1、【例1-2】已知等概独立的二进制数字信号的信息速率为2400bit/s。（1）求此信号的码速率和码元宽度；（2）将此信号变为四进制信号，求此四进制信号的码速率、码元宽度和信息速率。（1）RB=Rb/log2M=（2400/log22）Baud=2400BaudT=s=0.42ms（2）RB=（2400/log24）Baud=1200BaudT=s=0.83msRb=2400b/s【例1-3】设壹信息源的输出由128个不同符号组成。其中16个出现的概率为1/32，其余112个出现概率为1/224。信息源每秒发出1000个符号，且每个符号彼此独立。试计算该信息源的平均信息速率。每个符号的平均信息量
2、为H（X）=16log232+112log2224=6.404bit/符号已知码元速率RB=1000Baud,故该信息源的平均信息速率为Rb=RBH（X）=6404bit/s【例1-4】壹个由字母A，B，C，D组成的字，对于传输的每壹个字母用二进制脉冲编码，00代替A，01代替B，10代替C，11代替D，每个脉冲宽度为5ms.（1）不同的字母是等可能出现时，试计算传输的平均信息速率；（2）若每个字母出现的可能性分别为PA=，PB=，PC=，PD=试计算传输的平均信息速率。（1）每个字母的持续时间为25ms，所以字母传输速率为RB4=100Baud不同的字母等可能出现时，每个字母的平均信息量为H
3、（X）=log24=2bit/符号平均信息速率为Rb=RB4H（X）=200bit/s（2）每个字母的平均信息量为H（X）=-log2-log2-log2-log2=1.985bit/符号所以，平均信息速率为H（X）=198.5bit/s【例2-1】设随机过程（t）可表示成（t）=2cos（2t+），式中是壹个离散随机变量，且（=0）=1/2、（=/2）=1/2，试求E（1）及（0，1）。于t=1时，（t）的数学期望为（1）=（=0）+（=）=2cos0+2cos=1于t1=0时，t2=1时，（t）的自关联函数（0，1）=+=2【例2-2】设z（t）=x1cos-x2sin是壹随机过程，若x1
4、和x2是彼此独立且具有均值为0、方差为的正态随机变量，试求（1），；（2）z（t）的壹维分布密度函数f（z）；（3）B（t1，t2）和R（t1，t2）。=cos-sin=0=cos2-2cossin+sin2因为=+=，同理=。又因为x1和x2彼此独立，则有=，所以（2）因为z（t）是正态随机变量x1和x2经线性变换所得，所以z（t）也是正态随机过程。同时z（t）的方差=-=所以z（t）的壹维分布密度函数f（z）=（3）R（t1，t2）=因为=0，所以有B（t1，t2）=R（t1，t2）-=R（t1，t2）【例3-1】设壹恒参信道的幅频特性和相频特性分别为其中，K0和td均是常数。试确定信号s
5、（t）通过该信道后的输出信号的时域表示式，且讨论之。该恒参信道的传输函数为冲激响应为h（t）=K0（t-td）输出信号为y（t）=s（t）*h（t）=K0s（t-td）讨论：该恒参信道满足无失真条件，所以信号于传输过程中无畸变。【例3-2】黑白电视图像每帧含有3105个像素，每个像素有16个等概出现的亮度等级。要求每秒钟传输30帧图像。若信道输出S/N=30dB，计算传输该黑白电视图像所要求的信道的最小带宽。每个像素携带的平均信息量为H（x）=（log216）bit/符号=4bit/符号壹帧图像的平均信息量为I=（43105）bit=12105bit每秒钟传输30帧图像时的信息速率为Rb=（1
6、210530）bit/s=36Mbit/s令Rb=C=Blog2（1+）得B=即传输该黑白电视图像所要求的最小带宽为3.61MHz。【例3-3】设数字信号的每比特信号能量为Eb，信道噪声的双边功率谱密度为n0/2，试证明：信道无差错传输的信噪比Eb/n0的最小值为-1.6dB。证：信号功率为S=EbRb噪声功率为N=n0B令C=Rb，得由此得，dB【例4-1】根据右图所示的调制信号波形，试画出DSB及AM信号的波形图，且比较它们分别通过包络检波器后的波形差别。DSB及AM波形分别如下图（a）、（b）所示。DSB信号通过包络检波后的波形图如下图（a）所示，AM信号通过包络检波后的波形图如（b）所
7、示。可见，m1（t）有严重失真，m2（t）无失真，说明不能用包络检波法解调DSB信号。【例4-2】某调制方框图如下图（b）所示。已知m（t）的频谱如下图（a）所示，载频1H，且理想低通滤波器的截止频率为1，试求输出信号s（t），且说明s（t）为何种已调信号。方法壹：时域法俩个理想低通输出均是下边带信号，上支路的载波为cos1t，下支路的载波为sin1t。d（t）=Am（t）cos1t+A（t）sin1te（t）=Am（t）sin1t-A（t）cos1t由此得s（t）=f（t）+g（t）=Am（t）（cos1t+sin1t）cos2t+A（sin1t-cos1t）sin2t=Am（t）cos（2
8、-1）t-Asin（2-1）t可知，s（t）是壹个载频为2-1的上边带信号。方法二：频域法上支路各点信号的频谱表达式为Sb（）=M（+1）+M（-1）Sd（）=M（+1）+M（-1）HL（）Sf（）=Sd（+2）+Sd（-2）下支路各点信号的频谱表达式为Sc（）=M（+1）-M（-1）Se（）=M（+1）-M（-1）HL（）Sg（）=Se（）*（+2）-（-2）=M（+1）-M（-1）HL（）*（-2）-（+2）S（）=Sf（）+Sg（）各点信号频谱图如下图所示。由图可知，s（t）是壹个载频为2-1的上边带信号，即s（t）=Am（t）cos（2-1）t-Asin（2-1）t【例4-3】设某信道
9、具有均匀的双边噪声功率谱密度Pn（f）=0.510-3W/Hz，于该信道中传输振幅调制信号，且设调制信号m（t）的频带限制于5kHz，载频是100kHz，边带功率为10kW，载波功率为40kW。若接收机的输入信号先经过壹个合理的理想带通滤波器，然后再加至包络检波器进行解调。试求：（1）解调器输入端的信噪功率比；（2）解调器输出端的信噪功率比；（3）制度增益G。（1）Si=Sc+Sm=（40+10）kW=50kWNi=2Pn（f）B=（20.510-325103）W=10W（2）SAM（t）=A+m（t）cosct=Acosct+m（t）cosct由已知边带功率值可得包络检波器输出信号和噪声分别
10、为mo（t）=m（t）no（t）=nc（t）所以，包络检波器输出信号功率和噪声功率分别为So=20kWNo=Pn（f）2B=10W检波器输出信噪功率比为（3）制度增益为【例4-4】设有壹个频分多路复用系统，副载波用SSB调制，主载波用FM调制。如果有60路等幅的音频输入通路，则每路频带限制于3.3kHz以下，防护频带为0.7kHz。（1）如果最大频偏为800kHz，试求传输信号的带宽；（2）试分析和第1路相比，第60路输出信噪比降低的程度（假定鉴频器输入的噪声是白噪声，且解调器中无去加重电路）。思路本系统的原理方框图如下图所示。因为鉴频器输出噪声功率谱密度和频率平方成正比，所以接收端各个带通滤
11、波器输出噪声功率不同，带通滤波器中心频率越高，输出噪声功率越大。鉴频器输出的各路SSB信号功率和它们所处的频率位置无关，因此，各个SSB解调器输入信噪比不同。第壹路SSB信号位于整个频带的最低端，第60路SSB信号处于频带的最高端。故第60路SSB解调器输入信噪比最小，而第1路信噪比最高。只要求出第1路和第60路SSB解调器输入噪声，就能够确定第60路输出信噪比相对于第1路信噪比的降低程度。（1）60路SSB信号的带宽为B=60（3.3+0.7）kHz=240kHz调频器输入信号的最高频率为fH=fL+B当频分复用SSB信号的最低频率fL=0时，fH=B=240kHz，FM信号带宽为BFM=2
12、（f+fH）=2（800+240）kHz=2080kHz（2）鉴频器输出噪声功率谱密度为第1路SSB信号的频率范围为04000Hz，第60路SSB信号的频率范围为236000240000Hz。对Pn（f）于不同频率范围内积分，可得第1路和第60路SSB解调器的输入噪声。和第1路相比，第60路输出信噪比降低的分贝数为（10lg）dB=（10lg10621）dB40dB频分复用SSB信号的最低频率fL不可能为0，Ni1、Ni60随fL增加而增加，但俩者之比减小，即和第1路相比，第60路输出信噪比降低的分贝数小于40dB。【例5-1】已知信息代码为1010000011000011，试确定相应的传号差
13、分码、CMI码、数字双相码、AMI码以及HDB3码，且分别画出它们的波形。【例5-2】有4个连1和4个连0交替出现的序列，画出单极性非归零码、AMI码、HDB3码所对应的波形图。思路单极性非归零码、AMI码的编码规律比较简单。对HDB3码的编码规律比较熟悉后即可直接由信息代码求出HDB3码，且进而画出波形图。由于序列中4个连1和4个连0是交替出现的，故相邻的4个连0码组之间1码的个数肯定是偶数个，因此HDB3码中的每个取代节均应是B00V。单极性非归零码、AMI码、HDB3码及其波形图如下图所示。【例5-3】设随机二进制序列中的1码出现的概率为0.5，对应壹个振幅等于1、宽度等于码元间隔Ts的
14、矩形脉冲，0码对应0电平。（1）求其功率谱密度及功率，且画出功率谱曲线，求谱零点带宽；（2）若1码对应壹个占空比等于0.5的矩形脉冲，0码仍为0电平，重新回答（1）中的问题；（3）能否从上述俩个信号中用滤波法直接提取码元同步所需的频率fs=1/Ts的分量?若能，给出该分量的功率；（4）分析离散谱fs的功率和1码概率P的关系。思路第壹个信号为单极性非归零码，第二个信号为占空比等于0.5的单极性归零码，它们的基本波形为DTs（t）和D0.5Ts（t）。这俩个信号均是相同波形随机序列，可用式（5-3）求其功率谱。若功率谱中含有fs=1/Ts的离散谱，则可用滤波法直接提取频率为fs=1/Ts的位定时信
15、号，否则不能。Ps（f）=fsP（1-P）（a1-a2）2G2（f）+f2s|Pa1+（1-P）a2|2G2（mfs）（f-mfs）（5-3）傅氏变换对D（t）Sa=是本课程中常用公式，此题中=Ts或=0.5Ts。解:（1）P=0.5,a1=1,a2=0G（f）=TsSa（fTs）=TsSa（f/fs）代入式（5-3）得Ps（f）=fsT2sSa2（f/fs）+f2s0.52T2sSa2（mfs/fs）（f-mfs）=0.25TsSa2（f/fs）+0.25Sa2（m）（f-mfs）由于sin（m）=0所以Sa（m）=0故Ps（f）=0.25TsSa2（f/fs）功率谱密度曲线如下图所示。由图
16、可知，谱零点带宽为Bs=fs。信号功率为S=Ps（f）df=0.25TsSa2（f/fs）df=0.25fsT2sSa2（f/fs）df根据帕塞瓦尔定理T2sSa2（f/fs）df=|G（f）|2df=D2Ts（t）dt=T2s得S=0.25fsTs2=0.25Ts（2）P=0.5G（f）=0.5TsSa（0.5fTs）=0.5TsSa（0.5f/fs）Ps（f）=0.0625TsSa2（0.5f/fs）+0.0625（0.5m）（f-mfs）由图可知，谱零点带宽为Bs=2fs。S=0.0625TsSa2（0.5f/fs）df+0.0625Sa2（0.5m）（f-mfs）df=0.0625fs
17、T2sSa2（0.5f/fs）df+0.0625Sa2（0.5m）=0.0625Ts+0.0625Sa2（0.5m）（3）于（1）中无频率等于fs的离散谱，于（2）中有频率等于fs的离散谱，故能够从（2）中用滤波法提取码元同步信号（即位同步信号）。频率为fs离散谱的功率为S=20.0625Sa2（0.5）=（0.125sin2（0.5）/（0.5）2W=0.05W（4）于第2个信号中有离散谱fs，若P为任意值，则此信号的离散谱为0.25P2Sa2（0.5m）（f-mfs）频率为fs的离散谱功率为S=（0.5P2sin2（0.5）/（0.5）2）W=0.2P2W小结以矩形脉冲为基本波形的二进制相
18、同波形随机序列的谱零点带宽等于脉冲宽度的倒数，占空比为1时，谱零点带宽于数值上等于码速率；单极性归零码中含有频率等于码速率的离散谱，离散谱的功率随1码的概率增大而增大（设1码传送脉冲）。上述结论也能够推广到各码元独立的M进制相同波形随机序列。【例5-4】设某二进制数字基带信号的基本脉冲为三角形脉冲，如右图所示。图中Ts为码元间隔，数字信息“1”“0”分别用g（t）的有无表示，且“1”和“0”出现的概率相等。（1）求该数字基带信号的功率谱密度；（2）能否用滤波法从该数字基带信号中提取码元同步所需的频率fs=1/Ts的分量?若能，试计算该分量的功率。思路将底部宽度为、高度为1的三角形时域函数表示为
19、（t），傅氏变换对为（t）据此式可求得本题中g（t）所对应的G（f），再由式（5-3）即可求解。G（f）=Ps（f）=fsP（1-P）（a1-a2）2G2（f）+f2s|Pa1+（1-P）a2|2G2（mfs）（f-mfs）+（f-mfs）（2）频率fs=1/Ts离散谱分量为所以能够用滤波法从该数字基带信号中提取码元同步所需要的频率fs=1/Ts的分量，该分量的功率为S=2A2/4=0.02A2【例5-5】某基带系统的频率特性是截止频率为1MHz、幅度为1的理想低通滤波器。（1）试根据系统无码间串扰的时域条件求此基带系统无码间串扰的码速率。（2）设此系统传输信息速率为3Mbps，能否无码间串扰
20、?思路此题需求系统的冲激响应。系统的频率特性是壹个幅度为1、宽度为0=4106rad/s的门函数（双边频率特性）D0（），根据傅氏变换的对称性可得D0（）=2106Sa（2106t）无码间串扰的时域条件为式中，Ts为码元间隔。所以，根据冲激响应波形就可确定此系统无码间串扰的码速率。设进制数为任意值，根据信息速率和码速率之间的关系求3Mbps所对应的码速率，从而判断传输3Mbps信号有无码间串扰。（1）h（t）=2波形如下图所示。由图可知，当Ts=0.5s/k（k为正整数）时无码间串扰，即此系统无码间串扰的码速率为（2）设传输独立等概的M进制信号，则RB=（MBd）令=得M=8n（n=1,2,）
21、即当采用8n进制信号时，码速率RB=（MBd），能够满足无码间串扰条件。【例5-6】设某基带传输系统具有右图所示的三角形传输函数：（1）当RB=0/时，用奈奎斯特准则验证该系统能否实现无码间串扰传输?（2）求该系统接收滤波器输出基本脉冲的时间表达式，且用此来说明（1）中的结论。思路因RB=0/，即RB=2f0，无码间串扰频域条件如下式H（+ns）=（5-5）或H（+ns）=C,为任意值（5-6）对于此题给定的条件，有根据傅氏变换的对称性，可得（）由此式可求得本题所给系统的接收滤波器输出基本脉冲时间表达式，再根据码速率决定抽样时刻，从而决定有无码间串扰。（1）方法壹将H（）于频率轴上以20为间隔
22、切开，由于H（）的频率范围为（-0,0），故切开、平移、迭加后仍为H（），于|0范围内H（）不为常数，故系统有码间串扰。方法二将H（）向左右平移20的整数倍，如下图所示。可见平移后各图不重合，相加后不为常数，故码速率为0/时有码间串扰。（2）h（t）=Sa2此即为接收滤波器输出基本脉冲时间表达式。因Ts=所以h（kTs）=可见k=0,1,3,时，h（kTs）0，故有码间串扰。【例5-7】若要求基带传输系统误比特率为10-6，求采用下列基带信号时所需要信噪比（1）单极性非归零码；（2）双极性非归零码；（3）采用格雷码的8电平双极性非归零码；（4）7电平部分响应信号。（1）Peb=Q查Q（x）函数
23、表得=45所以（2）Peb=Q查Q（x）函数表得（3）Pb=Peb/log28=Pe/3由此得查Q（x）函数表得=4.75（4）当部分响应为7电平信号时，此系统传输的为4进制信号Peb=Pe/log24=Pe/2【例6-1】已知码元传输速率RB=103Bd，接收机输入噪声的双边功率谱密度n0/2=10-10W/Hz，今要求误码率Pe=10-5，试分别计算出相干OOK、非相干2FSK、差分相干2DPSK以及2PSK等系统所要求的输入信号功率。思路只要求出接收机带通滤波器输出噪声功率就能够由误码率公式得到Pe=10-5的信噪比，从而得出信号功率。题中已给出噪声的功率谱密度，但没有给定收滤波器带宽。
24、由于OOK（即2ASK）系统、2DPSK系统、2PSK系统均是线性系统，它们的频带利用率为1/（1+）（Bd/Hz）。若收滤波器为升余弦滚降特性，其等效噪声带宽为1000Hz，可用此等效带宽求噪声功率。设=1，且收滤波器的频率特性是带宽为2000Hz的理想矩形，我们以此为标准进行计算。非相干2FSK解调器由俩个非相干2ASK解调器构成，俩个收滤波器的带宽和线性系统壹样。设OOK、差分相干2DPSK以及2PSK的收滤波器的频率特性是带宽为2000Hz的理想矩形，非相干2FSK接收机的俩个支路带通滤波器的频率特性也是带宽为2000Hz的理想矩形。于此条件下，接收机输入噪声功率为N=（10-1020
25、00）W=410-7W（1）相干OOK（2ASK）系统由误码率公式Pe=10-5得r=36.13S=（36.13410-7）W=1.4510-5W（2）非相干2FSK系统Pe=得r=21.6S=（21.610-7）W=0.86（3）差分相干2DPSK系统得r=10.8S=（10.810-7）W=0.43（4）相干2PSK系统Pe=Q（）=10-5得r=9.03S=（9.0310-7）W=0.36【例6-2】已知2FSK信号的俩个频率f1=980Hz，f2=2180Hz，码元速率RB=300Bd，信道有效带宽为3000Hz，信道输出端的信噪比为6dB。（1）2FSK信号的谱零点带宽；（2）非相干
26、解调时的误比特率；（3）相干解调时的误比特率。（1）2FSK信号的谱零点带宽为Bs=|f2-f1|+2Rb=（2180-980+2300）Hz=1800Hz（2）设非相干接收机中带通滤波器BPF1和BPF2的频率特性为理想矩形，且带宽为Hz信道带宽为3000Hz，是接收机带通滤波器带宽的5倍，所以接收机带通滤波器输出信噪比是信道输出信噪比的5倍。当信道输出信噪比为6dB时，带通滤波器输出信噪比为r=5100.6=54=202FSK非相干接收机的误比特率为Pb=e-r/2=e-10=2.2710-5（3）同理可得2FSK相干接收机的误比特率为Pb=Q（）=Q（）=Q（4.47）=3.9310-6【例6-3】待传送二元数字序列ak=1011010011：（1）试画出QPSK信号波形。假定fc=Rb=1/Ts，4种双比特码00，10，11，01分别用相位偏移0，/2，3/2的振荡波形表示；（2）给出QPSK信号表达式和调制器原理方框图。（1）QPSK信号波形如下图所示。（2）QPSK信号的表达式为eQPSK（t）=coskcosct+sinksinct=cos（ct-k）QPSK调制器原理方框图如下图所示，图中x和i（t）的对应关系为：x为1码时，i（t）为负脉冲，x为0码时，i（t）为正脉冲；y和q（t）的对应关系同x、i（t）之间的关系。【
