1、数值分析读书报告一 一、第一章数值分析与科学计算引论 1、数值分析也称计算数学，是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值分析方法及理论与软件实现，用计算机求解科学技术问题通常经历以下步骤：根据实际问题建立数学模型，由数学模型给出数值计算方法，根据计算方法编制算法程序（数学软件）在计算机上算出结果。2、数值分析的特点有以下四点：第一，面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。第三，要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省计算时间，空间复杂性好是指节省储存空间，这
2、也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。第四，要有数值试验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。3、误差的分类：主要有数学模型与实际问题之间出现的误差叫模型误差；观测产生的观测误差；近似解与精确解之间的误差称为截断误差；以及计算过程中产生的舍入误差。4、近似值与精确值的差值就叫做绝对误差，简称误差 误差与精确值的比值称作绝对误差 若近似值的误差限是某一位的半个单位，该位到的第一位非零数字共有 n 位，就说有 n 位有效数字。下边有介绍了数值运算的误差限用以下公式计算（)|=1（)5、一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不
3、增长，则称次算法是数值稳定的；否则称此算法为不稳定的。6、函数值的相对误差与自变量的相对误差的比值称为计算函数值问题的条件数，一般情况下，条件数 10就认为是病态，越大病态越严重。数值计算中通常不采用数值不稳定算法，在设计算法时还应尽量避免误差危害，防止有效数字损失，通常要避免两相近数相减和用绝对值很小的数做除数，还要注意运算次序和减少运算次数。7、几种具有代表性的算法 多项式求值的秦九韶算法 迭代法与开方求值 以直代曲与化整为零 加权平均的松弛技术 心得：本章作为引论，只是对数值分析这门课程作了一个简单的介绍，说明了数值分析的一些基本问题，主要讲了数值分析的研究对象，误差，算法稳定性，病态问
4、题，和数值分析中最基本常用的几个算法思想。这一章可以为我们以后学好数值分子这门课打好基础，让我们知道要学好这门课，需要掌握哪些相关的课程，比如高等数学、线性代数等。二、第二章插值法 插值法，就是一种近似的运算方法，在我们平时的学习中，我们会遇到许多的解不出来的函数。例如，我们在做实验时，我们往往是得到了一些离散的点，然后需要通过这些离散的点来画出这个函数的图形，那我们应该怎么画出这个函数的图形呢？这就是一个典型的问题，而插值法就为我们提供了这种方法。我们通过用多项式来逼近这个函数，因为多项式函数简单，而且其性质也很好。在多项式插值中，最简单的就是把我们得到的离散的点代入多项式中，然后计算多形式
5、的系数，这个方法的思路很简单，但是运算的时候太过于繁杂，所以我们一般是不用的。这样我们就得想一个好的方法，拉格朗日插值法就是一个。拉格朗日插值法的表达形式是：Ln(x)=yknk=0(n+1(x)/(x xk)n+1(xk)其中的xk，yk是我们已知的离散点，而n+1(x)=(x xk)nk=0 拉格朗日插值是一个非常简单的插值，它的表达形式一目了然，使得我们很好的理解。如果多项式的次数较低时，用这种方法是非常好的，但是当插值节点增减时，计算要全部重新进行，这就让我们觉得它太繁琐了，所以我们又提出了另外一种插值法，这就是牛顿插值法。在牛顿法中，我们引进了均差的概念。K 阶均差：fx0,x1,x
6、k=(fx0,xk2,xkfx0,x1,xk1)/(xk xk1),所以牛顿插值的表达式是：Pn(x)=f(x0)+fx0,x1,xn(x x0)(x xn1),这样我们如果增减一些点时，就不需要再把原来已经运算过的东西再运算一遍了，这使我们的运算速度大大的提高了，让我们的工作效率有了改善。牛顿插值有它的运算优势，但是这种运算对于我们人来说，其还是很麻烦的，我们必须要求助于计算器或者电脑。不管是拉格朗日插值，还是牛顿插值，它们只是满足了在那些离散点处插值函数的函数值与原函数的函数值是相等的，但是其不能保证在这些点处它们的导数值相等，甚至是其高阶导数值也相等。为了满足这种要求，我们又提出了一种插
7、值，它就是埃尔米特插值方法。由于考虑到实用性，我们只是介绍了两个典型的艾尔米特插值，一个是已知了三个点的函数值和某一个的导数值，求其三次艾尔米特插值时，我们利用的是牛顿插值方法来计算的。而另外一种情况是已知两个函数值和其导数值，我们是用类似于拉格朗日插值的方法，运用基函数方法来运算的。前面讨论的插值函数虽然有的已经有了一致收敛性，但是其光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，既有二阶连续导数。我们就提出了三次样条插值。它就是在艾尔米特插值上的一种改进。三、第三章函数逼近 在数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计算基本初等函数及其他特殊函数；当函数只在有限点
8、集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公式给出函数的简单表达式，这些都涉及在区间a,b上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题。在这里我们讨论的是，对函数类 A 中给定的函数 f(x)，记作 f(x)A,要求在另一类简单的便于计算的函数类 B 中求函数 p(x)B,使 p(x)与 f(x)的误差在某种度量意义下最小。在这里面，我们主要讨论了正交多形式逼近，其中我们介绍了两个特殊的正交多项式，一个是勒让德多项式，其表达形式是：Pn(x)=12nn!dndxn(x21)n,n=1,2,.而另一个是切比雪夫多项式，其表达形式是：Tn(x)=cos(narccosx),|x|1.我们在
9、用函数逼近时，用的就是这两个函数。如果要求的是其最大误差最小，那我们就用切比雪夫多项式来逼近，因为在同次的多项式中,切比雪夫多项式的最大值最小.但是如果要求的是使其误差的二阶范数最小,那么就要用勒让德多项式来逼近了,因为其的二阶范数是和 0 靠的最近的,在同次的多项式中。这主要是我们所用的最佳正交多项式的方法。心得：本书在一些公式的推到过程中，简化的步骤太多，致使读者不能很好的看出，需要大量详细步骤验算，才能得出书中的计算过程，我认为这是本书的一个不足之处。二三章的内容对我们理工科的学生是有很大的实际意义的，我们在平时做实验是就会用到这些方法，得出我们所需要的结果。本书在一些例题讲解上还算是比较详细的，可能例题的数量上不是很多，毕竟每一张都会涉及到很多的公式，要想理解掌握这些公式只有通过大量的习题练习。
