1、高阶等差等比数列的通项及求法一、高阶等差数列的心及心的求法求高阶等差数列的通项知及前“和S”的时候，通常采用逐差法或待定 系数法。下而先介绍逐差法求通项。方法一逐差法。我们先看一个例题。例1求数列”的通项： 1, 7, 25, 61, 121, 211,解：先作各阶差数列：数列：1, 7, 25, 61, 121, 211,一阶差数列心： 6, 18, 36, 60, 90,二阶差数列CJ： 12, 18, 24, 30,三阶差数列：6, 6, 6,由此可见，数列。”是3阶等差数列，数列是首项为12、公差为6的等差数列，故cn = 12 + （h 一 1）6 = 6” + 6$ 仇 J （心
2、2）,/. bx 仇“ =6（/ -1） + 6 = 6/2 于是得到 2）叽-仇-I = 6仇J - b“ = 6（/? -1）,仇2一43 =6（舁一 2）,b2 /?! = 6 2. 彳/ . 将以上各式两边分别相加，得bn -bx =6(2 + 3 + + )=6(1 + 2 + 3 + n)-6 = 6叩;一&)-&=3n 2 + 3n 6/. bn = 3n2 + 3n 一 6 +纠=+ 3n(n 2).因为此公式当“ =1时的值/7.=6,故数列b的通项公式为bn = 3n2 + 3n(n = 1,2,3,)又”+i 一舛=( = 1,2,3,)= 3/22 + 3n(n = 1
3、,2,3, )由此可得，当“22时， = 3,?2an- 一 Cln-2 = 3( 一 1广 一 3( - 1), _ = 3 2- _ 3 2,将以上各式相加，得an 一绚=3/?2 +(h-1)2 + + 2 3几 + (“一1)+ + 2=3用 +(一1)2 + + 2 +卩一3 + (料一1)+ + 2 + 1 3 卩 +31n(n +1)(2/? +1) n(n + l) 3=3 3 7? - n.6 2/. an = n、一 x 、一 n + ax = h3 一 n + 1(/? 2),又此式当八=1时的值 =1,故数列”的通项公式为 an = n3 m +1(/2 = 1,2,3
4、,).一般地，设数列的K阶差数列记为/,如果数列是P阶 等差数列，那么（P-1）阶差数列“是等差数列，于是可以求出 数列“丁的通项公式，利用席血严=船匕=123,），仿照上述 例题的作法，可以求出数列-2）的通项公式，依次类推，可求出数 列仏”的通项公式.利用逐差法求高阶差数数列的通项还是比较麻烦的，下而介绍待 定系数法求通项.方法二待定系数法下而先证明两个定理.定理1设P为正整数，前n个自然数的P次幕的和记为S；J,即 S： =lp +2P +3P +-np.则ST是关于n的（p+1）次多项式.证明用数学归纳法.当p二1时，因Sf =1 + 2 + 3 +=巴凹=匕,+4,它是关于n的2次多
5、项式,2 2 2故结论是正确的.设结论当“Sk伙XI）是正确的，既=广+2女+3* +卅是关于n的（k+1）次多项式.严= 严一土 （;-1）*+2j-i j-i=t Jk+2-t 严-昭产+訂-C乙产+（-1严j-i ;-1=c朮严-邙2乞产+C吐严+ （-1严川，/I J-1 ;-1于是t严=斗严+c金i; r -c吐严+(-i)F./-I 5+2 J-1 ；-1根据假设f j 产分别是关于n的(k+1)次、k次、(k-1) /-I J-1次，1次多项式，而C乙(丿=1,2,3,* + 2)与n无关，因此文严是/-I关于n的(k+2)次多项式.就是说，当p二k+1时，Sf是关于n的(k+2
6、) 次多项式，即结论当p二k+1时也是正确.因此，Sf是关于n的(p+1)次多项式.定理2数列心为p阶等差数列的充要条件是：数列“”的通项 为n的p次多项式.证明先证必要性.用数学归纳法.当p二1时，数列”是等差数列，其通项a=at+ (n-1)J ,这是关 于n的一次多项式.设p二k,即当为k阶差数列时,数列(“”-)(心2)就是k 阶差数列时，根据假设可令an an- =ank + 加z + 依次令 n二2, 3, 4,得a 2 ax = a-2k +b-2i_1 + a5 -a2 = “ 3* +b- 3A_I + an _ an = a - nK + b n1lx + 将以上各式两边分
7、别相加，化简后得an =a(2k +3k + - + nk) + b(2k +3*1 + + /) + q根据定理1,右边第一个括号的和是关于n的(k+1)次多项式， 第二个括号是关于n的k次多项式，因此，心是关于n的(k+1) 次多项式.所以，当“”为(k+1)阶等差数列时，心是关于n的(k+1)次多项 式，即p二k+1时结论也是成立的.由上述证明可知，当心为p阶等差数列时，心是关于门的卩次 多项式.充分性.设数列“”的通项是关于n的p次多项式，设an = an +bnp1 + (a H 0)作它的一阶差数列：an 一一=+ bn/，-1 + 一 a(n l) +/?(/? + =apnp
8、+ 如果连续作P次,则得到P阶差数列是常数列川，因此数列” 是P阶等差数列.定理3若数列“”为p阶等差数列，则它的前n项和S”是关于n 的(p+1)次多项式.证明因为“”是p阶等差数列，根据定理2,它的通项公式是关 于n是p次多项式.设a” =anv +bn!， +(a H 0),(akp +bkp + )根据定理1, t忆亡分别是关于n的(p+1)次、p次、21 k(p-l)次，多项式，因此，S”是关于n的(p+1)次多项式.根据 定理2和定理3,我们可以求出任意的高阶等差数列的通项公式和前 n项和公式.例1求下面数列的通项公式及前n项和5, 17, 35, 59, 89, 解先判断是几阶等
9、差数数列.数列： 5, 17, 35, 59, 89,一阶差数列：12, 18, 24, 30-二阶差数列：6, 6, 6,因此，数列“”是二阶等差数列，根据定理2, %是关于n的2 次多项式；根据定理3,前项n和S”是关于n的3次多项式.于是设 an = air + bn + c, S =劝+ yn2 + zjt + f. 其中“、b、c、x、y、z、/都是待定系数.因为=5, “2=17, “3=35,于是由式得方程组a + h + c = 5. 4 + 2Z? + c = 17,9a + 3Z? + c = 35.解之得a = 3, b = 3, c = -l,因此数列的通项公式为 aH
10、 = 3n2 + 3/i -1( = 123,)因此 S = q = 5,S2 = q +a2= 22,S3 = S2 + a3 =57,S4 =S3+a4 =116,于是由式得方程组：k+y + z + / = 5；8x + 4y + 2z + f = 22;27x + 9y + 3z + f = 57;64x + 16y + 4? + / = 116.解之得x = l,y = 3,z = lJ=0.因此，数列的前n项和Sn = n3 +3n2 + n(n = 1,2,3,).例2求数列12,23,5 + 1)的和解 数列的通项色“心+ 1) = “2 + ”,是关于n的2次多项式，因此，数
11、列“”的前n项和是关于n的3次多项式，于是可设S “ = an + bn2 + cn + d.因S = q = 1 2 = 2, S? = S + 他=2 + 2 3 = & S3 = S? + 為=8 + 3 4 = 20, S4= S3+ a4 = 20 + 4 5 = 40, 于是得方程组a+ b + c + d = 2Sa + 4b + 2e + = &27a + 9b + 3c + = 20;64 +16b + 4c + = 40.解这个方程组得 2）_q此公式当,1,时的值为因此数列通项公式为_广=+ （a. 一 a】） n = 1,23,）1一9令a一（gi）,B=q+（G“）丄
12、，则数列他的通项公式可以写 _q l_gan = Aqnl + Bn = 1,2,3,）定理证毕.当数列”为二阶等比数列时，因为一阶差数列4 -绚）,a -）,（如讥是一阶等比数列，由定理可得此数列的通项公式为勺+1 一 a” = + Bl (n = 1,2,3,)其中q是二阶差数列的公比，4、目是常数.将此公式两边求和， 得为 g畋-i)= (人广 + BJ,即 an -a = _-_- + 目(一 1).jt-2 a-2 _q由此可以得到，二阶等比数列”的通项公式为=W+B + C.其中A，,BtC都是常数一般地说，P阶等比数列的通项形式为5= + Bnp + B# + B/t.利用上述结
13、论，可以用待定系数法求高阶等比数列的通项公式. 例2求数列勺:1, 31, 221, 1211, 6201, 31191,的通项公式.解 不难验证，数列是2阶等比数列，且二阶差数列的公比为5, 于是可设数列通项为an=A-5” “ + Bn + C.W 5 = 1卫2 =31=,F是得方程组A + B + C = l,5A + 2B + C = 31,25A + 3B + C = 221.解这个方程组,得A=10, B=-10, C=l.因此，数列的通项公式为= 2 - 1OH +l(n = 1,2,3, )因为p阶等比数列的通项公式为an = Aqnx + B.npx + B2np2 + B
14、p,般新资料推移于是数列的前n项和为S“=E =述 q“S k+B2 宀土 Bp.k Jt-1 攵2 】由此可见，只要求出了高阶等比数列的通项公式，它的前n项和 也是可以求出来的.例3求数列“”3?,53,172,332,的前 n 项和.解 先求数列傀： 3, 5, 9, 17, 33,的通项，这个数列的一 阶差数列为2, 4, 8, 16,是一个等比数列，其公比为2,因而可设数列血的通项公式为h = A2”“ + B.因为勺=3、g = 5,于是方程组 + 3 = 3,2A + B = 5.解之 A=2, B=l.因此,数列%的通项公式为仇=2 2n-* +1 = 2+1(/1 = 1,2,3),所以数列仏”的通项公式为 =员=(2+ 1尸=2“+2间+1.数列的前n项和为Sn=t d(2+2+1)2 2=E(1-1914+2-2+1)n n2广+2工2*+工1X-1 H = 2.(4” 一l)+4(2”l)+7i.4化简后，得数列仏”的前n项和公式S” = - 4M+1 + 2H+2 +n- (n = 1,2,3 ).
