1、实变函数试题库及参考答案（4） 本科一、填空题 1.设为两个集合,则.2.设,如果满足(其中表示的导集),则是 3.若开区间为直线上开集的一个构成区间,则满(i) (ii)4.设为无限集.则的基数(其中表示自然数集的基数) 5.设为可测集, ,则. 6.设为可测集上的可测函数列,且,则由_定理可知得,存在的子列,使得.7.设为可测集()上的可测函数,则在上的积分值 存在且在上 可积.（填“一定”“不一定”）8.若是上的绝对连续函数,则是上的有 二、选择题1设，则（ ） 是中闭集 是中完备集2设，是上的可测函数，则（ ）、不一定是可测集 、是可测集、是不可测集 、不一定是可测集3下列集合关系成立
2、的是（ ）A、 B、C、 D、4. 若是开集，则 （ ）A、的导集 B、的开核 C、 D、的导集三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1设是上有界函数，且可积，则（ ） 在上黎曼可积 在上可测 在上几乎处处连续 在上不一定连续2. 设,则( )A、是可数集 B、是闭集 C、中的每个点均是聚点 D、3.若()至少有一个内点，则（ ）A、可以等于 B、 C、可能是可数集 D、不可能是可数集4设是可测集，则的特征函数是（ ）A、上的符号函数 C、上的连续函数B、上的可测函数 D、上的连续函数四、判断题1. 零测集上的函数是可测函数. （ ）2. 可列个闭集的并集仍为闭集 （ ）3. 任何无限
3、集均含有一个可列子集 （ ）4. 设为可测集，则一定存在集，使，且. （ ）五、定义题1. 为什么说有界变差函数几乎处处可微？2. 简述无穷多个开集的交集是否必为开集？3. 可测集上的可测函数与简单函数有什么关系？4. 上的有界变差函数与单调函数有什么关系？六、计算题7. 设，为康托集，求.8. 求.七、证明题1设是上几乎处处有限的可测函数，且，则2 设是上可积函数，则在上也是可积的3 设是可测集上的非负可测函数，如果，则于4证明等式：实变函数试题库及参考答案（4） 本科一、填空题1.等于 2.闭集. 3. 4. 5. 6.黎斯 7.不一定 不一定 8.界变差函数.二、 单选题1.B 2.B
4、3.A 4.B三、 多选题1.BD 2.CD 3.BD 4.ABC四、判断题五、定义题1.答：由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几乎处处可微.2.答：不一定，如3.答：简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式.4.答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差.六、解答题1.解：因为，所以于于是而在上连续，所以 因此.2.解：令显然在上可测，且 因为不难验证，当足够大时，是单调递减非负函数，且，所以由勒贝格控制收敛定理 故.七、证明题1.证明 对任何正数，由于 所以 于是 故2.证明 因是上可积，所以在上可积，从而 可积，又故在上可积3.证明 反证，令，则由的可测性知，是可测集.下证，若不然，则由于，所以存在，使 于是因此，矛盾，故于4.证明
