1、又因为ADDE,C C1,DE平面BC C1 B1,C C1DEE,所以AD平面BC C1 B1.又AD平面ADE,所以平面ADE平面BC C1 B1. (2)因为A1 B1A1 C1,F为B1 C1的中点,所以A1FB1 C1.因为C C1平面A1 B1 C1,且A1F平面A1 B1 C1,所以C C1A1F.又因为C C1,B1 C1平面BC C1 B1,C C1B1 C1C1,所以A1F平面BC C1 B1.由(1)知AD平面BC C1 B1,所以A1FAD.又AD平面ADE,A1F平面ADE,所以A1F平面ADE考题分析空间线面位置关系的判定与证明是高考的必考考点,多以选择题与解答题的
2、形式出现,难度中等,解答高考题时,推理过程不完整是失分的重要原因,需引起特别注意网络构建高频考点突破考点一:线线、线面的平行与垂直【例1】如图,在平行四边形ABCD中,CD1,BCD60,且BDCD,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直,G、H分别是DF、BE的中点(1)求证:BD平面CDE;(2)求证:GH平面CDE;(3)求三棱锥DCEF的体积审题导引(1)先证BDED,BDCD,可证BD平面CDE;(2)由GHCD可证GH平面CDE;(3)变换顶点,求VCDEF.规范解答(1)证明四边形ADEF是正方形,EDAD,又平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCDAD.ED平面AB
3、CD,EDBD.又BDCD,且EDDCD,BD平面CDE.(2)证明G是DF的中点,又易知H是FC的中点,在FCD中,GHCD,又CD平面CDE,GH平面CDE,GH平面CDE.(3)设RtBCD中,BC边上的高为h,CD1,BCD60,BDCD,BC2,BD,2h1,h,即点C到平面DEF的距离是VDCEFVCDEF.【规律总结】线线、线面位置关系证法归纳(1)证线线平行常用的方法:一是利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;二是利用平行四边形进行平行转换;三是利用三角形的中位线定理证线线平行;四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换(2)证线面平行常用的两种方法:一是利用线面
4、平行的判定定理,把证线面平行转化为证线线平行;二是利用面面平行的性质,把证线面平行转化为证面面平行(3)证线面垂直常用的方法:一是利用线面垂直的判定定理,把证线面垂直转化为证线线垂直;二是利用面面垂直的性质定理,把证面面垂直转化为证线面垂直;另外还要注意利用教材中的一些结论,如:两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面等【变式训练】山东实验中学一诊)如图,在几何体ABCDEP中,底面ABCD是边长为4的正方形,PA平面ABCD,PAEB,且PA2BE4(1)证明:BD平面PEC;(2)若G为BC上的动点,求证:AEPG.证明(1)连接AC交BD于点O,取PC的中点F,连接OF
5、,EF,EBPA,且EBPA,又OFPA,且OFEBOF,且EBOF,四边形EBOF为平行四边形,EFBD.又EF平面PEC,BD平面PEC,BD平面PEC.(2)连接BP,EBABAP90EBABAP,PBABEA,PBABAEBEABAE90PBAE.PA平面ABCD,PA平面APEB,平面ABCD平面APEB,BCAB,平面ABCD平面APEBAB,BC平面APEB,BCAE,AE平面PBC,G为BC上的动点,PG平面PBC,AEPG.考点二:面面平行与垂直【例2】如图所示,已知在三棱锥ABPC中,APPC,ACBC,M为AB的中点,D为PB的中点,且PMB为正三角形DM平面APC;平面
6、ABC平面APC;(3)若BC4,AB20,求三棱锥DBCM的体积审题导引(1)只要证明MDAP即可,根据三角形中位线定理可证;(2)证明APBC;(3)根据锥体体积公式进行计算规范解答(1)证明由已知,得MD是ABP的中位线,所以MDAP.又MD平面APC,AP平面APC,故MD平面APC.(2)证明因为PMB为正三角形,D为PB的中点,所以MDPB.所以APPB.又APPC,PBPCP,所以AP平面PBC.因为BC平面PBC,所以APBC.又BCAC,ACAPA,所以BC平面APC.因为BC平面ABC,所以平面ABC平面APC.(3)由题意,可知MD平面PBC,所以MD是三棱锥DBCM的一
7、条高,所以VMDBCSBCDMD2510面面平行与垂直的证明技巧在立体几何的平行关系问题中,“中点”是经常使用的一个特殊点,无论是试题本身的已知条件,还是在具体的解题中,通过找“中点”,连“中点”,即可出现平行线,而线线平行是平行关系的根本在垂直关系的证明中,线线垂直是问题的核心,可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直,也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直,其中要特别重视两个平面垂直的性质定理,这个定理已知的是两个平面垂直,结论是线面垂直2如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD平面ABCD,ABAD,BAD60,E、F分别是AP、AD的中点(1)直线EF平面PCD;(2)平面BEF平
8、面PAD.证明(1)在PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EFPD.又因为EF平面PCD,PD平面PCD,所以直线EF平面PCD.(2)如图,连接BD.因为ABAD,BAD60所以ABD为正三角形因为F是AD的中点,所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,BF平面ABCD,所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF,所以平面BEF平面PAD.考点三:平面图形的折叠问题【例3】(2012南京模拟)在ABC中,BAC90,B60,AB1,D为线段BC的中点,E、F为线段AC的三等分点(如图1)将ABD沿着AD折起到ABD的位置,连接BC(如图2)图1图2(1
9、)若平面ABD平面ADC,求三棱锥BADC的体积;(2)记线段BC的中点为H,平面BED与平面HFD的交线为l,求证HFl;(3)求证:ADBE.审题导引(1)解题的关键是根据折叠前后的线面位置关系求得B到平面ADC的距离,可利用线面垂直求得;(2)线面平行线线平行;(3)线面垂直线线垂直规范解答(1)在直角ABC中,D为BC的中点,所以ADBDCD.又B60,所以ABD是等边三角形取AD中点O,连接BO,所以BOAD.因为平面ABD平面ADC,平面ABD平面ADCAD,BO平面ABD,所以BO平面ADC.在ABC中,BAC90B60,AB1,D为BC的中点,所以AC,BO所以SADC所以三棱
10、锥BADC的体积为VSADCBO(2)证明因为H为BC的中点,F为CE的中点,所以HFBE.又HF平面BED,BE平面BED,所以HF平面BED.因为HF平面HFD,平面BED平面HFDl,所以HFl.(3)证明由(1)知,BOAD.因为AE,AO,DAC30所以EO所以AO2EO2AE2.所以ADEO.又BO平面BEO,EO平面BEO,BOEOO,所以AD平面BEO.又BE平面BEO,所以ADBE.解决翻折问题的注意事项(1)解决与翻折有关的几何问题的关键是搞清翻折前后哪些量改变、哪些量不变,抓住翻折前后不变的量,充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口(2)把平面图形翻折后,经过恰当连线
11、就能得到三棱锥、四棱锥,从而把问题转化到我们熟悉的几何体中去解决3如图1,直角梯形ABCD中,ADBC,ABC90,E、F分别为AD和BC上的点,且EFAB,AD2AE2AB4FC4.将四边形EFCD沿EF折起成如图2的形状,使ADAE.BC平面DAE;(2)求四棱锥DAEFB的体积解析(1)证明BFAE,CFDE,BFCFF,AEDEE,平面CBF平面DAE.又BC平面CBF,BC平面DAE.(2)取AE的中点H,连接DH.EFDE,EFEA,EF平面DAE.又DH平面DAE,EFDH.AEDEAD2,DHAE,DHDH平面AEFB.则四棱锥DAEFB的体积V2名师押题高考【押题1】已知直线
12、a、b与平面、,且b,则下列命题中正确的是若a,则ab;若ab,则a;若b,则;若,则b.A BC D解析命题,若a,过直线a作一平面,使得c,则由线面平行的性质定理可得ac,又因为b,c,所以bc,故有ab,所以该命题为真;命题,若ab,b,则直线与平面的位置关系有两种:a或a,故该命题为假; 命题,若b,则过直线b作一平面,使得d,则由线面平行的性质定理可得bd,又b,所以d,因为d,所以由面面垂直的判定定理可得,故该命题为真;命题,若,b,则直线b与平面的位置关系有两种:b或b,故该命题为假综上,为真命题,故选A.答案A押题依据线面的平行与垂直,是立体几何的主体内容,在高考试题中通常会有
13、一道解答题和一道选择题或填空题,主要考查线面位置关系的判定与性质,一般难度不大【押题2】如图,在三棱锥ABOC中,AO平面COB,OABOAC,ABAC2,BC,D、E分别为AB、OB的中点CO平面AOB.(2)在线段CB上是否存在一点F,使得平面DEF平面AOC?若存在,试确定F的位置;若不存在,请说明理由解析(1)证明因为AO平面COB,所以AOCO,AOBO,即AOC与AOB为直角三角形又因为OABOAC,ABAC2,所以OBOC1.由OB2OC2112BC2,可知BOC为直角三角形所以COBO,又因为AOBOO,所以CO平面AOB.(2)在线段CB上存在一点F,使得平面DEF平面AOC,此时F为线段CB的中点如图,连接DF,EF,因为D、E分别为AB、OB的中点,所以DEOA.又DE平面AOC,所以DE平面AOC.因为E、F分别为OB、BC的中点,所以EFOC.又EF平面AOC,所以EF平面AOC,又EFDEE,EF平面DEF,DE平面DEF,所以平面DEF平面AOC.押题依据线面的平行与垂直是立体几何的必考内容,通常要考一个解答题,本题不仅突出考查了线面的平行与垂直,而且以立体几何为背景考查了探索性问题,题目新颖灵活、重点突出、难度适中,故押此题