1、500400同时为保证工程质量，专业人员必须满足客户要求表3：各项目对专业技术人员结构的要求总计132110253162111228-18另外：、项目D，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加；、高级工程师相对稀缺，而且是质量保证的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备有不能少于一定数目的限制。各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求；各项目客户对总人数都有限制；、由于C、D两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支。、4个项目总共同时最多需要的人数是10+16+11+18=55，多于公司现有人数41。二.模型假设1.假设这四个项目每天都在开工，不存在停工
2、的项目2.假设每个技术人员每天都能工作3.C,D两个项目的管理费开支有该公司承担三.符号说明以下是对各个技术员工分配人数情况进行设定。x1x2x3x4y1y2y3y4m1m2m3m4n1n2n3n4W 表示该公司每天的直接收益F 表示调派过程中除去固定部分后的利润H 表示各项目所需固定人员每天的直接利益 为各公司各技术人员每天的直接收费扣除工资和管理开支后的收费，i=1时表示高级工程师的直接受费，i=2时为工程师的每天的直接收费，i=3时为助理工程师每天的直接收费，i=4时为技术员的每天的直接收费 。j=1表示A项目，j=2表示B项目，j=3表示C项目，j=4表示D项目。 四.问题分析在各个项
3、目中，客户对不同的技术人员结构都有最低要求，其对应利润是固定的，在调派过程中除去固定部分后的最大利润对应着总的最大利润。由表3可推知各项目所需固定专业技术人员和剩余人员表（4）剩余人员13技术人员可以得到对应的每天固定部分直接收益, 公司每天所得直接最大收益等于每天固定收益与剩余专业技术人员为公司获得每天的最大直接收益之和。每天固定收益不变，我们以剩余专业技术人员为公司获得每天的最大直接收益为目标函数，以每个项目队专业技术人员机构的要求和公司现有的剩余人员结构为约束条件建立规划模型，运用lingo软件求解，得出最优人员分配方案。五.模型的建立模型的建立主要分为以下几个步骤：1）.该模型的核心是
4、合理分配人力资源，使公司每天的直接受益最大化。该公司的总收入来自客户对各个专业人员的支付。而公司的支出有两项，四种专业人员的日工资和若在C、D两项目工作的办公室管理费用。所以公司的总日收益是总收入减去总支出。由题中的表1和表2中的数据以及办公室管理费用可得表5：项目日利润7504303901250530490650480240550340由表4和表5可得：H=750*1+1250*2+1000*2+700*1+600*2+600*2+650*2+550*2+430*2+530*2+480*2+480*1+390*1+490*3+240*1+340*0=162102）.由表3和表5所给条件可将各
5、项目对专业技术人员结构的要求以及人员结构进行简化可得调派部分不同项目对专业技术人员分配要求和剩余人员结构表6剩余0-20-30-1=00-6需求=4=7=143）.MaxW=H+maxFmaxF=（）该题中目标函数为maxF=约束条件为：（1） 由于要满足该公司人员结构要求，则有=3 （该公司剩余可供分配的高级工程师不超过3人）=9 （该公司剩余可供分配的工程师不超过9人） （该公司剩余可供分配的助理工程师不超过3人）=0（该公司已无 剩余可供分配的技术员）（2） 项目A对专业技术人员结构的要求，则有0=x1=2（A项目对高级工程师的要求）=y1（A项目对工程师的要求）=m1（A项目对助理工程
6、师的要求）=n1（A项目对技术员的要求）x1+y1+m1+n1=4（A项目对总人数的限制）（3） 项目B对专业技术人员结构的要求，则有=x2=3（B项目对高级工程师的要求）=y2（B项目对工程师的要求）=m2（B项目对助理工程师的要求）=n2（B项目对技术员的要求）x2+y2+m2+n2=7（B项目总人数限制）（4） 项目C对专业技术人员结构的要求，则有0=x3（C项目对高级工程师的要求）=y3（C项目对工程师的要求）=m3（C项目对助理工程师的要求）=n3（C项目对技术员的要求）X3+y3+m3+n3=4（C项目对总人数的限制）（5） 项目D对专业技术人员结构的要求，则有=x4=1（D项目对
7、高级工程师的要求）=y4=6（D项目对工程师的要求）=m4（D项目对助理工程师的要求）=n4（D项目对技术员的要求）X4+y4+m4+n4=14（D项目对总人数的限制）（6）该公司分配给各个项目的专业技术人员必须是正整数六.模型求解用Lingo10进行求解。程序如下max=750*x1+1250*x2+1000*x3+700*x4+600*y1+600*y2+650*y3+550*y4+430*m1+530*m2+480*m3+480*m4+390*n1+490*n2+240*n3+340*n4;x1+x2+x3+x4=3;y1+y2+y3+y4=9;m1+m2+m3+m4n1+n2+n3+n
8、4=0;=4;=7;x3+y3+m3+n3x4+y4+m4+n4=0;x1x2x4y2y3y4y4m2m3m4n1=0;n2=0;n3=0;n4=0;end运行结果见附录一。求得最优解为10940元。所以maxW=H+maxF=16210+10940=27150剩余人员最优分配为：表7合计（人）4715表7结合表5可得：人员最优分配为：表86161141七.模型检验通过对表3和表8，可以看出调派的人数完全符合各个项目对各个专业技术人员人数的要求，同时使得公司的直接收益最大，这样的模型是合理的八.模型的优缺点1. 该模型运用了Lingo 进行求解，模型的精确性，可靠性较高2. 项目共需要人数是5
9、5名，公司有各种技术人员41名，固定安排26名可合理调配15名，公司收益还有上升空间。九.模型优化程序编程：运行结果见附录二。当招录高级工程师3人，工程师7人，助理工程师4人时，maxF=18810元。MaxW=H+maxF=16210+18810=35020各项目的人员数目如下表91429十.参考文献（1）运筹学教程（第三版）清华大学出版社 主编：胡运权（2）数学建模与数学实验（第三版）高等教育出版社 主编：赵静 但琦（3）数学建模基础北京工业大学出版社 主编：薛毅附录一Global optimal solution found. Objective value: 10940.00 Infe
10、asibilities: 0.000000 Total solver iterations: 5 Model Class: LP Total variables: 11 Nonlinear variables: 0 Integer variables: Total constraints: 24 Nonlinear constraints: Total nonzeros: 48 Nonlinear nonzeros: Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 0.000000 X2 3.000000 0.000000 X3 0.000000 0.00000
11、0 X4 0.000000 50.00000 Y1 4.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3 4.000000 0.000000 Y4 0.000000 50.00000 M1 0.000000 100.0000 M2 3.000000 0.000000 M3 0.000000 100.0000 M4 0.000000 50.00000 N1 0.000000 0.000000 N2 0.000000 0.000000 N3 0.000000 0.000000 N4 0.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual
12、 Price 1 10940.00 1.000000 2 0.000000 750.0000 3 0.000000 600.0000 4 0.000000 530.0000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 0.000000 50.00000 9 14.00000 0.000000 10 0.000000 0.000000 11 2.000000 0.000000 12 3.000000 0.000000 13 0.000000 500.0000 14 0.000000 200.0000 15 0.000
13、000 0.000000 16 1.000000 0.000000 17 4.000000 0.000000 18 1.000000 0.000000 19 4.000000 0.000000 20 0.000000 0.000000 21 6.000000 0.000000 22 0.000000 0.000000 23 3.000000 0.000000 24 0.000000 0.000000 25 0.000000 0.000000 26 0.000000 390.0000 27 0.000000 490.0000 28 0.000000 190.0000 29 0.000000 34
14、0.0000-150.0000附录二 18810.00 20 37 X1 2.000000 0.000000 X4 1.000000 0.000000 Y1 2.000000 0.000000 Y2 4.000000 0.000000 Y4 6.000000 0.000000 M1 0.000000 170.0000 M2 0.000000 70.00000 M3 0.000000 170.0000 M4 7.000000 0.000000 1 18810.00 1.000000 2 0.000000 600.0000 4 0.000000 650.0000 5 0.000000 480.00
15、00 6 2.000000 0.000000 7 0.000000 150.0000 8 3.000000 0.000000 9 0.000000 650.0000 10 0.000000 350.0000 11 1.000000 0.000000 12 0.000000 220.0000 13 2.000000 0.000000 14 4.000000 0.000000 15 4.000000 0.000000 16 6.000000 0.000000 17 0.000000 70.00000 18 0.000000 0.000000 19 0.000000 0.000000 21 7.000000 0.000000 22 0.000000 -210.0000 23 0.000000 -110.0000 24 0.000000 -410.0000 25 0.000000 -140.0000
