1、 第四章 四边形综合知识点：一、 平行四边形1、 平行四边形（1）平行四边形定义： （2）平行四边形的性质： 对称性 （3）平行四边形的判定： 2、菱形（1）菱形定义： （2）菱形的性质： 对称性 菱形的面积= （3）菱形的判定： 3、矩形（1）矩形定义： （2）矩形的性质： 对称性 （3）矩形的判定： 4、正方形（1）正方形定义： （2）正方形的性质： 对称性 （3）正方形的判定： 二、梯形梯形的分类： （1）等腰梯形定义： （2）等腰梯形性质： 对称性 （3）等腰梯形的判定： 例题解析：例1、下列说法：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形。 一组对边平行，一组对角相等
2、的四边形是平行四边形。两组对角分别相等的四边形是平行四边形。顺次连结等腰梯形各边中点所得到的四边形是菱形。其中正确的是（ ）（A）.（B）.（C） （D）。例2、已知：如图，在ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AGDB交CB的延长线于G（1）求证：ADECBF；（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论 例3、如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，所围成的四边形EFGH显然是平行四边形（1）当四边形ABCD分别是菱形、矩形、等腰梯形时，相应的平行四边形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你
3、的结论填入下表： 四边形ABCD菱形矩形等腰梯形平行四边形EFGH（2）反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件？例4、如图所示, ABCD中,AE,AF是高,BAE=30,BE=2,CF=1,DE交AF于G.(1)求 ABCD的面积;(2)求ECD的面积;(3)求证:AEG为等边三角形. 例5、矩形ABCD中，AB=2，AD=（1）在边CD上找一点E，使EB平分AEC，并加以说明；（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F求证：点B平分线段AF；PAE能否由PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能
4、，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由ABCPDE例6、如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证： PE=PD ； PEPD；（2）设AP=x, PBE的面积为y.求出y关于x的函数关系式 例7、如图，已知AD与BC相交于E，1=2=3，BD=CD，ADB=90，CHAB于H，CH交AD于F(1)求证：CDAB；(2)求证：BDEACE；(3)若O为AB中点，求证：OF=BEABCDFGEM图1例8、如图1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CGBC），取线段AE的中点M。
5、（1）探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。 DM的延长线交CE于点N，且ADNE； 将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45（如图2），其他条件不变；在的条件下且CF2AD。FMECGADB图3 3（3）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。课后练习：一、 选择题1、下列命题中，正确的是（ ） A一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；B一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；C对角线互相平分且相等的四边形一定是正方形；D两条对角
6、线相等的四边形是矩形2、如果顺次连接四边形各边中点所围成的四边形是矩形，那么原来的四边形一定是（ ）A平行四边形； B梯形； C对角线相等的四边形； D对角线垂直的四边形3、若等腰梯形的对角线互相垂直，且中位线长是10，则它的面积为（ ）A、50 B、100 C、150 D、2004、下列图形中，面积最大的是（ ）A、边长为正方形 B、边长为2，高为1的平行四边形C、对角线长分别为4和1的菱形 D、中位线长为2，高为2的梯形。5、七边形的对角线的条数是（ ） A 10 B 12 C 14 D 166、下列图形中,既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )A 平行四边形 B 等边三角形 C 矩形
7、 D 等腰梯形7、如图5，在梯形ABCD中，ADBC，ACBD，AC=3cm，BD=4cm.作DEAC，交BC的延长线于E，则下列结论:(1) 四边形ACED是平行四边形. （2）BDE=BOC=900; (2) BC+AD=BE=5cm; (4)梯形ABCD的高 DH=2.4cm,面积为 6cm2；（）S梯形ABCD=SBDE.。其中正确的有（ ）A 5个 B 4个 C 3个 D 2个8、如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD，小明从顶点A沿着花坛间小路走到长边中点O，再从中点O走到正方形OCDF的中心O1，再从中心O1走到正方形O1GFH的中心O2，又从中心O2走到正方形O2IHJ的
8、中心O3，再从O3走到正方形O3KJP的中心O4，一共走了31m，则长方形花坛ABCD的周长是（ ）A36m B48m C96cm D60m9、把长为8cm的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，找开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm2，则打开后梯形的周长是（ ）3cm3cmAcmBcmC22cmD18cm10、在梯形ABCD中，ABCD,AC、BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为，AOB的面积为S1，COD的面积为S2，则的值为（ ）A. B. C. D. 二、填空题1、一个多边形内角和为，则它的边数为_，共有对角线_条，外角和为_。2、一个多边形除去一个内角外,
9、其余内角的和为25700,则这个多边形的边数是_.3、如图，是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15cm的可活动的菱形衣架，若墙上钉子间的距离AB=BC=15cm，则1=_ 4如图，矩形ABCD中，O是两对角线交点，AEBD垂足为E。若OE：OD=1：2，AE=cm,则DE= cm.EBCDAF1ABCD E F5、如图，正方形ABCD的边长为1，EF分别在BC、CD上，EAF=45，若CEF的面积为，则EAF的面积为 ABDC6、如图，正方形ABCD，以AB为边分别在正方形内、外作等边ABE、ABF，则CFB=_，若AB=4，则 =_.7、 如图，梯形中，且，分别以为边向梯形外作正方形，其面
10、积分别为，则之间的关系是 ADCEFGB1B33AC2B2C3D3B1D2C18、如图，菱形的边长为1，；作于点，以为一边，做第二个菱形，使；作于点，以为一边做第三个菱形，使；依此类推，这样做的第个菱形的边的长是 9、如图，矩形中，cm，cm，点为边上的任意一点，四边形也是矩形，且，则 BAECDFG10、如图，点A在线段BG上，四边形ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米。则CDE的面积等于 平方厘米三、解答题1、如图,已知:在四边形ABFC中，=90的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE(1) 试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形;(2) 当
11、的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论.2、如图，矩形中，是与的交点，过点的直线与的延长线分别交于（1）求证：；FDOCBEA（2）当与满足什么关系时，以为顶点的四边形是菱形？证明你的结论3、梯形ABCD中，ABCD，E是AD的中点，证明如果AB+CD=BC，则有DEC=90和CE是DCB的平分线如果BEC=90，则有AB+CD=BC若DEC的面积是12，求梯形ADCB的面积ABCDOFE4、如图，平行四边形中，对角线相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于点（1）证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段与总保持相等；（3）在旋转过程中
12、，四边形可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数5、如图甲，四边形ABCD是等腰梯形，ABDC，由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形 （1）求四边形ABCD四个内角的度数； （2）试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由； （3）现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出示意图ABCD6、如图，在与中，相交于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点相交于点（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）（2）证明四边形是菱形；（3）若使四边形是正方形，还需在的边长
13、之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件（不必证明）7、如图，在等腰梯形中，动点从点出发沿以每秒1个单位的速度向终点运动，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动两点同时出发，当点到达点时，点随之停止运动ACQDPB（1）梯形的面积等于 ；（2）当时，点离开点的时间等于 秒；（3）当三点构成直角三角形时，点离开点多少时间？8、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE求证：CECF；在图1中，若G在AD上，且GCE45，则GEBEGD成立吗？为什么？运用解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B90，ABBC12
14、，E是AB上一点，且DCE45，BE4，求DE的长B CA G D FE B CA D E 图2图19、四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D同时出发，沿AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A移动。运动中的四边形PQEF是正方形吗？请说明理由；PE在运动中是否总过某一点？请说明理由是； 边形PQEF的顶点位于何处时，其面积有最大值和最小值？最大值和最小值各是多少？10、在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且ABE30，BEDE，连接BD点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQBD交直线BE于点Q(1) 当点P在线段ED上时（如图1），求证：BEPDPQ； （2）若 BC6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与 x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（8 / 8
