1、圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析圆锥曲线中的三角形问题(特别是与焦半径相关的三角形问题)是解析几何中的一个综合性较强的重点内容。下举例谈谈圆锥曲线焦点三角形问题常见类型。一、定值问题例1. 椭圆上一点P,两个焦点, 的内切圆记为,求证:点P到的切线长为定值。证明:设M与PF1F2的切点为A、B、C,如图1,因M是PF1F2的内切圆,所以|F1A|=|F1C|、|F2C|=|F2B|,|PA|=|PB|; |F1C|F2C|=2c, |F1A|F2B|=2c,由椭圆第一定义知 |PF1|PF2|=2a , |PA|F1A|PB|F2B|=2a, 2|PA|=2a2c 即 |PA|=ac为定值证
2、毕 点评:圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础, 而且也是解题的重要工具.对于有些解析几何问题,若从圆锥曲线的定义上去思考,往往会收到避繁就简,捷足先登的解题效果。二、动点轨迹问题 例2、已知椭圆上一动点P,两个焦点, 的内切圆记为,试求圆心M的轨迹方程。解析: 如图1,设PF1F2=、PF2F1=,M(x,y)则在PF1F2中由正弦定理及椭圆的定义有,由等比定理有即,又由合分比定理知。由斜率公式知:由前述不难看出,不论P位于椭圆上(异于长轴两端点)何处,总有整理得(ac)x2(ac)y2=(ac)c2(y0)证毕点评:由上获得的方程不难看出,PF1F2的内切圆圆心M始终在包含于原椭
3、圆内的一小椭圆上移动如果中出现两个角,可以考虑应用正弦定理。同时从解题过程,不难得到一个重要的结论: 已知椭圆上一点P及两焦点,若,则椭圆的离心率为。三、方程问题例3. 如图2,已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,分别为左、右焦点,双曲线的右支上有一点P,且的面积为,双曲线的离心率为2,求该双曲线的方程。解析:设双曲线的方程为,。在PF1F2中,由余弦定理,得,即 ,又因为,所以,所以,所以即,又因为,所以。故所求双曲线方程为。点评:如果在中仅知一个角,我们经常要联想到余弦定理解决问题。四、最值.范围问题例4、 已知曲线C的方程为,A(1,0),B(1,0),过点B的直线l与曲线C交于M
4、,N两点,若MAN为钝角,求直线l的倾斜角为的取值范围。解:(1)若lx轴,则l的方程为,(不合题意)。(2)若l与x轴重合,则MAN(不合题意)。(3)若l与x轴、y轴不垂直,设,代入曲线C的方程得:所以因为MAN为钝角,所以所以,所以。所以倾斜角的范围是:点评:有关三角形角的大小问题可用向量形式转化求解。如在中,F1PF2为锐角;F1PF2为直角;F1PF2为钝角。五、开放性问题例5、已知为双曲线的两个焦点,为双曲线右支上异于顶点的任意一点,为坐标原点下面四个命题:的内切圆的圆心必在直线上;的内切圆的圆心必在直线上;的内切圆的圆心必在直线上; 的内切圆必通过点其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号)解析:设的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B,与F1F2切于点M,则|PA|PB|,|F1A|F1M|,|F2B|F2M|,又点P在双曲线右支上,所以|PF1|PF2|2a,故|F1M|F2M|2a,而|F1M|F2M|2c,设M点坐标为(x,0),则由|F1M|F2M|2a可得(xc)(cx)2a解得xa,显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴,故、正确。点评:本题主要圆锥曲线焦点三角形内切圆问题。其中利用圆锥曲线定义和平面几何性质是问题求解的关键。