1、第18章勾股定理易错题集（01）：18.1 勾股定理选择题1（2008枣庄）如图，点A的坐标为（1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）A（0，0）B（，）C（，）D（，）2（2009福建模拟）以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（）A2（）10厘米B2（）9厘米C2（）10厘米D2（）9厘米3（2009滨州）已知ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A21B15C6D以上答案都不对4（2009春丽水期末）在ABC中，AB=15，AC=1
2、3，BC上的高AD长为12，则ABC的面积为（）A84B24C24或84D42或845（2014黄冈模拟）直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（）A10B2C10或2D无法确定6（2014春江西期末）如图所示，AB=BC=CD=DE=1，ABBC，ACCD，ADDE，则AE=（）A1BCD27（2007秋莆田校级期末）若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则满足此三角形的x值为（）A5BC5或D没有8（2011秋海口校级月考）已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（）A5cmBcmC5cm或cmDcm9（2008春淮北校级期中）已知RtABC中的三边长
3、为a、b、c，若a=8，b=15，那么c2等于（）A161B289C225D161或28910（2009秋姜堰市期中）一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（）A12B13C16D1811（2009秋犍为县期中）已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（）A不能确定BC17D17或12（2011秋金华期中）在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，若A：B：C=1：2：3则a：b：c=（）A1：2B：1：2C1：1：2D1：2：313（2008秋重庆校级月考）直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A12厘米B
4、15厘米C12或15厘米D12或（7+）厘米14（2008江西校级模拟）已知ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）A2n2B2n1C2nD2n+115（2009铁岭）将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）ABCD填空题16（2001甘肃）等边三角形ABC的边长是4，以AB边所在的直线为x轴，AB边的中点为原点，建立直角坐标系，则顶点C的坐标为17（2012春杭州期中）如图，点
5、A是直线y=2x+3上的动点，过点A作AB垂直x轴于点B，y轴上存在点C，能使以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形请写出所有符合条件的点C的坐标18（2009泸州）如图，在边长为1的等边ABC中，中线AD与中线BE相交于点O，则OA长度为19（2006深圳）在ABC中，AB边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则ABC的面积为20（2008秋开化县校级月考）如图，RtABC中，ACB=90，CDAB，DEAC，则图中共有个直角三角形21（2010淄博）如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出以格点为端点、长度为的线段条22（20
6、09贵阳）已知直角三角形的两条边长为3和4，则第三边的长为23（2008安顺）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A2的边长为6cm，正方形B的边长为5cm，正方形C的边长为5cm，则正方形D的面积是cm224（2012秋慈溪市校级月考）若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则使此三角形是直角三角形的x的值是25（2014秋栖霞市期末）已知，那么以a、b为边长的直角三角形的第三边长为26（2013秋林甸县校级期中）已知直角三角形的三边长为6，8，x，则以x为边长的正方形的面积为27（2010秋松江区期末）已知一个直角三角形的两边长分
7、别为5cm和12cm，则第三边为28（2011苏州二模）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为29（2009春潮阳区校级月考）如图，要将楼梯铺上地毯，则需要米的地毯30（2008春滁州校级期中）有一个三角形的两条边长分别为3、4，要使三角形为直角三角形，则第三边为第18章勾股定理易错题集（01）：18.1 勾股定理参考答案与试题解析选择题1（2008枣庄）如图，点A的坐标为（1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）A（0，0）B（，）C（，）D（，）【考点】坐标与图形性质；垂线段最短；等腰直角三角形菁优网版权所有【专题】计算
8、题【分析】线段AB最短，说明AB此时为点A到y=x的距离过A点作垂直于直线y=x的垂线AB，由题意可知：AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴垂足为C，则点C为OA的中点，有OC=BC=，故可确定出点B的坐标【解答】解：过A点作垂直于直线y=x的垂线AB，点B在直线y=x上运动，AOB=45，AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴垂足为C，则点C为OA的中点，则OC=BC=作图可知B在x轴下方，y轴的右方横坐标为正，纵坐标为负所以当线段AB最短时，点B的坐标为（，）故选：B【点评】动手操作很关键本题用到的知识点为：垂线段最短2（2009福建模拟）以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二
9、个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（）A2（）10厘米B2（）9厘米C2（）10厘米D2（）9厘米【考点】等边三角形的性质；勾股定理菁优网版权所有【专题】压轴题；规律型【分析】根据正三角形的三线合一以及勾股定理，得正三角形的高是边长的倍以此类推，则第十个正三角形的边长是第一个正三角形的倍，即选D【解答】解：ABC是正三角形，AB=AC=BC=2AD=第十个正三角形的边长是第一个正三角形的倍即：2故选D【点评】熟练运用勾股定理和等腰三角形的三线合一性质找到等边三角形的高和边长之间的关系，进一步推而广之3（2009滨州）已知ABC中，AB=1
10、7，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A21B15C6D以上答案都不对【考点】勾股定理菁优网版权所有【专题】压轴题；分类讨论【分析】高线AD可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论分别依据勾股定理即可求解【解答】解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得BD=15；在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得CD=6当AD在三角形的内部时，BC=15+6=21；当AD在三角形的外部时，BC=156=9则BC的长是21或9故选D【点评】当涉及到有关高的题目时，注意由于高的位置可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，所以要注意考虑多种情况4（2009春丽水期末
11、）在ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则ABC的面积为（）A84B24C24或84D42或84【考点】勾股定理菁优网版权所有【专题】分类讨论【分析】由于高的位置是不确定的，所以应分情况进行讨论【解答】解：（1）ABC为锐角三角形，高AD在ABC内部BD=9，CD=5ABC的面积为（9+5）12=84；（2）ABC为钝角三角形，高AD在ABC外部方法同（1）可得到BD=9，CD=5ABC的面积为（95）12=24故选C【点评】本题需注意当高的位置是不确定的时候，应分情况进行讨论5（2014黄冈模拟）直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（）A10B2C10或2D无
12、法确定【考点】勾股定理菁优网版权所有【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即较长是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解【解答】解：长为8的边可能为直角边，也可能为斜边当8为直角边时，根据勾股定理，第三边的长=10；当8为斜边时，根据勾股定理，第三边的长=2故选C【点评】此题易忽视的地方：长为8的边可能为直角边，也可能为斜边6（2014春江西期末）如图所示，AB=BC=CD=DE=1，ABBC，ACCD，ADDE，则AE=（）A1BCD2【考点】勾股定理菁优网版权所有【分析】根
13、据勾股定理进行逐一计算即可【解答】解：AB=BC=CD=DE=1，ABBC，ACCD，ADDE，AC=；AD=；AE=2故选D【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方7（2007秋莆田校级期末）若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则满足此三角形的x值为（）A5BC5或D没有【考点】勾股定理菁优网版权所有【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4，既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解【解答】解：设第三边为x（1）若
14、4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得32+42=x2，所以x=5（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得32+x2=42，所以x=所以第三边的长为5或故选C【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解8（2011秋海口校级月考）已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（）A5cmBcmC5cm或cmDcm【考点】勾股定理菁优网版权所有【专题】分类讨论【分析】分4为直角边和斜边两种情况利用勾股定理求解【解答】解：当3和4是直角边时，第三边是=5；当4是斜边时，第三边是=
15、故选C【点评】考查分类讨论思想，熟练运用勾股定理9（2008春淮北校级期中）已知RtABC中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c2等于（）A161B289C225D161或289【考点】勾股定理菁优网版权所有【专题】分类讨论【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即较长是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解【解答】解：当b是直角边时，根据勾股定理得c2=22564=161；当b是斜边时，根据勾股定理得c2=225+64=289故选D【点评】本题考查了利用勾股定理解直
16、角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解10（2009秋姜堰市期中）一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（）A12B13C16D18【考点】勾股定理；等腰三角形的性质菁优网版权所有【分析】首先根据勾股定理和等腰三角形的性质，确定出底边的长，进而求出其周长【解答】解：如图，作高AD，ABC中，AB=AC=5，ADBC，AD=4；RtABD中，AB=5，AD=4；根据勾股定理，得：BD=3；BC=2BD=6；所以ABC的周长=5+5+6=16；故选C【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用11（2009
17、秋犍为县期中）已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（）A不能确定BC17D17或【考点】勾股定理菁优网版权所有【分析】根据勾股定理的内容，两直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况进行解答【解答】解：分两种情况进行讨论：两直角边分别为8，15，由勾股定理得第三边应该为=17，一直角边为8，一斜边为15，由勾股定理得第三边应该为=，故选D【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解12（2011秋金华期中）在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，若A：B：C=1：2：3则a：b：
18、c=（）A1：2B：1：2C1：1：2D1：2：3【考点】勾股定理；三角形内角和定理菁优网版权所有【分析】先根据A：B：C=1：2：3，求出三个角的度数，然后根据直角三角形的性质进行解答即可【解答】解：若A：B：C=1：2：3，则根据三角形的内角和定理，得A=30，B=60，C=90设a=x，根据30所对的直角边是斜边的一半，得c=2x，再根据勾股定理，得b=x，则a：b：c=1：2故选A【点评】熟记30的直角三角形的三边比是1：213（2008秋重庆校级月考）直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A12厘米B15厘米C12或15厘米D12或（7+）厘米【考点】勾
19、股定理菁优网版权所有【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解【解答】解：设第三边为x（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得32+42=x2，所以x=5周长为：3+4+5=12厘米；（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得32+x2=42，所以x=，周长为：3+4+=7+厘米故选D【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解14（
20、2008江西校级模拟）已知ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）A2n2B2n1C2nD2n+1【考点】等腰直角三角形菁优网版权所有【专题】规律型【分析】根据ABC是边长为1的等腰直角三角形分别求出RtABC、RtACD、RtADE的面积，找出规律即可【解答】解：ABC是边长为1的等腰直角三角形，SABC=11=212；AC=，AD=2，SACD=1=222；SADE=22=1=232第n个等腰直角三角形的面积是2n2故选A【点评】此题属规律性
21、题目，解答此题的关键是分别计算出图中所给的直角三角形的面积，找出规律即可15（2009铁岭）将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）ABCD【考点】剪纸问题；等腰直角三角形菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解结合实际操作解题【解答】解：拿一张纸具体剪一剪，结果为A故选A【点评】本题着重考查学生对立体图形与平面展开图形之间的转换能力，与课程标准中“能以实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状”的要求相一致，充分体现了实践操作性原则要注意空间想象，哪一个平面展开图对面图案都
22、相同填空题16（2001甘肃）等边三角形ABC的边长是4，以AB边所在的直线为x轴，AB边的中点为原点，建立直角坐标系，则顶点C的坐标为（0，2）或（0，2）【考点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；勾股定理菁优网版权所有【分析】由题意知，点C是y轴上，且AOC是直角三角形，故可由勾股定理可求得OC的长【解答】解：由已知可得，OC=2，则顶点C的坐标为（0，2），（0，2）故本题答案为：（0，2），（0，2）【点评】此题实质是求等边三角形的高，可根据勾股定理求得17（2012春杭州期中）如图，点A是直线y=2x+3上的动点，过点A作AB垂直x轴于点B，y轴上存在点C，能使以A、B、C为顶点的三
23、角形是等腰直角三角形请写出所有符合条件的点C的坐标（0，1）、（0，0）、（0，3）、（0，）【考点】一次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形菁优网版权所有【专题】动点型【分析】等腰直角三角形可以以A、B、C任意一个为直角顶点，所以分三种情况讨论以A为直角顶点时AB=AC，以B为直角顶点时，由于ABx轴，所以C点为原点，以C为顶点时，AC=BC，因A在直线上，ABx轴，C在y轴，可列方程求得C点的坐标【解答】解：以A、B、C为顶点的等腰直角三角形分为以A为直角顶点，以B为直角顶点，以C为直角顶点三种情况设A（x，y），B（x，0），C（0，c），（1）以A为直角顶点，则AB、AC为等腰的两条
24、边，若y=x=c由A在直线y=2x+3得：x=2x+3x=1，y=1故得C（0，1）若y=x=c的情况，x=2x+3，解得x=3，C的坐标为（0，3）（2）以B为直角，则AB，BC为等腰的两条边，C（0，0）（3）以C为直角，则AC，BC为等腰的两条边，此时y2=2（x2+c2），（yc）2+x2=x2+c2，又y=2x+3，联立解得：c=故得C（0，）综上所诉：C的所有可能值为（0，1）（0，0）（0，3）（0，）【点评】本题考查的是思维的紧密性及直线和等腰直角三角形的有关知识，考虑问题一定要全面，分类讨论18（2009泸州）如图，在边长为1的等边ABC中，中线AD与中线BE相交于点O，则O
25、A长度为【考点】等边三角形的性质；勾股定理菁优网版权所有【分析】根据等边三角形三线合一的特点及直角三角形的性质解答即可【解答】解：ABC是等边三角形，AD、BE为中线；BD=AE=，ABE=BAD=30，AEB=ADB=90；AD=BE=ABsin60=；在RtBOD中，BD=，DBO=30；OD=BDtan30=；OA=ADOD=故OA的长度为【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟知等边三角形三线合一的性质19（2006深圳）在ABC中，AB边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则ABC的面积为7【考点】直角三角形的性质；勾股定理菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】本题考查三角形的
26、中线定义，根据条件先确定ABC为直角三角形，再求得ABC的面积【解答】解：如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，CD=3，AB=6，AD=DB=3，CD=AD=DB，1=2，3=4，1+2+3+4=180，1+3=90，ABC是直角三角形，AC2+BC2=AB2=36，又AC+BC=8，AC2+2ACBC+BC2=64，2ACBC=64（AC2+BC2）=6436=28，又SABC=ACBC，SABC=7【点评】熟练运用三角形的中线定义以及综合分析、解答问题的能力关键要懂得：在一个三角形中，如果获知一条边上的中线等于这一边的一半，那么就可考虑它是一个直角三角形，通过等腰三角形的性质和内角和定
27、理来证明一个三角形是直角三角形20（2008秋开化县校级月考）如图，RtABC中，ACB=90，CDAB，DEAC，则图中共有5个直角三角形【考点】直角三角形的性质；三角形内角和定理菁优网版权所有【分析】根据直角三角形的判定定理判定进行分析即可直角三角形有ADE；ADC；ABC；CDE；CBD【解答】解：ACB=90，CDAB，DEAC，ABC，ADC，CDB，CED，AED为直角三角形，共有五个直角三角形【点评】本题考查了直角三角形的判定定理：有一个角是直角的三角形是直角三角形21（2010淄博）如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出以格点为端点、长度为的线段8条【考点】勾股定理菁优网版权所有【分析】如图，由于每个小正方形的边长为1，那么根据勾股定理容易得到长度为的线段，然后可以找出所有这样的线段【解答】解：如图，所有长度为的线段全部画出，共有8条【点评】此题是一个探究试题，首先探究如何找到长度为的线段，然后利用这个规律找出所有这样的线段22（2009贵阳）已知直角三角形
