1、2013年中考数学专题复习二次函数与平行四边形例（2012山西）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于AB两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求直线AC的解析式及BD两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线lAC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点AP、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线AC上找一点M，使BDM的周长最小，求出M点的坐标考点：二次函数综合题。解答：解：（1）当y=0时，x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3点A在
2、点B的左侧，AB的坐标分别为（1，0），（3，0）当x=0时，y=3C点的坐标为（0，3）设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k10），则，解得，直线AC的解析式为y=3x+3y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点D的坐标为（1，4） （2）抛物线上有三个这样的点Q，当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，3）；当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1，3）；综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，3），Q3（1
3、，3） （3）点B作BBAC于点F，使BF=BF，则B为点B关于直线AC 的对称点连接BD交直线AC与点M，则点M为所求，过点B作BEx轴于点E1和2都是3的余角，1=2RtAOCRtAFB，由A（1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，AC=，AB=4，BF=，BB=2BF=，由1=2可得RtAOCRtBEB，即BE=，BE=，OE=BEOB=3=B点的坐标为（，）设直线BD的解析式为y=k2x+b2（k20），解得，直线BD的解析式为：y=x+，联立BD与AC的直线解析式可得：，解得，M点的坐标为（，）22（2012宜宾）如图，抛物线y=x22x+c的顶点A在直
4、线l：y=x5上（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点CD（C点在D点的左侧），试判断ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、ABD为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。解答：解：（1）顶点A的横坐标为x=1，且顶点A在y=x5上，当x=1时，y=15=4，A（1，4）（2）ABD是直角三角形将A（1，4）代入y=x22x+c，可得，12+c=4，c=3，y=x22x3，B（0，3）当y=0时，x22x3=0，x1=1，x2=3C（1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=
5、（43）2+12=2，AD2=（31）2+42=20，BD2+AB2=AD2，ABD=90，即ABD是直角三角形（3）存在由题意知：直线y=x5交y轴于点A（0，5），交x轴于点F（5，0）OE=OF=5，又OB=OD=3OEF与OBD都是等腰直角三角形BDl，即PABD则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点C设P（x1，x15），则G（1，x15）则PC=|1x1|，AG=|5x14|=|1x1|PA=BD=3由勾股定理得：（1x1）2+（1x1）2=18，x122x18=0，x1=2，4P（2，7），P（4，1）存在点P（2，7）或P
6、（4，1）使以点ABDP为顶点的四边形是平行四边形25(2012年四川省绵阳市)如图14所示，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（-3，0），M（0，-1）。已知AM=BC。图14图151求二次函数的解析式；2证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；3在2的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N。若直线lBD，如图14所示，试求1/BP+1/BQ的值；若l为满足条件的任意直线。如图15所示，中的结论还
7、成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例。25解：1二次函数y=ax2+1 6 x+c的图象经过点B-3，0，M0，-1，解得a=1/6 ，c=-1。二次函数的解析式为：y=x2/6+x/6-1。2由二次函数的解析式为：y=x2/6+x/6-1，令y=0，得x2/6+x/6-1=0，解得x1=-3，x2=2，C2，0），BC=5；令x=0，得y=-1，M0，-1，OM=1。又AM=BC，OA=AM-OM=4，A0，4。设ADx轴，交抛物线于点D，如图1所示，则yD=x2/6+x/6-1=OA=4，解得x1=5，x2=-6位于第二象限，舍去D点坐标为5，4。AD=BC=5，又ADBC，
8、四边形ABCD为平行四边形。即在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形。设直线BD解析式为：y=kx+b，B-3，0，D5，4，解得：k=1/2 ，b=3/2，直线BD解析式为：y=x/2+3/2。3在RtAOB中，AB=5，又AD=BC=5，ABCD是菱形。若直线lBD，如图14所示.四边形ABCD是菱形，ACBD，AC直线l，BA/BP=BC/BQ=BN/BD=1/2，BA=BC=5，BP=BQ=10，1/BP+1/BQ=1/10+1/10=1/5；若l为满足条件的任意直线，如图15所示，此时中的结论依然成立，理由如下：ADBC，CDAB，PADDCQ，A
9、P/CD=AD/CQ，APCQ=ADCD=55=25。1/BP+1/BQ=（1/AB+AP）+（1/BC+CQ）=（1/5+AP）+（1/5+CQ）=（5+AP+5+CQ）/（5+AP5+CQ）=10+AP+CQ 25+5(AP+CQ)+APCQ =10+AP+CQ/（50+5AP+CQ）=1/5。28(四川成都2012年本小题满分l2分) 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 (为常数)的图象与x轴交于点A(，0)，与y轴交于点C以直线x=1为对称轴的抛物线 ( 为常数，且0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B （1）求的值及抛物线的函数表达式； （2）设E是y轴右侧抛物线上一点，
10、过点E作直线AC的平行线交x轴于点F是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由； （3）若P是抛物线对称轴上使ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于 ，两点，试探究 是否为定值，并写出探究过程解：（1）m=,(2).(3)定值124（二0一二年东营市本题满分11分）已知抛物线经过A（2，0） 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；（2）如图，在直线 y=x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在
11、，请说明理由；APBxyO（第24题图）（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使AMPAMB？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由 24解：（1）由于抛物线经过A（2，0），所以，解得.1分所以抛物线的解析式为. （*）将（*）配方，得，所以顶点P的坐标为（4，-2）2分令y=0，得，解得. 所以点B的坐标是（6，0）. 3分（2）在直线 y=x上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形. 4分理由如下：设直线PB的解析式为+b，把B（6,0）,P(4,-2)分别代入，得 解得APBxyO第24题答案图CMD 所以直线PB的解析式为.5分 又直线OD的解析式为 所以直线PBOD
12、. 6分 设设直线OP的解析式为，把P(4,-2)代入，得 解得.如果OPBD，那么四边形OPBD为平行四边形.7分设直线BD的解析式为，将B(6,0)代入，得0=，所以所以直线BD的解析式为，解方程组得所以D点的坐标为（2,2）8分 （3）符合条件的点M存在.验证如下：过点P作x轴的垂线，垂足为为C，则PC=2，AC=2，由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又AB=4，所以APB是等边三角形，只要作PAB的平分线交抛物线于M点，连接PM,BM,由于AM=AM, PAM=BAM,AB=AP，可得AMPAMB.因此即存在这样的点M,使AMPAMB.11分26.(2012丹东)已知抛物线 与y轴交
13、于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（-1,0），O是坐标原点，且（1）求抛物线的函数表达式； （2）直接写出直线BC的函数表达式；（3）如图1，D为y轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD为边作正方形ODEF.将正方形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与OBC重叠部分的面积为s，运动的时间为t秒（0t2）.求：s与t之间的函数关系式； 在运动过程中，s是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由ABCDEFOxy（4）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的平行
14、四边形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由.yxOBAPC 图1图2第26题图GD1E1F1O1HABCDEFOxy26.解:（1） A（-1,0）, C（0,-3） 1抛物线经过A（-1,0）, C（0,-3） y=x22x3 3（2）直线BC的函数表达式为y=x3 5（3）当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时，设D点的坐标为（m，-2），根据题意得： -2=m-3，m=1 6当0t1时 S1=2t 7 当1t2时S2= =2t = 9当t =2秒时，S有最大值，最大值为 10（4）M 1（，） M2（，） M3（，） M4（， ）14 27（江苏南通2012本小题满分1
15、2分）如图，在ABC中，ABAC10cm，BC12cm，点D是BC边的中点点P从点B出发，以acm/s(a0)的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1cm/s的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts(1)若a2，BPQBDA，求t的值；(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形若a，求PQ的长；是否存在实数a，使得点P在ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质【专题】几何综合题【分析】（1）由ABC中，AB=AC=10厘米
16、，BC=12厘米，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，即可求得BD与CD的长，又由a=2，BPQBDA，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得t的值；（2）首先过点P作PEBC于E，由四边形PQCM为平行四边形，易证得PB=PQ，又由平行线分线段成比例定理，即可得方程5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ，解此方程即可求得答案；首先假设存在点P在ACB的平分线上，由四边形PQCM为平行四边形，可得四边形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程组，解此方程组求得t值为负，故可得不存在【解答】解：（1）ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D是
17、BC的中点，BD=CD=1 2 BC=6cm，a=2，BP=2tcm，DQ=tcm，BQ=BD-QD=6-t（cm），BPQBDA，BP BD =BQ AB ，即2t 6 =6-t 10 ，解得：t=18 13 ；（2）过点P作PEBC于E，四边形PQCM为平行四边形，PMCQ，PQCM，PQ=CM，PB：AB=CM：AC，AB=AC，PB=CM，PB=PQ，BE=1 2 BQ=1 2 （6-t）cm，a=5 2 ，PB=5 2 tcm，ADBC，PEAD，PB：AB=BE：BD，即5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ，解得：t=3 2 ，PQ=PB=5 2 t=15 4 （cm）；不
18、存在理由如下：四边形PQCM为平行四边形，PMCQ，PQCM，PQ=CM，PB：AB=CM：AC，AB=AC，PB=CM，PB=PQ若点P在ACB的平分线上，则PCQ=PCM，PMCQ，PCQ=CPM，CPM=PCM，PM=CM，四边形PQCM是菱形，PQ=CQ，PB=CQ，PB=atcm，CQ=BD+QD=6+t（cm），PM=CQ=6+t（cm），AP=AB-PB=10-at（cm），即at=6+t，PMCQ，PM：BC=AP：AB，6+t 12 =10-at 10 ，化简得：6at+5t=30，把代入得，t=-6 11 ，不存在实数a，使得点P在ACB的平分线上【点评】此题考查了相似三角
19、形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识此题难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用24（株洲市2012年本题满分10分）如图，一次函数分别交y轴、x 轴于A、B两点，抛物线过A、B两点。（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N。求当t 取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标。 备用图24解：（1）易得A（0，2），B（4，0） 1分将x=0,y=2代入 2 分将x=4,y=0代入 3分（2）由题意易得 4分 5分当
20、6 分 （3）、由题意可知，D的可能位置有如图三种情形 7分当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）由AD=MN得，从而D为（0，6）或D（0，-2） 8分当D不在y轴上时，由图可知易得由两方程联立解得D为（4，4） 9分 故所求的D为（0，6），（0，-2）或（4，4） 10分25(湖南郴州2012)如图，已知抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式及对称轴（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理
21、由【答案】解：（1）抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点， ，解得。抛物线的解析式为：，其对称轴为：。（2）由B（2，3），C（0，3），且对称轴为x=1，可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点。如图1所示，连接AC，交对称轴x=1于点M，连接MB，则MAMB=MAMC=AC，根据两点之间线段最短可知此时MAMB的值最小。设直线AC的解析式为y=kxb，A（4，0），C（0，3）， ，解得。直线AC的解析式为：y=x3。令x=1，得y= 。M点坐标为（1，）。（3）结论：存在。如图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意：若BCAP1，此时梯形为ABCP1。由B（2，3），C（0
22、，3），可知BCx轴，则x轴与抛物线的另一个交点P1即为所求。在中令y=0，解得x1=-2，x2=4。P1（2，0）。P1A=6，BC=2，P1ABC。四边形ABCP1为梯形。若ABCP2，此时梯形为ABCP2。设CP2与x轴交于点N，BCx轴，ABCP2，四边形ABCN为平行四边形。AN=BC=2。N（2，0）。设直线CN的解析式为y=k1x+b1，则有： ，解得。直线CN的解析式为：y=x+3。点P2既在直线CN：y=x+3上，又在抛物线：上，x+3=，化简得：x26x=0，解得x1=0（舍去），x2=6。点P2横坐标为6，代入直线CN解析式求得纵坐标为6。P2（6，6）。ABCN，AB=
23、CN，而CP2CN，CP2AB。四边形ABCP2为梯形。综上所述，在抛物线上存在点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形，点P的坐标为（2，0）或（6，6）。25(2012年孝感12分)如图，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于点A(1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)P为线段BD上的一个动点，过点P作PMx轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标；(3)点Q是抛物线第一象限上的一个动点，过点Q作QNAC交x轴于点N当点Q的坐标为 时，四边形QNAC是平行四边形； (直接写出结果，不写求解过程)24（2
24、012恩施州）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N其顶点为D（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；考点：二次函数综合题。分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式；（2）根据两点之间线段最短作N点关于直线x=3的
25、对称点N，当M（3，m）在直线DN上时，MN+MD的值最小；（3）需要分类讨论：当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）和当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x1），然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标；（4）方法一：过点P作PQx轴交AC于点Q；过点C作CGx轴于点G，如图1设Q（x，x+1），则P（x，x2+2x+3）根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=x2+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式知SAPC=（x）2+，所以由二次函数的最值的求法可知APC的面积的最大值；方法二：过点P作PQx轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C
26、作CGx轴于点G，如图2设Q（x，x+1），则P（x，x2+2x+3）根据图示以及三角形的面积公式知SAPC=SAPH+S直角梯形PHGCSAGC=（x）2+，所以由二次函数的最值的求法可知APC的面积的最大值；解答：解：（1）由抛物线y=x2+bx+c过点A（1，0）及C（2，3）得，解得，故抛物线为y=x2+2x+3又设直线为y=kx+n过点A（1，0）及C（2，3）得，解得故直线AC为y=x+1；（2）作N点关于直线x=3的对称点N，则N（6，3），由（1）得D（1，4），故直线DN的函数关系式为y=x+，当M（3，m）在直线DN上时，MN+MD的值最小，则m=；（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）点E在直线AC上，设E（x，x+1），当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），F在抛物线上，x+3=x2+2x+3，
