1、第二 级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“年和年这一整个时期，我差不多完全是 致力于这一件事，但是毫不成功。”（同上）数学原理尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使用逻辑术语说明概念，回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是：“发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“它包含讲那个总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解，如果这个悖论是克利特以为的什么人说的，悖论就会自动消
2、除。但是在集合论里，问题并不这么简单。 理发师悖论在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。有言在先，他应该给自己理发。 反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九二年提出来的，所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然，这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。 集合论悖论“是所有不包含自身
3、的集合的集合。人们同样会问：“包含不包含自身？”如果不包含，由的定义，应属于。如果包含自身的话，又不属于。继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后，年歌德尔（Kurt Godel ，捷克人）提出了一个“不完全定理”，打破了十九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指出：任何公 设系统都不是完备的，其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题。例如，欧氏几何中的“平行线公理”，对它的否定产生了几种非欧几何；罗素悖论也表明 集合论公理体系不完备。 书目悖论一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名？这个悖论与理发师
4、悖论基本一致。 苏格拉底悖论有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底（，公元前前）是古希腊的 大哲学家，曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。他建立 “定义”以对付诡辩派混淆的修辞，从而勘落了百家的杂说。但是他的道德观念不为希腊人所容，竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。在普洛特哥拉斯被驱 逐、书被焚十二年以后，苏格拉底也被处以死刑，但是他的学说得到了柏拉图和亚里斯多德的继承。苏格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道。这是一个悖论，我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。古代中国也有一个类似的例子： “言尽悖”这是庄子齐物论里庄子说的。后期墨家反驳道：如果“
5、言尽悖”，庄子的这个言难道就不悖吗？我们常说： “世界上没有绝对的真理”我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。 “荒谬的真实”有字典给悖论下定义，说它是“荒谬的真实”，而这种矛盾修饰本身也是一种“压缩的悖论”。悖论（）来自希腊语“paradokein”，意思是“多想一想”。这些例子都说明，在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。1.唐吉诃德悖论小说唐吉诃德里描写过一个国家，它有一条奇怪的法律，每个旅游者都要回答一个问题：“你来这里做什么？”回答对了，一切都好办；回答错了，就要被绞死。一天，有个旅游者回答：“我来这里是要被绞死。旅游者被送到国王那里。国王苦苦想了好久：他回答得是对还是
6、错？究竟要不要把他绞死。如果说他回答得对，那就不要绞死他可这样一来，他的回答又成了错的了！如果说他回答错了，那就要绞死他但这恰恰又证明他回答对了。实在是左右为难！2.梵学者的预言一天，梵学者与他的女儿苏耶发生了争论。苏椰：你是一个大骗子，爸爸。你根本不能预言未来。学者：我肯定能。不，你不能。我现在就可以证明它！苏椰在一张纸上写了一些字，折起来，压在水晶球下。她说：“我写了一件事，它在3点钟前可能发生，也可能不发生。请你预言它究竟是不是会发生，在这张白卡片上写下是字或不字。要是你写错了，你答应现在就买辆汽车给我，不要拖到以后好吗？“好，一言为定。”学者在卡片上写了一个字。3点钟时，苏椰把水晶球下
7、面的纸拿出来，高声读道：“在下午3点以前，你将写一个不字在卡片上。学者在卡片上写的是“是”字，他预言错了：“在下午3点以前，写一个不字在卡片上”这一件事并未发生。但如果他在卡片上写的是“不”呢？也还错！因为写“不”就表示他预言卡片上的事不会发生，但它恰恰发生了他在卡片上写的就是一个不字。苏椰笑了：“我想要一辆红色的赛车，爸爸，要带斗形座的。3.意想不到的老虎公主要和迈克结婚，国王提出一个条件：“我亲爱的，如果迈克打死这五个门后藏着的一只老虎，你就可以和他结婚。迈克必须顺次序开门，从1号门开始。他事先不知道哪个房间里有老虎，只有开了那扇门才知道。这只老虎的出现将是料想不到的。迈克看着这些门，对自
8、己说道：“如果我打开了四个空房间的门，我就会知道老虎在第五个房间。可是，国王说我不能事先知道它在哪里，所以老虎不可能在第五个房间。“五被排除了，所以老虎必然在前四个房间内。同样的推理，老虎也不会在最后一个房间第四间内。按同样的理由推下去，迈克证明老虎不能在第三、第二和第一个房间。迈克十分快乐，他满怀信心地去看门。使他惊骇的是，老虎从第二个房间跳了出来。迈克的推理并没有错，但他失败了。老虎的出现完全出乎意料，表明国王遵守了他的诺言。也许，迈克进行推理的本身就与国王关于老虎“料想不到”的条件发生了矛盾。迄今为止，逻辑学家对于迈克究竟错在哪里还末得到一致意见。4.钱包游戏史密斯教授和两个学生一道吃午
9、饭。教授说：“我来告诉你们一个新游戏。把你们的钱包放在桌子上，我来数里面的钱。钱少的人可以赢掉另一个钱包中的所有钱。学生甲想：“如果我的钱多，就会输掉我这些钱；如果他的多，我就会赢多于我的钱。所以赢的要比输的多，这个游戏对我有利。同样的道理，学生乙也认为这个游戏对他有利。请问，一个游戏怎么会对双方都有利呢？5.一块钱哪儿去了？一个唱片商店里，卖30张老式硬唱片，一块钱两张；另外30张软唱片是一块钱三张。那天，这60张唱片卖光了。30张硬唱片收入15元，30张软唱片收入10元，总共是25元。第二天，老板又拿出60张唱片。他想：“如果30张唱片是一块钱卖两张，30张是一块钱卖三张，何不放在一起，两
10、块钱卖5张呢？”这一天，60张唱片全按两块钱5张卖出去了。老板点钱时才发现，只卖得24元，而不是25元。这一块钱到哪儿去了呢？6.惊人的编码外星的一位科学家基塔先生，来到地球收集人类的资料，遇到了赫尔曼博士。赫尔曼：“你何不带一套大英百科全书回去？这套书最全面地汇总了我们的所有知识。基塔：“可惜，我带不走那么重的东西。不过，我可以把整套百科全书编码，然后只要在这根金属棒上作个标记，就代表了百科全书中的全部信息。”真是再简单不过了！基塔先生是怎样做到的呢？“我先把每个字母、数字、符号，都用一个数来代表，零用来隔开它们。例如cat一词就编为301022。我用高级袖珍计算机快速扫描， 就能把百科全书
11、的全部内容转变为一个庞大的数字。前面加一个小数点，就使它变成了一个十进制的分数，例如0.2015015011基塔先生在金属棒上找到了一个点，这个点将棒分为a和b两段，而ab刚好等于上面那个十进制分数值。“回去后，测出a和b的值，就求出了它们的比值；根据编码的规定，你们的百科全书就被破译出来了。这样，基塔离开地球时只带了一根金属棒，而他却已“满载而归”了！7.不可逃遁的点帕特先生沿着一条小路上山。他早晨七点动身，当晚七点到达山顶。第二天早晨沿同一小路下，晚上七点又回到山脚，遇见了拓扑学老师克莱因。克莱因：“帕特，你可曾知道你今天下山时走过这样一个地点，你通过这点的时刻恰好与你昨天上山时通过这点的
12、时刻完全相同？帕特：“这绝不可能！我走路时快时慢，有时还停下来休息。“当你开始下山时，设想你有一个替身同时开始登山，这个替身登山的过程同你昨天登山时完全相同。你和这个替身必定要相遇。我不能断定你们在哪一点相遇，但一定会有这样一点。”帕特明白了。你明白了吗？8.橡皮绳上的蠕虫橡皮绳长1公里,一条蠕虫在它的一端。蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行；而橡皮绳每过1秒钟就拉长1公里。如此下去，蠕虫最后究竟会不会到达终点呢？乍一想，随着橡皮绳的拉伸，蠕虫离终点越来越远了。但细心的读者会想到：随着橡皮绳的每次拉伸，蠕虫也向前挪了。如果用数学公式表示，蠕虫在第n秒未在橡皮绳上的位置，表示为整条绳的分数就
13、是（推导过程从略）：当n足够大（约为e100000）时，上式的值就超过了1，也就是说蠕虫爬到了终点。9.棘手的电灯一盏电灯，用按钮来开关。假定把灯拧开一分钟，然后关掉半分钟，再拧开1/4分钟，再关掉18分钟，如此往复，这一过程的末了恰好是两分钟。那么，在这一过程结束时，电灯是开着，还是关着？这个问题实在是难！回数猜想一提到李白，人们都知道这是我国唐代大诗人的名字。如果把“李白”两字颠倒一下，变成“白李”，这也是一个人的名字，此人姓白名李。像这样正着念、反 着念都有意义的文字叫做“回文”。王融作有春游回文诗；“风朝指锦幔，月晓照莲池。”反过来读：“池莲照晓月，幔锦指朝风。”回文与数学里的“对称”
14、 相似。如果一个数，从左右来读都一样，就称它为回文式数。比如、101、32123、9999等都是回文式数。数学中有名的“回数猜想”之谜，至今没有解 决。你任取一个数，再把这个数倒过来，并将这两个数相加；然后这个和数再倒过来，与原来的和数相加。重复这个过程，一定能获得一个回文式数。举个例了，比如68，按上述做法进行运算，只需要3步就可以得到一个回文式数1111。6886=154154451=605605506=1111至今没有人能确定这个猜想是对还是错。196这个三位数也许能成为“回数猜想”不成立的反证。因为用电子计算机对这个数进行了几十万步计算，仍没有获得回文式数。但是也没有人能证明这个数永远
15、产生不了回文式数。数学家对同时是质数的回文式数进行了研究，但是还没有人能证明这种想法是对的。数学家还猜想有无穷个回文质数对，比如30103和30203，它们的特点是中间的数字是连续的，而其他数字都是相等的。在回文式数中平方数是非常多的，比如：121=11的平方12321=111的平方1234321=1111的平方12345678987654321=111111111的平方立方数也有类似情况，如：1331=11的立方1367631=111的立方有趣的回文数，至今还有许多不解之谜。我们寄希望于未来的数学家去解开这个谜。托尼对做统计工作的爸爸斯坦斯达特曼说：“爸爸，请你给我和弟弟查理出几道趣题，好吗
16、?“当然好。”爸爸说，“我很乐意接受你的提议。于是，父子之间有关趣题的讨论便开始了。1、“先说第一道。”爸爸说，“有一位女士养了10只母狗，却没有1只母狗生了10只小狗。必定至少有两只母狗生有同样多的小狗，是吗?“未必。”托尼答道。“我认为必定是这样。”查理持不同意见。兄弟俩谁说的对?为什么?2、“在第一题中，”爸爸补充说，“如果10只母狗每只至少生有1只小狗，但最多不到10只小狗。你俩想一想，答案又如何呢?“必定至少有两只母狗生有同样多的小狗。”托尼的回答很肯定。“未必是这样。”查理答道。3、“有甲、乙两个人在喝茶。”爸爸接着又出题了，“其中甲对乙说：我敢跟你打赌，此时此刻我衣袋里的钱至少是
17、你的两倍!乙听后很不服气，对甲说：我也敢跟你打赌，此时此刻我衣袋里的钱刚好是你的两倍!”“结果，”爸爸继续说，“这两个人要么就都赢了，要么就都输了。你们能说出这两个人是都赢了还是都输了呢?“能说出，显然都输了。”托尼说。“不能说出，也有可能都赢了。”查理说。4、“昨天，我去拜访了一位叫吉米的朋友，吉米的家有两个花园。”爸爸的新题又开始了，“我数了一下其中一个花园里的花，刚好是50朵。不过这些花只 有两种颜色红的和蓝的。然后我观察到，不论我摘哪两朵花，其中必定有1朵是蓝的。据此，你们能说出红花和蓝花各有多少吗?” “不能说出，由于这道题所给的条件不够充分，因此无法解。”托尼摇着头说。“完全能说出
18、，由于这道题所给的条件足够充分，因此可以解。”查理点着头说。5、“在吉米家的另一个花园里，种有红、黄、蓝3种花。”爸爸眯缝着眼，一字一顿地微笑道，“我观察到，不论我摘哪3朵花，至少有1朵是蓝的；我还观察到，不论我摘哪3朵花，至少有1朵是红的。据此就可以类推不论我摘哪3朵花，至少有1朵是黄的吗?“可以类推。“不能类推。神奇的“缺8数”“缺8数”12345679，颇为神秘，故许多人在进行探索。清一色菲律宾前总统马科斯偏好的数字不是8，却是7。于是有人对他说：“总统先生，你不是挺喜欢7吗？拿出你的计算器，我可以送你清一色的7。”接着，这人就用“缺8数”乘以63，顿时，777777777映入了马科斯先
19、生的眼帘。“缺8数”实际上并非对7情有独钟，它是“一碗水端平”，对所有的数都“一视同仁”的：你只要分别用9的倍数（9,18直到81）去乘它，则111111111,222222222直到999999999都会相继出现。三位一体“缺8数”引起研究者的浓厚兴趣，于是人们继续拿3的倍数与它相乘，发现乘积竟“三位一体”地重复出现。例如：1234567912=14814814815=18518518557=703703703轮流“休息”当乘数不是3的倍数时，此时虽然没有“清一色”或“三位一体”现象，但仍可看到一种奇异性质：乘积的各位数字均无雷同。缺什么数存在着明确的规律，它们是按照“均匀分布”出现的。另外
20、，在乘积中缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。让我们看一下乘数在区间1017的情况，其中12和15因是3的倍数，予以排除。10123456790（缺8）11135802469（缺7）13160493827（缺5）14172839506（缺4）16197530864（缺2）17209876543（缺1）乘数在1926及其他区间（区间长度等于7）的情况与此完全类似。乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，但也不能多吃多占，真是太有趣了！一以贯之当乘数超过81时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现象依然存在，真是“吾道一以贯之”。随便看几个例子：（1）乘数为9的倍数2432999999
21、997，只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上，仍呈现“清一色”。（2）乘数为3的倍数，但不是9的倍数841037037036，只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上，又可看到“三位一体”现象。（3）乘数为3K1或3K2型981209876542，表面上看来，乘积中出现雷同的2，但据上所说，只要把乘积中最左边的数1加到最右边的2上去之后，所得数为209876543，是“缺1”数，而根据上面的“学说”可知，此时正好轮到1休息，结果与理论完全吻合。走马灯冬去春来，24个节气仍然是立春、雨水、惊蛰其次序完全不变，表现为周期性的重复。“缺8数”也有此种性质，但其乘数是相当奇异的。实际上，当
22、乘数为19时，其乘积将是234567901，像走马灯一样，原先居第二位的数2却成了开路先锋。深入的研究显示，当乘数为一公差等于9的算术级数时，出现“走马灯”现象。2834567901237456790123回文结对 携手同行“缺8数”的“精细结构”引起研究者的浓厚兴趣，人们偶然注意到：449382716561728395前一式的积数颠倒过来读（自右到左），不正好就是后一式的积数？（但有微小的差异，即5代以4，而根据“轮休学说”，这正是题中的应有之义。）这样 的“回文结对，携手并进”现象，对13，14；22，23；31，32；40，41等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等于9）也应如此。67
23、82716049368839506172遗传因子“缺8数”还能“生儿育女”，这些后裔秉承其“遗传因子”，完全承袭上面的这些特性，所以这个庞大家族的成员几乎都同其始祖12345679具有同样的本领。例如50672839是“缺8数”与41的乘积，所以它是一个衍生物。我们看到，50617283931518518517。如前所述，“三位一体”模式又来到我们面前。追本穷源“缺8数”实际上与循环小数是一根藤上的瓜，因为1/810.012345679。在0.012345679中，为什么别的数码都不缺，应有尽有，而唯独缺少8呢？我们看到，1/811/91/9。把1/9化成循环小数，其循环节只有一位，即1/90
24、.1。如果你不怕麻烦，当然也可把它看成是0.1111直到无穷。无穷多个1的自乘，能办得到吗？不妨先从有限个1的平方来试试看。很明显：11的平方=121，111的平方=12321，直到111111111的平方=12345678987654321。但现在是无穷个1相乘，长长的队伍看不到尽头，怎么办呢？利用数学归纳法，不难证明，在所有的层次，8都被一一跳过。循环小数与循环群、周期现象的研究正方兴未艾，它已引起许多人的浓厚兴趣与密切关注。由于计算机科学的蓬勃发展，人们越来越不满足于泛泛的几条性质，而更着眼于探索其精微结构。数趣“数字是万物之本”，数字学家毕达哥拉斯的这句话常常被人引证。甚至对于“什么是
25、朋友”这样的问题，他也可用数字加以回答：“朋友就是你的另一个我，其关系就如220和284。友好数对该数对的神秘在于：所有该数的整除数之和（包括1，但不包括该数本身）等于另一个数。220的整除数之和为124510112022 4455110=284，284的整除数之和为12471142=220。有1800年之久，人们只知道这一数对是“友好”数对。直至 1636年，业余数学家皮勒才成功地发现了第二数对：17296和18416。今天，数学家已发现了1200对这样的数对，其中最大的一对是 111448537712和118853793424。花瓣与小兔的数字之美雷奥那多将阿拉伯数字引入欧洲，他自称费波南
26、希。他在观察小白兔的繁殖时发现了值得注意的数字规律：1，1，2，3，5，8，13，21，34， 55，89，144其特点是前两个数字之和即为下一个数。直至今天，这一特性仍受到人们的关注，因为费波南希数字常常令人吃惊地出现在自然界中。比 如：许多花瓣的数字正是这样。为什么13是个倒霉的数字它的基本设想来自威廉姆福利斯、一位柏林医生的理论，即：人类发展史中的一切都可用一个简单公式“23X28Y”来计算，X和Y是正或负的整数。 比如：一年有365天，因为365=2311284；法国革命开始于23232845=1789年；人类细胞核中有46对染色体=232+ 280；圣经中动物数是2318289=66
27、6；而13是个倒霉的数字，因为13=23328（-2），式中出现了负数。正如美国数学家诺伯特维纳尔所指出的“数字是真理的源泉”，“但数字更多的是将人们引入超现实的境地。构建数学金字塔用数字1、2、39能排出不少有趣的金字塔加法算式。大家都知道，做加法时非得要求把每个加数的个位对齐不可，所以我们等式中的金字塔都只能从侧面来欣赏，但是这并不影响它的赏心悦目。一、把1、2、39这9个数字按照由小到大的顺序从上往下循环排列，逐步增加数字的个数，直到全部数字都出现在同一行中。这时又接着从大到小地往 下排列各数，逐步减少数字，直到只剩下最后1个数字为止。你就获得了第一座金字塔，这座金字塔的和竟是1234567890!你觉得惊奇吗?换一下排 列的方向，你又能获得第二座金字塔，两座金字塔的结果相同。（图A）二、让我们再来建造第二批金字塔。这次只限于使用所有的奇数数字1、3、5、7、9。我们依然由小到大从上往下
