1、 复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。(求法) 这是复数计算中必定要解决的问题,物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算,尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容(也是解题术)复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。辐角的求法,辐角主值的确定是难点,也是关键存在,这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。 2)复数的向量表示 在复平面内与复数z1、z2对应的点分别为z1、z2(如图)(5)Z5=cos60+isin30=+i=(1+i)=(cos+isin)=) 小结:对这类与三角形式很相似的式子,如何将之变换为三角形式,对于
2、初学者来讲是个难点.有了“定点定名定角”这样一个可操作的步骤,应能够很好地解决此类问题. 例2求复数Z=1+cos+isin(2)的模与辐角主值. 分析:式子中多3个“1”,只有将“1”消去,才能更接近三角形式,因此可利用三角公式消“1”. 解:Z=1+cos+isin=1+(2cos2-1)+2isincos=2cos).(1) 2 ,cos(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2coscos(+)+isin(+) r=-2cos, ArgZ=+2k(kZ) +2,argZ=+. (1)式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为r=2cos, argZ=或ArgZ=错误之处在
3、于他们没有去考虑角范围,因此一定要用“模非负,角相同,余弦前,加号连”来判断是否为三角形式.看了这道例题,你一定能解决如Z1=1-cos+isin(2) ,Z2=1+cos-isin(2)等类似问题. 例3将Z=(3)化为三角形式,并求其辐角主值. 三角形中只有正余弦,因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化,再向三角形式转化. =cos2+isin2 3, 26, 2-40)|Z1Z2|2=k2+(2k)2-2k2k=3k2 |Z1Z2|=k, 而k2+(k)2=(2k)2,OZ1Z2为有一锐角为60的直角三角形. 此题中利用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题,十分方便. 例8
4、已知直线l过坐标原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,若点A(-1,0)和B(0,8)关于l的对称点都在C上,求直线l与抛物线C的方程. 如图,建立复平面x0y,设向量、对应复数分别为x1+y1i, x2+y2i. 由对称性,|OA|=|OA|=1, |OB|=|OB|=8, x2+y2i=(x1+y1i)8i=-8y1+8x1i 设抛物线方程为y2=2px(p0)则有y12=2px1, y22=2px2, x1=, y12=p2, 又|OA|=1,()2+p2=1,p=或-(舍) 抛物线方程为y2=x,直线方程为:y=x. 对于解析几何的许多问题,若能借助于复数的向量来表示,常常有
5、意想不到的功效.尤其涉及到特殊位置,特殊关系的图形时,尤显其效. 五、易错点 1并不是每一个复数都有唯一确定的辐角主值.如复数零的模为0,辐角主值不确定. 2注意ArgZ与argZ的区别.ArgZ表示复数Z的辐角,而argZ表示复数Z的辐角主值.ArgZ=argZ+2k(kZ),argZ0,2), 辐角主值是0,2)内的辐角,但辐角不一定是辐角主值. 3复数三角形式的四个要求:模非负,角相同,余弦前,加号连,缺一不可.任何一个不满足,就不是三角形式. 4注意复数三角形式的乘除运算中,向量旋转的方向. 六、练习 1写出下列复数的三角形式 (1) ai(aR)(2) tg+i()(3) -(sin
6、-icos) 2设Z=(-3+3i)n, nN,当ZR时,n为何值?3在复平面上A,B表示复数为,(0),且=(1+i),判断AOB形状,并证明SAOB=|d|2. 参考答案:1(1)ai=(2)tg+i()=-cos(-)+isin(-) (3)-(sin-icos)=+)+isin(+) 2n为4的正整数倍 3法一:0,=(1+i) =1+i=), AOB=分别表示复数,-, 由-=i,得=i=cos,OAB=90,AOB为等腰直角三角形. |=|, |=|-|=|i|=|,|=| 又|=|=|(1+i)|=|,|2+|2=|2+|2=2|2=|2 AOB为等腰直角三角形,SAOB=|=|
7、2. 在线测试窗体顶端选择题1若复数z=(a+i)2的辐角是,则实数a的值是() A、1B、-1C、- D、-窗体底端2已知关于x的实系数方程x2+x+p=0的两虚根a, b满足|a-b|=3, 则p的值是() A、-2B、-C、D、1 3设,则复数的辐角主值为() A、2-3B、3-2C、3D、3- 4复数cos经过n次乘方后,所得的幂等于它的共轭复数,则n的值等于() A、3B、12C、6k-1(kZ)D、6k+1(kZ) 5z为复数,()|z-3|=()|z+3|()-1的图形是() A、直线B、半实轴长为1的双曲线 C、焦点在x轴,半实轴长为的双曲线右支 D、不能确定 答案与解析 答案
8、:1、B 2、C 3、B 4、C 5、C解析:1z=(a+i)2=(a2-1)+2ai, argz=, ,a=-1,本题选B. 2求根a,b=(=1-4p0)|a-b|=|=3, 4p-1=9, p=,故本题应选C. 3=cos3+isin3. ,33,3-2,故本题应选B. 4由题意,得(cos)n=cos=cos由复数相等的定义 ,得解得=2k-,(kZ),n=6k-1.故本题应选C. 5依题意,有 |z-3|=|z+3|-1, |z+3|-|z-3|=1.由双曲线定义,此方程表示焦点(3,0),2a=1, a=的双曲线右支,故本题应选C. 复数三角形式的运算疑难问题解析 1复数的模与辐角
9、:(1)复数模的性质:z1z2=z1z2 (2)辐角的性质:积的辐角等于各因数辐角的和 商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差 一个复数n次幂(nN)的辐角等于这个复数辐角的n倍 注意:(1)辐角与辐角主值的区别,特别是解题过程中的不同点如下面两个问题:若arg(2-i)=,arg(3-i)=,求+的值(+(3,4) 若arg(2-i)=,arg(3-i)=,求arg(2-i)(3-i)的值(2)两个复数乘积的辐角主值不一定等于两辐角主值的和,商的辐角主值不一定等于辐角主值的差. 2关于数的开方 (1)复数的开方法则:r(cos+isin)的n次方根是 几何意义:设对应于复平面上的点,
10、则有: 所以,复数z的n次方根,在复平面内表示以原点为中心的正n边形的n个顶点 (2)复数平方根的求法 求-3-4i的平方根 解法一利用复数代数形式设-3-4i的平方根为x+yi(x,yR),则有 (x+yi)2=-3-4i,即(x2-y2)+2xyi=-3-4i,由复数相等条件,得 -3-4i的平方根是(1-2i) 法二利用复数的三角形式 3复数集中的方程 关于实系数的一元二次方程的解法:设ax2+bx+c=0(a0,a,b,cR,x1,x2为它的两个根) (1)当=b2-4ac0时,方程有两个实数根 当=b2-4ac0时,方程有一对共轭虚根 (4)二次三项式的因式分解:ax2+bx+c=a
11、(x-x1)(x-x2) 关于复系数的一元二次方程的解法:设ax2+bx+c=0(a0,a、b、cC,且至少有一个虚数,x1x2为它的两个根) (4)二次三项式的因式分解ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)仍然适用 关于二项方程的解法 形如anxn+a0=0(a0,anC且an0)的方程叫做二项方程,任何一个二项方程都可以化成xn=b(bC)的形式,因此都可以通过复数开方来求根 可以充分利用复数z的整体性质,复数z的三种表示方法及其转换来解方程 已知方程x2-4x+p=0两虚数根为、,且|-|=2求实数p的值 解法1实系数一元二次方程虚根共轭设=a+bi, =a-bi,(a,bR)+=
12、2a=4,a=2又|-|=2, |2bi|=2得b=1 即两根为2+i,2-i由韦达定理得:p=(2+i)(2-i)=5 法2由韦达定理可得:+=4,=p 于是|-|2=|(-)2|=|(+)2-4|=|42-4p|=4,即|4-p|=1 又=42-4p0p4,p-4=1,得p=5 说明注意实系数一元二次方程有两个实根与有两个虚根的区别 一等式成立若有两个虚根则上述等式不成立因为-2(-)2因此在解题时要重视复数与实数知识点之间的区别与联系,要避免出现混淆与干扰 已知方程2x2+3ax+a2-a=0有模为1的根,求实数a的值 分析已知方程有模为1的根,此根可能是实数,也可能是虚数,故求实数a要
13、注意分域讨论 解(1)若所给方程有实根则=(3a)2-42(a2-a)=a2+8a0,即a-8或a0 由条件得根必为1或-1, 将x=1代入原方程可得a2+2a+2=0a无实数解 (2)若所给方程有虚根则=a2+80,即-8a0 即a2-a-2=0,a=-1或a=2(舍) 已知方程x2-(2i-1)x+3m-i=0有实数根,求实数m 分析求实数m的范围,若用判别式来判断是错误的,因为此方程的系数是复数 利用求根公式或用韦达定理或选用复数相等,解方程组来求实数m均可以现仅介绍一种方法 解x,mR,方程变形可得,(x2+x+3m)-(2x+1)i=0 复数例题讲解与分析 例1已知x, y互为共轭复
14、数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x, y. 思路1:确定一个复数即分别确定它的实部、虚部或模与一个辐角,设z=a+bi或三角形式,化虚为实。解法1:设x=a+bi(a,bR), 则y=a-bi, 代入原等式得:(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i. 或。思路2:“x, y互为共轭”含义?x+yR, xyR,则(x+y)2-3xyi=4-6i 解法2:x=,x+yR, xyR, 由两复数相等可得:由韦达定理可知:x,y同是方程:z2+2z+2=0或z2-2z+2=0的两根, 分别解两个一元二次方程则得x,y(略)。例2已知zC,|z|=1且z2-1,则复数( ) A、必为纯虚数B、
15、是虚数但不一定是纯虚数C、必为实数D、可能是实数也可能是虚数 思路分析:选择题,从结论的一般性考虑,若z=1,显然A、B选项不成立,分析C、D选项,显然穷举验证不能得出一般结论只能推演 法1设z=a+bi, a,bR, a2+b2=1,a0. 则R,故,应选C。法2设z=cos+isin (R,且k+),R。法3z=|z|2, 当|z|=1时有z=1, R. 法4当|z|=1时有z=1, 法5复数z为实数的充要条件是z=而(, 又|z|=1时, 评注:复习中,概念一定要结合意义落实到位,一方面深化理解(比如复数定义:“形如a+bi (a,bR)的数叫复数”深入理解就有凡是复数都能写成这样,求一
16、个复数,使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实;。)同时对一些概念的等价表达式要熟知。(比如:z=a+biR b=0(a,bR) z=z20;z=a+bi是纯虚数 a=0且b0 (a,bR) z+=0 (z0) z20;.)在面对具体问题时要有简捷意识(比如该例方法1,有同学可能会在算到时不注意及时化简分母又直接按两复数相除的运算法则进行),多方理解挖掘题目立意。例3求使关于x的方程x2+(m+2i)x+2+mi=0至少有一个实根的实数m. 根的判别式只适用实系数的一元二次方程,虚系数有实根用两复数相等,化虚为实。设x0为方程的一个实根,则有 x02+mx0+2+(2x0+m)i=0 ,解得:m=2例4设 zC, arg(z+2)=, arg(z-2)=, 求z。常规思路,设z=a+bi, 由已知列关于a,b的方程求解;数形结合思想,由题设可知z+2对应的点A在射线OA上,AOX=,z-2对应的点B应在射线OB上,BOX=,z对应的点Z应在AB中点上,|AB|=4,AB/Ox轴,A