1、3 mglkl 4 mg【点睛】当物体相对于接触物体刚要滑动时，静摩擦力达到最大，这是经常用到的临界条件本题关键是分析物体的受力情况2 如图，光滑轨道abcd 固定在竖直平面内，ab水平，bcd 为半圆，在b 处与ab 相切在直轨道 ab 上放着质量分别为绳将 A、 B 连接在一起，且mA=2kg、 mB=1kg 的物块 A、 B（均可视为质点），用轻质细A、 B 间夹着一根被压缩的轻质弹簧（未被拴接），其弹性势能Ep=12J轨道左侧的光滑水平地面上停着一质量M =2kg、长L=0.5m的小车，小车上表面与ab 等高现将细绳剪断，之后 A 向左滑上小车，点 d 处已知 A 与小车之间的动摩擦因
2、数 满足B 向右滑动且恰好能冲到圆弧轨道的最高0.1 ，0.3g 取 10m/ s2，求（1） A、 B 离开弹簧瞬间的速率 vA 、vB；（2）圆弧轨道的半径 R；（3） A 在小车上滑动过程中产生的热量Q（计算结果可含有 ）（ 1） 4m/s（ 2） 0.32m（3） 当满足 0.1 0时.2 ， Q1=10 ； 当满足 0.2 0.3时， 1 mAv121 （mA M ） v22（1）弹簧恢复到自然长度时，根据动量守恒定律和能量守恒定律求解两物体的速度；（2）根据能量守恒定律和牛顿第二定律结合求解圆弧轨道的半径 R；（3）根据动量守恒定律和能量关系求解恰好能共速的临界摩擦力因数的值，然后
3、讨论求解热量 Q.（1）设弹簧恢复到自然长度时A、 B的速度分别为vAB、 v ， 由动量守恒定律：0= mAvAmBvB 由能量关系： EP = 1 mA vA21 mB vB2解得 vA=2m/s ；vB=4m/s（2）设B 经过 d 点时速度为 vd，在 d 点：mB g mBvd2R由机械能守恒定律：1 mB vB2 = 1 mBvd2mB g 2R解得 R=0.32m（3）设 =1v,由动量守恒定律：时 A 恰好能滑到小车左端，其共同速度为mA vA =（mA M ）v 由能量关系：1mA gL1 mA vA21 mA M v2解得1=0.2讨论：（）当满足 0.1 0时.2， A
4、和小车不共速， A 将从小车左端滑落，产生的热量为Q1 mA gL 10 （J）（）当满足0.2时，0.A3 和小车能共速，产生的热量为Q11 mA v121mA M v2 ，解得 Q2=2J3 如图所示，粗糙水平地面与半径为 R=0.4m 的粗糙半圆轨道 BCD相连接，且在同一竖直平面内， O 是 BCD的圆心， BOD 在同一竖直线上质量为 m=1kg 的小物块在水平恒力F=15N 的作用下，从 A 点由静止开始做匀加速直线运动，当小物块运动到 B 点时撤去 F，小物块沿半圆轨道运动恰好能通过 D 点，已知 A、 B 间的距离为 3m ，小物块与地面间的动摩擦因数为 0.5，重力加速度 g
5、 取 10m/s 2求：（1）小物块运动到 B 点时对圆轨道 B 点的压力大小（2）小物块离开 D 点后落到地面上的点与 D 点之间的距离（ 1） 160N（ 2）0.8 2 m（1）小物块在水平面上从 A 运动到 B 过程中，根据动能定理，有：（F-mg） xAB= 1 mvB2-0在 B 点，以物块为研究对象，根据牛顿第二定律得：N mg m vB2联立解得小物块运动到B 点时轨道对物块的支持力为： N=160N由牛顿第三定律可得，小物块运动到 B 点时对圆轨道 B 点的压力大小为： N=N=160N（2）因为小物块恰能通过 D 点，所以在 D 点小物块所受的重力等于向心力，即：mg mv
6、D2可得： vD=2m/s设小物块落地点距 B 点之间的距离为 x，下落时间为 t，根据平抛运动的规律有：x=vDt ，2R= 1 gt2 x=0.8m则小物块离开 D 点后落到地面上的点与 D 点之间的距离 l 2x 0.8 2m4 如图所示， BC为半径 r2 m 竖直放置的细圆管， O 为细圆管的圆心，在圆管的末5端 C 连接倾斜角为45、动摩擦因数 0.6 的足够长粗糙斜面，一质量为m 0.5kg 的小球从 O 点正上方某处A 点以 v0水平抛出，恰好能垂直 OB 从 B 点进入细圆管，小球过C 点时速度大小不变，小球冲出C 点后经过9s 再次回到 C点。（ g 10m/s2 ）求：8
7、（1）小球从 O 点的正上方某处 A 点水平抛出的初速度 v0 为多大？（2）小球第一次过 C 点时轨道对小球的支持力大小为多少？（3）若将 BC段换成光滑细圆管，其他不变，仍将小球从 A 点以 v0 水平抛出，且从小球进入圆管开始对小球施加了一竖直向上大小为 5N 的恒力，试判断小球在 BC段的运动是否为匀速圆周运动，若是匀速圆周运动，求出小球对细管作用力大小；若不是匀速圆周运动则说明理由。（ 1） 2m/s （2） 20.9N（ 3） 5 2 N（1）小球从 A 运动到 B 为平抛运动，有： rsin45 v0tgt在B 点有： tan45 v0解以上两式得： v0 2m/s（2）由牛顿第
8、二定律得：小球沿斜面向上滑动的加速度：mgsin45mgcos45gsin45 +gcos45 82 m/s 2a1m小球沿斜面向下滑动的加速度：gsin45 gcos45 2a2设小球沿斜面向上和向下滑动的时间分别为t 1、 t 2，由位移关系得：122 2 2a t又因为： t1+t 2s t1s， t 284小球从 C 点冲出的速度： vC a1t1 3 2 m/s在 C 点由牛顿第二定律得：N mg m vC2r N 20.9N（3）在 B 点由运动的合成与分解有： vB2 m/ssin45因为恒力为 5N 与重力恰好平衡，小球在圆管中做匀速圆周运动。设细管对小球作用力大小为 F由牛顿
9、第二定律得： Fm vB2 F 5 2 N由牛顿第三定律知小球对细管作用力大小为5 2 N，5 如图所示，一根长为0.1 m的细线，一端系着一个质量是0.18kg 的小球，拉住线的另一端，使球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，当小球的转速增加到原转速的 3 倍时，细线断裂，这时测得线的拉力比原来大 40 N求：（1）线断裂的瞬间，线的拉力；（2）这时小球运动的线速度；（3）如果桌面高出地面 0.8 m，线断裂后小球沿垂直于桌子边缘的方向水平飞出去落在离桌面的水平距离（ 1）线断裂的瞬间，线的拉力为 45N；（2）线断裂时小球运动的线速度为5m/s ；（3）落地点离桌面边缘的水平距离 2m【解析
10、】（1） 小球在光滑桌面上做匀速圆周运动时受三个力作用 ;重力 mg 、桌面弹力 FN 和细线的拉力F,重力 mg 和弹力 FN 平衡，线的拉力提供向心力，有：FN=F=m 2R，设原来的角速度为0,线上的拉力是 F0,加快后的角速度为 ,线断时的拉力是 F1，则有：F1:F0=2: 02 =9:1，又F1=F0+40N，所以 F0=5N,线断时有： F =45N.（2） 设线断时小球的线速度大小为v,由 F1v2，= m代入数据得： v=5m/ s.（3） 由平抛运动规律得小球在空中运动的时间为：2h0.8t=s =0.4s，10则落地点离桌面的水平距离为：x=vt=50.4=2m.6 如图
11、所示，光滑水平面 AB 与竖直面内的半圆形导轨在 B 点相接，导轨半径为 R一个质量为 m 的物体将弹簧压缩至 A 点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，当它经过 B 点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的 7 倍，之后向上运动恰能完成半个圆周运动到达 C 点试求：（1）弹簧开始时的弹性势能（2）物体从 B 点运动至 C 点克服阻力做的功（3）物体离开 C 点后落回水平面时的速度大小【答案】 （1）3mgR （2）0.5mgR （3） 5 mgR试题分析：（ 1）物块到达 B 点瞬间，根据向心力公式有：弹簧对物块的弹力做的功等于物块获得的动能，所以有（2）物块恰能到达 C
12、点，重力提供向心力，根据向心力公式有：所以：物块从 B 运动到 C，根据动能定理有：（3）从 C点落回水平面，机械能守恒，则：考点：本题考查向心力，动能定理，机械能守恒定律点评：本题学生会分析物块在 B 点的向心力，能熟练运用动能定理，机械能守恒定律解相关问题7 如图甲所示，轻质弹簧原长为 2L，将弹簧竖直放置在水平地面上，在其顶端将一质量为 5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为L现将该弹簧水平放置，如图乙所示一端固定在A 点，另一端与物块 P接触但不连接 AB是长度为 5L 的水平轨道，端与半径为L的光滑半圆轨道相切，半圆的直径在竖直方向上物块P与ABBCDBD间的动摩擦因
13、数0.5，用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度为L 处，然后释放P，P开始沿轨道运动，重力加速度为（1）求当弹簧压缩至长度为L 时的弹性势能Ep ；（2）若 P的质量为 m ，求物块离开圆轨道后落至AB上的位置与 B点之间的距离；（3）为使物块 P 滑上圆轨道后又能沿圆轨道滑回，求物块P 的质量取值范围（1）EPmgL（2）S 22L（3）M（1）由机械能守恒定律可知：弹簧长度为L 时的弹性势能为（2）设 P到达 B 点时的速度大小为 ，由能量守恒定律得：设 P 到达 D点时的速度大小为 ，由机械能守恒定律得：物体从 D点水平射出，设 P 落回到轨道 AB所需的时间为S2 2L（3）设 P的质量
14、为 M，为使 P能滑上圆轨道，它到达 B 点的速度不能小于零得 5mgL4 MgL5 m要使 P 仍能沿圆轨道滑回，P 在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C，得1 MvB2MgLEp 1 Mv B2 4 MgL8 游乐场正在设计一个全新的过山车项目，设计模型如图所示， AB 是一段光滑的半径为R 的四分之一圆弧轨道，后接一个竖直光滑圆轨道，从圆轨道滑下后进入一段长度为 L 的BD，最后滑上半径为R 圆心角粗糙水平直轨道60 的光滑圆弧轨道 DE现将质量为 m的滑块从 A 点静止释放，通过安装在竖直圆轨道最高点C 点处的传感器测出滑块对轨道压力为 mg，求 ：（1）竖直圆轨道的半径 r （
15、2）滑块在竖直光滑圆弧轨道最低点B 时对轨道的压力（3）若要求滑块能滑上DE 圆弧轨道并最终停在平直轨道上（不再进入竖直圆轨道），平直轨道 BD 的动摩擦因数需满足的条件【答案】 （1） R （ 2）7mg（ 3） R（1）对滑块，从 A 到 C 的过程，由机械能守恒可得：mg（ R 2r ） 1 mvC22mg m vC2 r；（2）对滑块，从 A 到 B 的过程，由机械能守恒可得：mgR1 mvB2在 B 点，有：N mg m vB滑块在 B 点受到的支持力N=7mg；由牛顿第三定律可得，滑块在 B 点对轨道的压力NN 7mg ，方向竖直向下 ；（3）若滑块恰好停在 D 点，从 B 到 D
16、 的过程，由动能定理可得：1mgLmvB2若滑块恰好不会从 E 点飞出轨道，从 B 到 E 的过程，由动能定理可得：2 mgL mgR（1 cos ）若滑块恰好滑回并停在 B 点，对于这个过程，由动能定理可得：3mgR R综上所述 ， 需满足的条件： 2L L9 一个同学设计了一种玩具的模型如图所示，该模型由足够长的倾斜直轨道 AB 与水平直轨道 BC平滑连接于 B 点，水平直轨道与圆弧形轨道相切于 C 点，圆弧形轨道的半径为 R、直径 CD竖直， BC=4R。将质量为 m 的小球在 AB 段某点由静止释放，整个轨道均是光滑的。要使小球从 D 点飞出并落在水平轨道上，重力加速度取 g，求：（1
17、）释放点至水平轨道高度的范围；（2）小球到达 C 点时对轨道最大压力的大小。【答案】 （1）5R h 4R （2） 3mg（1）小球恰能通过 D 点时，释放点高度最小mg=m vD2A 到 D，根据机械能守恒定律： mgh1 =mg 2R+mvD25R联立得 h1=小球从 D 点飞出后恰好落在 B 点时，释放点高度最大2R= 1 at 24R=vD2t mgh2 =mg 2R+ 1 mvD2 2联立得 h2=4R释放点至水平轨道高度的范围为 5R h4R（2）h=4R 时， C 点速度最大，压力最大A 到 C，根据机械能守恒定律： mgh= 1 mvC2在 C 点： N mg= m vC联立得
18、 N=3mg根据牛顿第三定律，压力大小为 N=N=3mg10 某工地某一传输工件的装置可简化为如图所示的情形， AB 为一段足够长的曲线轨道，BC 为一段足够长的水平轨道， CD为一段 圆弧轨道，圆弧半径 r=1m，三段轨道均光滑。一长为L=2m 、质量为M=1kg 的平板小车最初停在BC轨道的最左端，小车上表面刚好与AB 轨道相切，且与 CD 轨道最低点处于同一水平面。一可视为质点、质量为 m=2kg 的工件从距 AB 轨道最低点 h 高处沿轨道自由滑下，滑上小车后带动小车也向右运动，小车与 CD轨道左端碰撞 （碰撞时间极短 ）后即被粘在 C 处。工件只有从 CD 轨道最高点飞出，才能被站在
19、台面 DE 上的工人接住。工件与小车的动摩擦因数为 =0.5，取 g=10m/s 2，（1）若 h=2.8m，则工件滑到圆弧底端 B 点时对轨道的压力为多大？（2）要使工件能被站在台面 DE 上的工人接住，求 h 的取值范围 .【答案】 （1） （ 2）【解析】 （1） 工件从起点滑到圆弧轨道底端B 点 ,设到B 点时的速度为vB ，根据动能定理：工件做圆周运动，在 B 点，由牛顿第二定律得：由两式可解得： N=40N由牛顿第三定律知 , 工件滑到圆弧底端 B 点时对轨道的压力为 N=N=40N（2）由于 BC轨道足够长 , 要使工件能到达 CD轨道 , 工件与小车必须能达共速 , 设工件刚滑
20、上小车时的速度为 v0, 工件与小车达共速时的速度为 v1，假设工件到达小车最右端才与其共速，规定向右为正方向，则对于工件与小车组成的系统，由动量守恒定律得：mv0=（ m+M） v1由能量守恒定律得：对于工件从 AB轨道滑下的过程，由机械能守恒定律得：代入数据解得： h1=3m.要使工件能从 CD轨道最高点飞出 , h1 =3m为其从 AB轨道滑下的最大高度 , 设其最小高度为 h, 刚滑上小车的速度为 v0, 与小车达共速时的速度为 v 1, 刚滑上 CD轨道的速度为 v 2，规定向右为正方向，由动量守恒定律得：mv 0=（ m+M） v 1 工件恰好滑到 CD轨道最高点，由机械能守恒定律
21、得：工件在 AB轨道滑动的过程，由机械能守恒定律得：联立。 , 代入数据解得： h= m综上所述 , 要使工件能到达 CD轨道最高点 , 应使 h 满足： mh? 3m.【名师点睛】（ 1）工件在光滑圆弧上下滑的过程，运用机械能守恒定律或动能定理求出工件滑到圆弧底端 B 点时的速度在 B 点，由合力提供向心力，由牛顿第二定律求出轨道对工件的支持力，从而得到工件对轨道的压力（2）由于 BC轨道足够长，要使工件能到达 CD轨道，工件与小车必须能达共速，根据动量守恒定律、能量守恒定律求出滑上小车的初速度大小，根据机械能守恒求出下滑的高度h=3m，要使工件能从 CD轨道最高点飞出， h=3m为其从 AB轨道滑下的最大高度，结合动量守恒定律和能量守恒定律、机械能守恒定律求出最小高度，从而得出高度的范围
