1、2 传染病模型问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设()()()i tti ti tt 若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模0(0)diidtiiti 0()ti ti e?disidt()()1s ti t模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的 比例分别为)(),(tsti2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的
2、健康人致病建模()()()()N i tti ts t Ni tt 0(1)(0)diiidtii 日接触率SI 模型01()111ti tei0(1)(0)diiidtii模型21/2tmii010t101ln1mtitm传染病高潮到来时刻(日接触率)tm 1tiLogistic 模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt 最大模型3传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS 模型3）病人每天治愈的比例为 日治愈率()()()()()N i tti tNs t i ttNi tt 建模/日接触率1/感染期 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。0(1)(0)d
3、iiiidtii1,01,11)(i1(1)dii idt 模型3i0i0接触数接触数=1 阈值阈值/1)(ti形曲线增长按Sti)(感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数小01i1-1/i0(1)diiiidt模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt 0模型4传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为)(),(),(trtsti2）病人的日接触率,日治愈率,接触数 =/建模
4、1)()()(trtits需建立的两个方程)(),(),(trtstittNittitNstittiN)()()()()(模型4SIR模型很小）通常000)0(1rrsi无法求出的解析解)(),(tsti在相平面上研究解的性质is ttitNststtsN)()()()(00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi0011iisdsdiss000ln1)()(sssissi模型400)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi/消去dtSIR模型1,0,0),(isisisD相轨线的定义域)(si相轨线11si0D在D内作相轨线的图形，进行分析)(sisi101D模型4SIR模型相
5、轨线及其分析)(si00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi0011iisdsdiss000ln1)()(sssissi0ln1000sssiss满足miis,/1传染病蔓延传染病蔓延传染病不蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方向单调减相轨线的方向0,itP1s0/1imsP1:s01/i(t)先升后降至先升后降至0P2:s01/i(t)单调降至单调降至01/阈值阈值P3P4P2S0ssss00lnln模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件s01/的估计0ln1000sssis0i忽略 降低 s0提高 r0 1000ris 提高阈值 1/降低(=/),模型4SIR模型被传染人数的估计0ln1000sssis记被传染人数比例ssx00)211(200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xxs0i0s/1P10ssi0 0,s0 1 小小,s0 1提高阈值提高阈值1/降低被传染人数比例降低被传染人数比例 xs0-1/=
