们可以对证明角相等，等边三
25、角形的判定作归纳总结.在证明等腰三角形时，常需应用作辅助线构造全等三角形，进而应用等腰三角形的性质为题目服务，常用的构造方法有：“角平分线+平行线”构造等腰三角形；“角平分线+垂线”构造等腰三角形；用“垂直平分线”构造等腰三角形；用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形.中考展望 点击中考中考命题总结与展望这部分内容在中考中多以填空、选择的形式出现，在综合题中，等腰三角形的性质和判定的知识较为常见。中考试题预测例1 如图1482所示，在ABC中，AB=AC，BAC=120，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F.求证BF=2CF. 分析 证线段2倍关系，通常考虑在直角三角形中是否有30
26、角.证明：如图1483所示，连接AF，AB=AC，BAC=120，B=C=30.又EF是AC的垂直平分线，FA=FC.C=FAC=30，BAF=BAC-FAC=120-30=90.在RtBAF中，BAF=90，B=30，AF=BF.CF=BF.BF=2CF.例2 如图1484所示，D是ABC边上的中点，DEAC，DFAB，垂足分别为E，F，且BF=CE.求证：（1）ABC是等腰三角形；（2）当A=90时，试判断四边形AFDE是什么形状的四边形.分析 （1）只需证BFDCED，证B=C即可.（2）只需证邻边相等，因为邻边相等的长方形是正方形.证明：（1）DFAB，DEAC，BFD=CED=90.
27、又D是BC的中点，BD=CD.在RtBFD和RtCED中，RtBFDRtCED（HL）.B=C（全等三角形的对应角相等）.AB=AC（等角对等边）.ABC是等腰三角形.解：（2）当A=90时，四边形AFDE是正方形.理由如下：AFD=AED=A=90，四边形AFDE是长方形.由（1）知BFDCED，FD=ED.四边形AFDE是正方形.例3 如图1485所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若A=50，则BPC的度数是( )A.150 B.130 C.120 D.100分析 本题主要考查：（1）直角三角形两锐角互余；（2）三角形内角和是180.具体过程如下：BEAC，CDAB，AEB=ADC=90.又A=50，ABE=ACD=90-50=40.又A=50，ABC+ACB=180-A=130.
