1、高考必备：立体几何共点、共线、共面、异面问题一、共线问题证明点共线，常常采用以下两种方法：转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点都在这条直线上1如图1，正方体中，与截面交点，交点，求证：三点共线证明：连结，平面，且平面，是平面与平面的公共点又平面平面也是平面与平面的公共点是平面与平面的交线为与截面的交点，平面平面，即也是两平面的公共点，即三点共线2如图，在四边形ABCD中，已知ABCD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面相交于点E，G，H，F求证：E，F，G，H四点必定共线（在同一条
2、直线上）分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线证明 AB/CD， AB，CD确定一个平面又AB E，AB， E，E，即 E为平面与的一个公共点同理可证F，G，H均为平面与的公共点 两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， E，F，G，H四点必定共线点评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论二、共点问题证明线共点，就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点解决此类问题的一般方法是：先证其中两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上1.如图2，已知空间四边形分别是的中点，分别是上的点
3、，且，求证：相交于同一点错解：证明：、F分别是AB,AD的中点, BD,EF=BD,又,GHBD,GH=BD, 四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T, ,F分别是AD.AC与FH交于一点.直线EG,FH,AC相交于一点正解：证明：分别是的中点，且又，且，且四边形是梯形，其两腰必相交，设两腰相交于一点，平面平面，平面平面，又平面平面故相交于同一点2. 如图，已知平面，且设梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD，求证：AB，CD，共点（相交于一点）分析：AB，CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在上，而是两个平面，的交线，因此，只要证明M，且M即可证明： 梯形AB
4、CD中，ADBC，AB，CD是梯形ABCD的两条腰 AB，CD必定相交于一点，设 AB CDM又 AB，CD， M，且M M又 ， M，即 AB，CD，共点点评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的三、共面问题证明空间的点、线共面问题，通常采用以下两种方法：根据已知条件先确定一个平面，再证明其他点或直线也在这个平面内；分别过某些点或直线作两个平面，证明这两个平面重合1.如图3，设分别为正方体的棱的中点，求证：共面证明：如图3，连结分别为的中点，分别为的中点，四边形为平行四边形因此，直线可确定一个平面同理，由可知，直线确定一个平面过两条相交直线有且只有一个平面，与重合，即同理可证因此，共面
5、2.已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面分析：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交在此基础上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内证明 1若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A 直线d和A确定一个平面 又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则 A，E，F，G A，E，A，Ea， a同理可证 b，c a，b，c，d在同一平面内2当四条直线中任何三条都不共点时，如图 这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面设直线c与a，b分别交于点H，K，则 H，K又 H，Kc， c同理可证 d a，b，c，d四条直线在同一平面内点评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内本题最容易忽视“三线共点”这一种情况因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义 四、证明异面直线1如图正四面体中，D、E是棱PC上不重合的两点；F、H分别是棱PA、PB上的点，且与P点不重合求证：EF和DH是异面直线3
