1、5函数及其图像知识点归纳一变量与函数1 函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。2自变量的取值范围：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。二平面直角坐标系：1各象限内点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一象限x0,y0. p（+,+）（2）点p（x,y）在第二象限x0,y0. p（-,+）（3）点p（x,y）在第三象限x0,y0 p（-,-）（4）点p（x,y）在第四象限x0,y0. p（+,-）2 坐标轴上的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在x轴上x为
2、任意实数，y=0 ,p（x,0）（2）点p（x,y）在y轴上x=0,y为任意实数 p（0,y）3 关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）.（2）点p（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）.（3）点p（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y）6点到坐标轴及原点的距离：（1）点p（x,y）到x轴的距离为 y.（2）点p（x,y）到y轴的距离为x.（3）点p（x,y）到原点的距离为三函数的图像判断点px,y是否在函数图像上的方法，将这个点的坐标 x,y代入函数关系式，如果满足函数关系式，那么这个点就在函数的图像上，如果不满足函
3、数关系式，那么，这个点就不在函数的图像上。四一次函数（一） 一次函数的定义1定义:含有自变量的式子为一次整式，即形如式子ykx+b(其中k和b为常数，k0)叫做一次函数。正比例函数：在一次函数y=kx+b中如果b=0即变为y=kx(其中k0)，这样的函数叫做正比例函数。2注意：（1）一次函数解析式y=kx+b的结构特征： k0 x的次数是1 常数b为任意实数（3）正比例函数解析式y=kx的结构特征 k0 x的次数是1 常数b=03说明：在y=kx+b中若k=0则y=bb为常数这样的函数叫做常数函数，它不是一次函数。4正比例函数与一次函数的关系：正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数
4、。一次函数y=kx+b，当b=0时为正比例函数一次函数y=kx+b，当b0时一般的一次函数（二） 一次函数的图像1一次函数图像的形状：一次函数y=kx+b的图像是一条直线，通常称为直线y=kx+b正比例函数y=kx的图像也是一条直线，称为直线y=kx2一次函数图像的主要特点:一次函数y=kx+b的图像经过点0，b的直线，正比例函数y=kx+b的图像是经过原点0，0的直线注意：点0，b是直线y=kx+b与y轴的交点。 当b0时，此时交点在y轴的正半轴上， 当b0时，此时交点在y轴的负半轴上， 当b=0时，此时交点在原点，这时的一次函数就是正比例函数。3一次函数图像的画法： 根据两点能画一条直线并
5、且只能画一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图像时，只要先描出两点，在连成直线即可。两点为0，b与-,04直线y=kx+b与坐标轴的交点（1） 令x=0,则y=b所以直线y=kx+b与y轴的交点坐标为0，b（2） 令y=0,则kx+b=0所以x=-所以直线y=kx+b与x轴的交点坐标为-,0注意：此时直线y=kx+b与x轴，y轴围成的三角形面积S=-b5两直线在直角坐标系内的位置关系:（1）两直线的解析式中当k相同时，其位置关系是平行，其中一条直线可以看作是另一条平移得到的，平移规律是“左减右加，上加下减”（2）两直线的解析式中当b相同时，其位置关系是相交，交点坐标为0，b.（三）一
6、次函数的性质1正比例函数的性质（1）当k0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大，直线y=kx从左到右上升。（2）当k0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小，直线y=kx从左到右下降。2一次函数y=kx+b的性质（1）当k0时，直线y=kx+b从左到右上升，此时y随x的增大而增大。（2）当k0时，直线y=kx+b从左到右下降，此时y随x的增大而减小。（3）当b0时，直线y=kx+b与y轴正半轴相交。（4）当b0时，直线y=kx+b与y轴负半轴相交。3直线y=kx+b的位置与k、b的符号之间的关系有六种情况：当k0，b0时，直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限；当k0，b0时，
7、直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限；当k0， b0时，直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限；当k0，b0时，直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限；当k0，b=0时，直线经过第一、三象限；当k0，b=0时，直线经过第二、四象限。（四）正比例函数与一次函数解析式的确定1确定一个正比例函数就是要确定正比例函数解析式y=kxk0中的常数k;确定一个一次函数需要确定一次函数解析式一般形式y=kx+bk0中的常数k和b,解这类问题的一般方法是待定系数法。2用待定系数法求函数解析式的一般步骤：（1）设出含有待定系数的解析式；（2）把已知条件自变量与函数的对应值代入解析式，得到关于待定系数的方程
8、或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数；（4）将求得的待定系数的值代回所设的解析式。注意：通常正比例函数解析式设y=kx，只有一个待定系数k，一般只需一对x与y的对应值即可；一次函数解析式设y=kx+b，其中有两个待定系数k和b，因而需要两对x与y的对应值，才能求出k和b的值。五反比例函数（一）反比例函数定义1一般的，函数y=k是常数，k0叫做反比例函数，反比例函数的解析式也可以写成y=kx-1的形式，其中k叫做比例系数。2反比例函数解析式的主要特征：（1）等号左边是函数y,右边是一个分式，分子是不为零的常数k,分母中含有自变量x,且x的指数是1，若写成y=kx-1的形式，则x的指数是-
9、1。（2）比例系数“k0”是反比例函数定义的重要组成部分。（3）自变量x的取值范围是x0的一切实数。（二）反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，关于原点成中心对称，它的图像与x轴和y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。（三）反比例函数的性质1当k0时，图像在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内y随x的增大而减小。2当k0时，图像在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内y随x的增大而增大。（四）反比例函数解析式的确定确定解析式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数y=中只有一个待定系数，因此只需要一对x与y
10、的对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。（五）反比例函数y=k0中的比例系数k的几何意义 1过双曲线上一点作x轴、y轴的垂线PM、PN,所得矩形PMON面积为|k|。2连结PO,则SPOM=S矩形=|k|。六 函数的应用1利用图像比较两个函数值的大小 在同一直角坐标系中的两个函数图像，如果其中一个函数的图像在另一个函数图像的上方，则该函数值就比另一个函数值大，若在下方，则该函数值就比另一个函数值小，而其交点的横坐标就是分界点。2两个一次函数图像的交点与二元一次方程组的关系 如果两个一次函数的图像相交，则交点坐标必定同时满足两个函数解析式，故交点坐标是有两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。3一次函数与方程、不等式的关系（1）一次函数y=kx+b的图像与x轴的交点的纵坐标等于0，反映在函数解析式就是函数值等于0，则其横坐标也就是自变量的值为方程kx+b=0的解。（2）一次函数y=kx+b在x轴上方的图像，任意一点的纵坐标都大于0，反映在函数解析式就是函数值y0，则对应的横坐标，也就是自变量的值即为不等式kx+b0的解集。（3）一次函数y=kx+b在x轴下方的图像，任意一点的纵坐标都小于0，反映在函数解析式就是函数值y0，则对应的横坐标，也就是自变量的值即为不等式kx+b0的解集。5
