1、一次函数模型f（x）axb（a，b为常数，a0）二次函数模型f（x）ax2bxc（a，b，c为常数，a0）与指数函数相关模型f（x）baxc（a，b，c为常数，a0且a1，b0）与对数函数相关模型f（x）blogaxc（a，b，c为常数，a0且a1，b0）与幂函数相关模型f（x）axnb（a，b，n为常数，a0）微点提醒1“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢。2充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键。3易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证
2、数学结果对实际问题的合理性。小|题|快|练一 、走进教材1（必修1P59A组T6改编）某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为（）Aya（1p%）x（0xm）Bya（1p%）x（0xm，xN）Cya（1xp%）（0g（x）h（x） Bg（x）f（x）h（x）Cg（x）h（x）f（x） Df（x）g（x）【解析】由图象知，当x（4，）时，增长速度由大到小依次为g（x）h（x）。2一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（h）的函数关系用图象表示为图中的（） A. B. C.
3、D.【解析】由题意知h205t（0t4），故选B。3生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）x22x20（万元）。一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（）A36万件 B18万件C22万件 D9万件【解析】利润L（x）20xC（x）（x18）2142，当x18万件时，L（x）有最大值。4某工厂采用高科技技术，在2年内产值的月增长率都是a，则这2年内第2年某月的产值比第1年相应月产值的增长率为（）Aa121 B（1a）121Ca Da1【解析】不妨设第1年8月份的产值为b，则9月份的产值为b（1a），10月份的产
4、值为b（1a）2，以此类推，到第2年8月份是第1年8月份后的第12个月，即一个时间间隔是1个月，这里跨过了12个月，故第2年8月份产值是b（1a）12。又由增长率的概念知，这2年内的第2年某月的产值比第1年相应月产值的增长率为：（1a）121。5一个容器装有细砂a cm3，细砂从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细砂量为yaebt（cm3），经过8 min后发现容器内还有一半的砂子，则再经过_min，容器中的砂子只有开始时的八分之一。【解析】当t0时，ya，当t8时，yae8ba，所以e8b，容器中的砂子只有开始时的八分之一时，即yaebta，ebt（e8b）3e24b，
5、则t24，所以再经过16 min容器中的砂子只有开始时的八分之一。【答案】16微考点大课堂考点一 用函数图象的变化刻画变化过程【典例1】（2016全国卷）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ，B点表示四月的平均最低气温约为5 。下面叙述不正确的是（）A各月的平均最低气温都在0 以上B七月的平均温差比一月的平均温差大C三月和十一月的平均最高气温基本相同D平均最高气温高于20 的月份有5个【解析】由图形可得各月的平均最低气温都在0 以上，A正确；七月的平均温差约为10 ，而一月的平均温差约为5 ，故B正确
6、；三月和十一月的平均最高气温都在10 左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20 的月份只有2个，D错误。反思归纳当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案。【变式训练】（2015北京高考）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。下列叙述中正确的是（）A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速8
7、0千米/小时。相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【解析】对于A选项：由题图可知，当乙车速度大于40 km/h时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5 km，则A错；对于B选项：由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，则B错；对于C选项：甲车以80千米/小时的速度行驶时，燃油效率为10 km/L，则行驶1小时，消耗了汽油801108（升），则C错；对于D选项：当行驶速度小于80 km/h时，在相同条件下，丙车的燃油效率高于乙车，则在该市用丙车比用乙车更省油，则D对。考点二 已知函数模型的实际问题【典例2】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销
8、售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y10（x6）2。其中36，a为常数。已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。（1）求a的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。【解析】（1）因为x5时，y11，所以1011，a2。（2）由（1）可知，该商品每日的销售量y10（x6）2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f（x）（x3）210（x3）（x6）2,36。从而，f（x）30（x4）（x6）。于是，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：（3,4）4（4,6）f（x）f（x） 极大值42由上表
9、可得，x4是函数f（x）在区间（3,6）内的极大值点，也是最大值点。所以，当x4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42。即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。【答案】（1）2（2）4元/千克反思归纳求解已给函数模型解决实际问题的关注点：1认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数。2根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数。3利用该模型求解实际问题。四川高考）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系yekxb（e2.718为自然对数的底数，k，b为常数）。若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33
10、 的保鲜时间是_小时。【解析】依题意有192eb,48e22kbe22keb，所以e22k，所以e11k或（舍去），于是该食品在33 的保鲜时间是e33kb（e11k）3eb319224（小时）。【答案】24考点三 构建函数模型的实际问题多维探究角度一：构建二次函数模型【典例3】某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润（单位：万元）为y14.1x0.1x2，在B地的销售利润（单位：万元）为y22x，其中x为销售量（单位：辆），若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是（）A10.5万元 B11万元C43万元 D43.025万元【解析】设公司在A地销售
11、该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车（16x）辆，所以可得利润y4.1x0.1x22（16x）0.1x22.1x320.1（x）20.132。因为x0,16，且xN，所以当x10或11时，总利润取得最大值43万元。故选C。【答案】C角度二：构建分段函数模型【典例4】（2017锦州模拟）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点。研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数。当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4x20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的
12、值为0千克/年。（1）当0x20时，求函数v关于x的函数解析式。（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值。【解析】（1）由题意得当0x4时，v2；x20时，设vaxb，显然vaxb在（4,20内是减函数，由已知得解得所以vx，故函数v（2）设年生长量为f（x）千克/立方米，依题意并由（1）可得f（x）当0x4时，f（x）为增函数，故f（x）maxf（4）428；x20时，f（x）x2x（x220x）（x10）2，f（x）maxf（10）12.5。所以当0x20时，f（x）的最大值为12.5。即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大
13、，最大值为12.5千克/立方米。【答案】（1）v（2）10尾/立方米12.5千克/立方米角度三：构建指数函数、对数函数模型【典例5】（1）世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是（参考数据lg 20.301 0,100.007 51.017）（）A1.5% B1.6%C1.7% D1.8%（2）某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停（每次上涨10%），又经历了n次跌停（每次下跌10%），则该股民这支股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（）A略有盈利 B略有亏损C没有盈利也没有亏损 D无法判断盈亏情况【解析】（1）设每年人口平均增长率为x，则（1x）
14、402，两边取以10为底的对数，则40lg（1x）lg2，所以lg（1x）0.007 5，所以100.007 51x，得1x1.017，所以x1.7%。（2）设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a（110%）na1.1n元，经历n次跌停后的价格为a1.1n（110%）na0.9na（1.10.9）n0.99naa，故该股民这支股票略有亏损。【答案】（1）C（2）B反思归纳解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式（注意定义域），并进行相关求解，最后结合实际意义作答。以上过程可简洁表述为：微考场新提升1小明骑车上学，开始时匀速行驶，途
15、中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶。与以上事件吻合得最好的图象是（）解析出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B。答案C2（2015北京高考）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日1235 0002015年5月15日4835 600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程。在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A6升 B8升C10升 D12升解析因为每次都把油箱加满，第二次加入48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而
16、行驶的路程为35 60035 000600（千米），故每100千米平均耗油量为4868（升）。答案B3.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y（万元）与营运年数x的关系如图所示（抛物线的一段），则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为（）A3 B4C5 D6解析由题图，易求得y与x的关系式为y（x6）211，则1212102，有最大值2，此时x，即x5。4（2016辽宁五校联考）一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶（汽车与人前进方向相同），汽车在时间t内的路程为st2米，那么，此人（
17、）A可在7秒内追上汽车B可在9秒内追上汽车C不能追上汽车，但期间最近距离为14米D不能追上汽车，但期间最近距离为7米解析已知st2，车与人的间距d（s25）6tt26t25（t6）27。当t6时，d取得最小值7。答案D5某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等。若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是_。解析由题意知七月份的销售额为500（1x%），八月份的销售额为500（1x%）2，则一月份到十月份的销售总额是3 8605002500（1x%）500（1x%）2，根据题意有3 8605002500（1x%）500（1x%）27 000，即25（1x%）25（1x%）266，令t1x%，则25t225t660，解得t或t（舍去），故1x%解得x20。故x的最小值为20。答案20
