1、111189.当且仅当xy时等号成立法二：xy1，x0，525229.当且仅当xy时， 等号成立综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键1已知a，b，cR，证明不明式：abc，当且仅当abc时取等号证明：因为a0，b0，c0，故有ab2，当且仅当ab时取等号；bc2，当且仅当bc时取等号；ca2，当且仅当ca时取等号三式分边相加，得abc.当且仅当abc时取等号2已知a，b，c都是实数，求证：a2b2c2（abc）2abbcca.a，b，cR，a2b22ab，b2c22bc.
2、c2a22ca将以上三个不等式相加得：2（a2b2c2）2（abbcca）即a2b2c2abbcca.在不等式的两边同时加上“a2b2c2”得：3（a2b2c2）（abc）2即a2b2c2（abc）2.在不等式的两端同时加上2（abbcca）得：（abc）23（abbcca）即（abc）2abbcca.由得a2b2c2（abc）2abbcca.用分析法证明不等式例2已知x0，求证（x2y2）（x3y3）.思路点拨不等式两边是根式，可等价变形后再证明分析每一步成立的充分条件证明要证明（x2y2）（x3y3），只需证（x2y2）3（x3y3）2.即证x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6.
3、即证3x4y23x2y42x3y3.0，x2y20.即证3x23y22xy.3x23y2x2y22xy.3x23y22xy成立（x2y2）（1）当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径（2）分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆3求证：0,20，要证 只需证明：（）2（2）2.展开得：10220.即证210，即证2125（显然成立）ab.求证：cac. 证明：要证cc，只需证ac，即证：|ac|两边平方得a22acc2c2ab，也即证a2ab2ac，即a（ab）2ac.a，bR，且ab2c，a（ab）0，且ab1，求证：.
4、思路点拨所证不等式含有开方运算且两边都为正数，可考虑两边平方，用分析法转化为一个不含开方运算的不等式，再用综合法证明证明要证：，只需证（）26，即证（ab）226.由ab1得只需证，ab.由a0，ab1，得ab2，即ab成立原不等式成立（1）通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明（2）有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，如本例，这种方法充分表明了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系5已知a，b，c都是正数，23.法一：要证23，只需证ab2abc3，即2c3.移项，得c23.由a，b
5、，c为正数，得c2c3成立a，b，c是正数，c33.即c23.故2c3.ab2abc3.23. 对应学生用书P231设a，bR，A，B，则A，B的大小关系是（）AAB BABCAB DAB解析：A2（）2a2b，B2ab，所以A2B2.又A0，B0，AB.答案：C2a，bR，那么下列不等式中不正确的是（）A.2 B.abC. D.A满足基本不等式；B可等价变形为（ab）2（ab）0正确；C选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以C选项不正确；D选项是A选项中不等式的两端同除以ab得到的，D正确3设a，b，c，那么a，b，c的大小关系是（）Aabc BacbCbac Dbbca.B4设
6、b1，则（）Aaaabba BaabaabCabaaba Dabaa1.0abaa.a.0a1.aa0，若P是a，b的等差中项，Q是a，b的正的等比中项，是，的等差中项，则P，Q，R按从大到小的排列顺序为_P，Q，RQP，当且仅当ab时取等号PQR7设ac，且恒成立，则m的取值范围是_ac，ab0，bc0，ac又（ac）（ab）（bc）224，当且仅当abbc时取等号m（，4（，48若a，b，c是不全相等的正数，求证：lglglglg alg blg c.（综合法）a，b，cR，0，0，0.又a，b，c是不全相等的正数，abc.lglg abc，即lg lglglg alg blg c.（分析法）要证lg lg lg lg alg blg c，即证lglg abc成立只需证abc成立又0，0，0.abc0.（*）又a，b，c是不全相等的正数，（*）式等号不成立9已知x，y，z均为正数求证：.因为x，y，z均为正数所以（），同理可得，当且仅当xyz时，以上三式等号都成立将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得10设实数x，y满足yx20,01，loga（axay）0，ay所以axay2 2 .因为xx2x（1x）2，又因为0所以axay2a，又0loga（axay）loga2a.即loga（axay）loga2.
