1、全国各地中考数学压轴题专集答案之 7平行四边形矩形菱形正方形梯形2011年全国各地中考数学压轴题专集答案七、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形1解：（1）由题意，得四边形ABCD是菱形，OAOC AC5，OBOD BD3由EFBD，得AEFABDO ，即EF (5h1)S2SOEF EFh1 (5h1)h1 ( h1 )2 当h1 时，S有最大值 6分（2）根据题意，得OEOM作ORAB于R，OB关于OR对称线段为OS当点E，M不重合时，则OE，OM在OR的两侧，易知RERMAB，OR SBR 设EF，MN分别交OA于点K，L，则MLEKOB ， ，即 h1h2 ，此时h1的取值范围为0h1
2、 且h1 当点E，M重合时，则h1h2，此时h1的取值范围为0h15 12分2解：（1）M是BC的中点，CMBM又PMCDMB，RtPMCRtDMB 2分DBPC2m，AD4m 3分点D的坐标为（2，4m） 4分（2）分三种情况：若APAD则4m 2( 4m )2，解得m 6分F若PDPA过P作PFAB于F，则AFDF AD ( 4m )又OPAF，m ( 4m )解得m 8分若DPDAPMCDMB，PM PD AD( 4m )又PC 2CM 2PM 2，( 2m )21 2( 4m )2解得m1 ，m22（舍去） 10分综上所述，当APD是等腰三角形时，m的值为 或 或 （2）点H所经过的路
3、径长为 12分解答过程如下（原题不作要求，本人添加，仅供参考）：连接OM，设OM中点为N，连接NC，NH，则NHNC OM（定值）当点P从点O向点C运动时，点H所经过的路径是以N为圆心，NH为半径的一段圆弧NBC2，M是BC的中点，CMBM1OM ，NH 当P与O重合时，易得HOE45，COH45CNH90点H所经过的路径长为： 3解：（1）在平行四边形ABCD中，ABCD，BAD180ADC180HAD和EAB都是等腰直角三角形，HADEAB45HAE360HADEABBAD3604545( 180 )90（2）EAB和GCD都是等腰直角三角形，AE AB，DG CD在平行四边形ABCD中，
4、ABCD，AEDGHAD和GCD都是等腰直角三角形，HDACDG45HDGHDAADCCDG90HAEHAD是等腰直角三角形，HAHDHAEHDG，HEHG（3）四边形EFGH是正方形理由如下：由（2）同理可得：GHGF，FGFEHEHG，GHGFFEHE四边形EFGH是菱形HAEHDG，DHGAHE又AHDAHGDHG90，EHGAHGAHE90四边形EFGH是正方形4（1）证明：如图1EAF平分BAD，BAFDAF四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCDDAFCEF，BAFFCEFFCECF 2分（2）BDG45 3分（3）解：分别连结GB、GE、GC（如图3）ABDC，ABC120
5、，ECFABC1203FGCE且FGCE，四边形CEGF是平行四边形由（1）得CECF，CEGF是菱形EGEC，GCEGCF ECF60ECG是等边三角形EGCG GECEGC60，GECGCFBEGDCG 由ADBC及AF平分BAD可得BAEAEB，ABBE在ABCD中，ABDCBEDC 由得BEGDCG，BGDG，12BGD1323EGC60BDG是等边三角形BDG60 7分N5（1）（2）如图作出BN（BM4，MN1，MNB90）画出两条裁剪线AK，BE（AKBE，BEAK）平移ABE和ADK此时，得到的四边形BEFG即为所求G6解：（1）当点E在BC的延长线上时，过O作OGBC于G则O
6、G AB3，BGCG BC4OC 5CEOC，CE5CFOG， ，即 CF 4分当点E在边BC上时，易证点F在CD的延长线上，与题意不符，舍去 6分（2）若ADED8，且点E在BC的延长线上P由勾股定理，得CE 2ADBE， BP DP又BPDPBDAC10 DPDP10DP 6分P若ADED8，且点E在边BC上同理可得： BP DP DPDP10DP 7分P若AEDE易证AEBDEC，BECE BC4同理可得： DP BD 8分若AEAD8PBE 2同理可得： DPDP10DP 9分综上所述，若ADE为等腰三角形，DP的长为： 或 或 或 10分7（1）解：BDCD，DCB45DBC45DC
7、B，BDCD2 1分在RtBDC中，BC 2 2分CEBE，点G为BC的中点，EG BC 4分（2）证明：在线段CF上截取CHBA，连结DH 5分BDCD，BECE，EBFEFB90，DFCDCF90又EFBDFC，EBFDCF 6分H又BDCD，BACH，ABDHCDADHD，ADBHDC 7分又ADBC，ADBDBC45HDC45，HDBBDCHDC45ADBHDB 8分又ADHD，DFDF，ADFHDFAFHF 9分CFCHHFABAF 10分8（1）证明：设AD与l2交于点E，BC与l3交于点F由已知BFED，BEFD四边形BEDF是平行四边形，BEDF又ABCD，RtABERtCDF
8、，h1h3 4分（2）证明：作BGl4，DHl4，垂足分别为G、HG在RtBGC和RtCHD中BCGDCH180BCD90，CDHDCH90BCGCDH又BGCCHD90，BCCDRtBGCRtCHD，CGDHh3又BGh2h3，BC 2BG 2CG 2( h2h3)2h32( h1h2)2h12SBC 2( h1h2)2h12 7分（3）解： h1h21，h21 h1S( h11 h1 )2h12 h12h11 ( h1 )2 h10，h20，1 h10，0h1 12分当0h1 时，S随h1的增大而减小；当 h1 时，S随h1的增大而增大 14分R9证明：分别过点D、A、F作直线BC的垂线，
9、垂足分别为P、R、Q四边形ABDE为正方形，ABBD，ABD90DBPBAR，RtDPBRtBARDPBR，PBAR，同理CQAR，CRFQPBCQ又N为BC的中点，BNNCPBBNCQNC，即PNQN在直角梯形DPQF中，M为DF的中点，N为PQ的中点MNDP，MN ( DPFQ ) ( BRCR ) BC又DPBC，MNBC即：MNBC且MN BC10解：（1）P，Q分别是矩形ABCD中AD，BC的中点QAP AD AF，APF90，AFP30PFAP AD 126 （cm）DAF60，DAE30AE 8 （cm）（2）DP AD4（cm），AP AD8（cm）GFP 4 （cm）DEEF
10、，AEDAEF，AEDFGEFGEFEG，GFEFDE 设DEx，则GFxAPGADE， ，PG x xx4 ，x AE （3）AE12 1211解：（1）过点A作AEBC，垂足为E，过点Q作QFBC，垂足为F由AD4，BC9，可知BE 1分由B45可知在等腰RtABE中FABBE 2分（2）设BPx，则PC9x，CQx由CB45可得QF x 3分SPCQ PCQF (9x )x ( x )2 5分即当 x 时，PCQ的面积最大，且最大值为 6分（3）不存在 7分过点P作PMCD交AB于M点B45，BPCQ，BPMP，MPCQ 9分四边形PCQM不可能是平行四边形，更不可能是菱形即在AB边上不
11、存在点M，使得四边形PCQM为菱形 10分12解：（1）等腰 2分图（2）如图，连接BE，画BE的中垂线交BC于点F，连接EF，BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形 3分折痕垂直平分BE，ABAE2点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A四边形ABFE为正方形BFAB2，F（2，0） 6分图（3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4 7分理由如下：当F在边BC上时，如图所示SBEF S矩形ABCD ，即当F与C重合时，面积最大为4 8分当F在边CD上时，如图所示H过F作FHBC交AB于点H，交BE于点KSEKF KFAH HFAH S矩形AHFDSBKF KFBH HFBH S矩
12、形BCFHSBEF S矩形ABCD 4即当F为边CD中点时，BEF面积最大为4 9分下面求面积最大时，点E的坐标(F)当F与点C重合时，如图所示由折叠可知CECB4在RtCED中，ED 2AE42，E（42，2） 11分当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图所示此时E（0，2）综上所述，折痕BEF的最大面积为4时，点E的坐标为E（0，2）或E（42，2）(E) 12分图113解：（1）当点E与D重合时，如图1ABCD，ABDBDC又DBCA90得ABDBDC， 即 ，BD 218AD 3 3分F（2）作BFDC于F，如图2则ABEEBF90，EBFFBC90ABEFBC又ABFC90，AB
13、EFBCABCD，BFADx，FCCDDF633 ，即 yx （x 3） 7分3（3）假设能使ABE、CDE与BCE都相似有以下两种情况：当点E在边AD上时，如图3易知EBCAD90考虑1的对应角，容易得到1ABE，1DCE所以必有123603在RtABE、RtDCE中，易得AE，DE2AD3此时BE2，CE4，BC6即能使ABE、CDE与BCE都相似当点E在边AD的延长线上时，如图4类似可知12330，可求得AD同样能使ABE、CDE与BCE都相似 12分14解：（1）过G作GHAD，垂足为H，则1290FG垂直平分AE，1390323，RtADERtGHF （2）在RtADE中，AE 2A
14、D 2DE 216( 3x )2x 26x25则y2SAGF 2 FGAO FGAE AE 2 ( x 26x25 ) x 2 x （0x ）y ( x 26x25 ) ( x3)26(E)抛物线开口向上，且对称轴为直线x3当0x 时，y随x的增大而减小当x0时，y取最大值 此时四边形AGEF为菱形，理由如下：此时点E与C重合，即AE是矩形ABCD的对角线又FG垂直平分AE，垂足为O点O为矩形ABCD的对称中心，OFOG四边形AGEF为菱形15解：（1）由题意，得ABAF10AD6，DF8，CF2 2分设EFx，则BEEFx，CE6x在RtCEF中，CE 2CF 2EF 2，( 6x )22
15、2x 2G解得x ，EF 4分（2）PMEF，APMAFE， 即 ，PM t易知四边形PMNF是矩形SPMPF t( 10t ) t 2 t ( t5)2 6分当t5时，S最大 8分（3）若AMFM，则FAMAFMFAMMEF90，AFMMFE90MEFMFE，MEMF，AMME过M作MGAB于G，则MGBEAG AB5，MG BE M1（5，） 10分H若AMAF10，过M作MHAB于H在RtAEB中，AE 由AMHAEB，得 即 ，AH3，MHM2（3，） 12分图116解：（1）由题意得点B的坐标为（6，2）若直线y xm过点C时，则m2若直线y xm过点A时，则 6m0，即m4若直线y
16、 xm过点B时，则 6m2，即m6若点N在线段OA上，即2m 4时，如图1图2在y xm中，令y0，得x m，N（ m，0）S ONOC m2 m 2分若点N在AB上，即4m 6时，如图2在y xm中，令y2，得x m3，M（ m3，0）把x6代入y xm，得ym4，N（6，m4）BM6( m3)9 m，BN2( m4)6m3S S矩形OABC ( SCOM SAON SBMN )62 ( m3)2( m4)6(9 m )(6m ) m 2 mS 5分（2）如图3，由轴对称的性质可知，若B、N、B1三点在同一直线上则BNMN，1390又2390，12设直线MN交y轴于点P，则tan1 ，tan
17、2 ，即 7分解得m 8分H如图4，设O1A1与CB相交于点D，OA与C1B1相交于点E，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC重叠部分的面积为四边形MEND的面积由题意知，MDEN，MEDN，四边形MEND为平行四边形由轴对称的性质知，DNMENM又DMNENM，DNMDMNDMDN，平行四边形MEND为菱形 9分过点M作MHOA于H由题易知，tanMNE ，MH2，HN3设菱形MEND的边长为a，则在RtMHE中，由勾股定理得：a 2(3a )22 2，a 10分S菱形MEND ENMH 2 11分故矩形O1A1B1C1与矩形OABC重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 12分P017解：（
18、1）假设CPQ为等边三角形，则xPQBQCQ 连接AQ，CPQ为等边三角形，PQC60PQB120，AQB60tanAQB ，即 tan60，x 得出自相矛盾；CPQ不能为等边三角形 3分（2）CPQ的周长PQCQPCBQCQPCBCPC1PCPCACPA1，CPQ的周长11即当点P运动至与对角线AC的交点时，CPQ的周长取得最小值 P0 6分（3）连接AC交于点P0，则P0CQ45，CP0Q90xP0QP0C1当P在 上运动时，APQ90，0CPQ90此时CPQ为锐角三角形，x1 8分当P与P0重合时，CPQ90此时CPQ为直角三角形，x1 9分当P在上运动时，APC180，APQ90，90
19、CPQ180此时CPQ为钝角三角形，x1 10分G18解：（1）当t5秒时，APEQ5，EP541EFAD，PEQAsinPEQsinA ，cosPEQ 过作P作PGEF于G，则PG ，EG GQ5 PQ 2 3分（2）BQ平分ABC，EBQCBQMEFADBC，CBQBQEEBQBQE，EQBE1046t6，BP1064，PE642延长PQ交CD于点MABDC，EPQFMQ ，MF MD4 ，CM10 BPBCCM410 ，APADMD610 : 8 : 7G因此菱形的周长被分为 和 两部分，这两部分的比为8 : 7 7分（3）过P作PHAD于H，交EF于G则PH t，PG ( t4)，EG
20、 ( t4)GQ t ( t4) t PQ 2PG 2GQ 2 ( t4)2( t )2若以P为圆心，PQ长为半径的P与直线AD相切，则PQ 2PH 2即 ( t4)2( t )2( t )2整理得t 220t1000，解得t10 12分19解：（1）如图1，过点C作CNx轴于N，则四边形DONC为矩形，ONCD四边形ABCD是菱形，AB10，ABBCCDAD10，ON10A（6，0），OA6OD 8 1分点C的坐标为（10，8） 2分（2）如图1，过点P作PHBC于H，则PHCDOA90x四边形ABCD是菱形，PCH=DAOPHCDOA 3分 ，即 CH x，PH x 4分BH10 xPEB
21、C，BQPQ，PQBQBHPHB90四边形PQBH为矩形，PQBH10 xy10 x（0x 10） 6分（3）如图2，过点P作PHBC于H，则四边形PQBH 是矩形，BQPH xPEBC，PEDCBDCDCB，CBDCDBCDBPED，PEPD10xGQEPQPE10 x(10x ) x 7分过点D作DGPQ于点G，过点A作AFPQ交PQ的延长线于点F则DGFAFG90PQBC，PQAD，ADG90四边形AFGD为矩形，AFDGPQBC，DPGCDGPPH C90，DGPPH C ，AFDG (10x )8 x 8分SBQE SAQE EQBQ EQAF x x x(8 x ) xSDEP P
22、EDG (10x )(8 x ) x 28x40，SBQE SAQE SDEP x ( x 28x40 )，整理得x 225x1000，x15，x2200x 10，x220不符合题意，舍去，x5当x5时，SBQE SAQE SDEP 9分PH x45，P与直线BC相交 10分H20解：（1）EGCG，EGCG 2分（2）EGCG，EGCG 4分证明：如图3，延长FE交DC延长线于H，连接GHAEH90，EBC90，BCH90四边形BEHC是矩形，BECH，EHC90H又BEEF，EFCHEHC90，FGDG，HG DFFGBCEH，BCCD，EHCDEFCH，FHDH，F45又FGDG，CHG EHC45HFCHG，EFGCHGEGCG，EGFCGH 6分FHC90，FHDH，FGDG，HGDFEGFEGH90CGHEGH90，即EGC90EGCG 8分（3）EGCG，EGCG 9分证明：如图4，延长CG至H，使GHCG，连接HF、HE、ECGFGD，HGFCGD，GHGC，HFGCDGHHFCD，GHFGCD，HFCD正方形ABCD，HFBC，HFBCBEF是等腰直角三角形，EFBE，EFBEHFECBE，HFECBEEHEC，FEHB
