1、上海市闵行区闵行中学学年度高三上学期期中数学试题绝密启用前上海市闵行区闵行中学 2019-2020学年度高三上学期期中数学试题试卷副标题题号一一三总分得分考试范围：xxx;考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷(选择题)请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分、单选题1,函数f(x)(x R)存在反函数”是函数f(x)在R上为增函数”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】函数f(x)(x R)存在反函数，至少还有可能函数 f (x)在
2、R上为减函数，充分性不成立；根据反函数的定义可知必要性显然成立， 函数f(x)(x R)存在反函数”是 函数f(x)在R上为增函数”的必要而不充分条件，故选 B.2.设函数 f(x) Asin( x )(A、是 常数，A 0 , 0),若 f(x)在区2 间一,一上具有单调性，且f(一) f() f(一),则f(x)的最小正周期为()6 2 2 3 6A. B. 2 C.3 D. 4【答案】A【解析】【分析】首先根据f x在 一, 具有单调性，且 f6 22- ，可求出函数的对称轴,3再根据f 2f 一求出函数的对称中心, 6最后根据-,- 具有单调性和相邻的6 2对称轴和对称中心的距离是 T
3、求最小正周期.4【详解】一具有单调性，且2x关于x712对称,T2712故选：A的对称中心为的最小正周期为,0 ，3本题考查根据三角函数的单调性求函数的最小正周期,属于中档题型，意在考查数形结合解决三角函数性质问题，正弦(型)函数既是中心对称又是轴对称图象，相邻的对称轴间的距离是半个周期，相邻的对称轴和对称中心的距离是4所给特殊函数值的关系可得到对称关系，从而得到函数的最小正周期T，那么根据单调区间和3.已知数列an是公差不为零的等差数列，函数 f(x)是定义在R上的单调递增的奇函数，数列 f(an)的前n项和为Sn，对于命题:若数列an为递增数列，则对一切 n N* , Sn 0;若对一切n
4、 N* , Sn 0,则数列an为递增数列；若存在m N ,使得Sm 0 ,则存在k N* ,使得ak 0 ;O 线O 线OX 题XO X 答X 订 X 内X订 X 线 XOX 订 X X 谢O 衣 X X 在 X 装X 要 X装 X 不 X OX 请 XO 内 O 外O O 线1 O 线O O 订 号 考: 订 O 级 班O 装 O 名 姓核 学装 O 外 O 内O右存在k N ,使得ak 0 ,则存在其中正确命题的个数为(A.1B.2【解析】【分析】*N ，使信SmC.3【详解】令ai0 , f ai f0 0, Sif ai对一切n N , Sn 0，则 f(ai) 0,又因为所以ai0
5、 ,若an递减,设 ak 0, ak i0,且S2k if(ai) f(a2) .f(ak) f(aki).逐一分析选项，得到正确答案f (x)是R上的单调递增的奇函数,且aia2k i a2 a2k . 2ak i0,所以aif(ai)S2k if ( a2k i), f (a2)f( a2k),，f (ak)f(ai) f(a2)f(ak) f(ak i)an递增,故正确;S2 f a错误;因为ak所以设则 f(a1)则 S2k i得Sm 0故选：B.0;D.40故错;f (a2k 1) ,a2k i , a2f ( ak 2),f (a2k i)a2k,.,ak ak2,则0 ,与题设矛
6、盾，所以i, d 2, 工f a2 f2ni,Sm0，但是an 2n 3 0，故0，所以 ai a2k ia2a2k 22ak0,a2k i, a2 a2k 2,., ak if ( a2k i ), f ( a2 )f(ai) f(a2) .本题考查函数与数列的综合问题,ak i，f ( a2kf(ak)2),., f (ak i )f ( ak i)，f (ak i ) . f (a2k i ) 0 ,则存在 m N ,使属于难题，意在考查利用数列和函数的性质推理，证明，如果比较难的存在性证明，可以举反例说明不成立 O线O线OX 题XOX 答X订 X 内X订 X 线 XOX 订 XX 牯O
7、衣 X X 在 X装X 要 X装X 不 XOX 请 XO内O 1外O第II卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题4.不等式【答案】x 1 5的解集为 6,4【解析】【分析】将不等式艾为 5 x1 5,解不等式得到结果【详解】x 1 55x 1 5 6x4本题正确结果： 6,4【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，属于基础题 .5.实数2和8的等比中项是 .【答案】4【解析】所求的等比中项为： ,2 8 4.6.已知函数f(x) 2x 1的反函数是f 1(x),则f【答案】3【解析】设 f 1 5 t,则 f t 5即 2t 1 5t 3f 1 5 3故答案为：37.在等差
8、数列 an中，a1 2, a3 % 10 ,则1【答案】81(5) 【详解】设等差数列 an的公差为贝 U a3 a5 a1 a72 al6d 10,所以a7 10ai 10 28 ,故答案为8.万）根据诱导公式可知sincossincos故答案为:本题考查根据诱导公式求值,属于简单题型9.已知函数f x为奇函数，且当 x 0时，f x2 1x 一，则 f 1 x在 X X 要 X X 不 X X 请 X10.已知 logab1,则a 4b的最小值为首先根据指对互化,表示为 ab 1 ,再利用基本不等式求最小值logab 11b , a 0 ,且 a 1,b 0 ,即ab 1函数fx的定义域是
9、0, ,并且函数是单调递增函数,f 1af a 0f 1 af a1a0a0,解得：10 a21aa故答案为：0,1 . 2a 4b 2 J4ab 4Vab 4,等号成立的条件是a 4b,1又因为ab 1 ,解得a 2,b -.2故答案为：4.【点睛】本题考查指对互化，和基本不等式求最值，意在考查转化和计算能力，属于简单题型11.设f(x) lgx,若f(1 a) f (a) 0,则实数a的取值范围为 . 1【答案】(0,-) 2【解析】【分析】首先判断函数的定义域和单调性，不等式等价于 f 1 a fa,利用函数性质解不等式.【详解】【点睛】本题考查根据函数的性质解抽象不等式， 意在考查函数
10、基本性质简单应用， 解抽象不等式时，需注意函数的定义域 .12.若数列an为等差数列，bn为等比数列，且满足：a1 a2019 , b b2019 2 ,aoo9 aion .函数 f (x) sinx,则 f (-一-一-一) 1 bl009 bl011【答案】立2【解析】【分析】根据等差，等比数列的几何性质，可求得a1009 a1011 al a2019bl009 b1011 bl b2019 2，代入求值Q an是等差数列,a1009 a1011 al a2019Q bn是等比数列，bl b2019 bl009 b1011 2 ,a1009 a1011b1009b1011a1009 a1
11、011 3f f sin.1 bl009bl011 3 3 2故答案为：2f.2【点睛】本题考查等差和等比数列的几何性质，意在考查基础知识的掌握水平，属于基础题型 .1 ,13.已知函数f(x) sinx(x 0,)和函数g(x) tanx的图象交于A,B,C三点, 2则 ABC的面积为.“ 3【答案】_2_4【解析】【分析】画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积 【详解】画出两个函数图像如下图所示,由图可知Ay0,0 ,c砥0，对于b点，由ysin x1一 tan x2解得B 3，苧，所以Sabc 3 2.3花2订本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像， 考查三角函数图
12、像交点坐标的求法， 考查三角函数面积公式，属于中档题 .14.已知函数 f (x) |2x 1| a,若存在实数 Xi、X2( Xi X2),使得 f(xj f(X2) 1,则实数a的取值范围为.【答案】1 a 2【解析】【分析】首先令2X 1 a 1 ,转化为a 2X 1 1 ,根据f (/) f区)1 ,可知转化为y 2和丫 2X 1 1的交点个数求参数的取值范围.【详解】当 f X 1,即 2X 1 a 1即 a 2X 1 1 ,/X转化为y 2与丫 2 1 1有两个交点，如图，由图象可知当1 a 2时图象有两个交点故答案为：1 a 2.【点睛】般判断函数零点个数或是根据零点个数求参数取
13、值范围， 个数.都可以转化成两个函数的交点15.设数列an满足a1 1,22 .4 , a39, anan 1an 2 an 3n4 , 32019【答案】8073【解析】【分析】对n分奇偶讨论求解即可【详解】当n为偶数时，an an 1 an 2an 3 La2a13当n为奇数时，an an 1 an 2an 3 La3a25故当n为奇数时，an=an an 1 +an 1 an 2 + L +a2a1+a15n2-3n 1 )1 4n23故 a2019 4 2019 3 8073本题考查根据函数的零点个数求参数取值范围， 意在考查数形结合分析问题的能力,故答案为8073【点睛】本题考查数列
14、递推关系,考查分析推理能力，又n分奇偶讨论发现规律是解决本题的关键，是难题16.函数f(x) sin x( 0)的图像与其对称轴在 y轴右侧的交点从左到右依次记为Ai, A2, A3, , An , ,在点列An中存在三个不同的点 Ak、A、Ap,o线 OX 题X X 答X订 X 内XX 线XOX 订X X 谢 衣 X X 在 X装X 要 X X 不XOX 请X 内 O使得Ak Ai Ap是等腰直角三角形，将满足上述条件的值从小到大组成的数列记为 n,贝U 2020 40392 n n首先求函数与对称轴的交点， An ，12，根据 人A Ap为等腰直角三角形,且k 1 p,此等腰直角三角形斜边
15、的高是 2,底边长为4,根据交点坐标 An表示底k p 4m 2,m Z ,最后表示2m 1 + 求值.2【详解】函数f xsinx0x n,nZ ,2解得x n2n,nAn12边长，再根据数形结合可知的对称轴是AkAAp为等腰直角三角形，且此等腰直角三角形斜边的高是20202,1 p,底边长为4,k 4m4m 22,m2m42 2020 1故答案为:24039240392本题考查函数性质的综合运用， 意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力,本题的一个关键点是根据数形结合分析出 p k 4m2,m Z ,从而求得 m的通项公式.17.已知无穷等比数列an满足：对任意的nN* , sin an
16、 1 ,则数列an公比q的取值集合为【答案】q q 4k1,k Z【解析】【分析】根据条件先得到：an的表示，然后再根据an是等比数列讨论公比q的情况.因为sin an 1 ,所以an 2k2,k Z ,即 an(4k 1)2,k Z；取an连续的有限项构成数列bn,不妨令n(4k 1) k2 ,则b2理，k Z,且2b2an,则此时q必为整数;4k,k Z 时，b22k(4 k1)24(4k22k)an,不符合;4k1,kZ时,b2(4 k1)222 _4(4k 2k) 1an，符合,此时公比q4k1,k当q 4k2,kZ时,b2(2k 1)(4k1)4(4k2 3k) 22an，不符合;当
17、q 4k3,kZ时,b2(4 k 3)(4k21)4(4k2 4k) 32an,不符合;故：公比q4k1,k本题考查无穷等比数列的公比，难度较难 ，分析这种抽象类型的数列问题时，经常需要O 线O 线OX 题XO X 答X 订 X 内X订 X 线XOX 订X X 谢O 衣 X X 在 X 装X 要 X装 X 不X OX 请XO 内 O 外O O 线 O 订 :号 考O 线O 订O:级 班O装 O 名 姓核 学装 O 外 内OO进行分类，可先通过列举的方式找到思路，然后再准确分析n118.已知数列an的通项公式an 1 n 20192数列an、 Sn的极限，下面判断正确的是（）A .数列an的极限
18、不存在,Sn的极限存在B.数列an的极限存在，Sn的极限不存在C.数列an、D.数列an、分别考虑因为limxan与an又 lim Snx列an、故选：D.1 n 2019n 2020Sn,则关于SnSnSn的极限均存在，但极限值不相等的极限均存在，且极限值相等的极限，然后作比较.1、n 2009 lim(-)x 20,lim(a a2 . a2019x1 1 n 2019 2(1 (2) )1、n 2019 rxim (2) Sn的极限均存在，且极限值相等,本题考查数列的极限的是否存在的判断以及计算，难度一般若是分段数列求和的形式，一定要将多段数列均考虑到评卷人得分三、解答题19.（本小题满
19、分12分）在等比数列 an中，a2 3,a5 81 .求an；.注意求解 s的极限时, 1 O线OX 题XO线O X 答X 订 X 内X订 X 线 XOX 订 XX 牯O 衣 X X 在 X 装X 要 X装 X 不 X OX 请 XO 内 O 外O(2)设bn 10g3 an,求数列 bn的前n项和Sn.2【答案】an 3n 1. (2) Sn nn2aq 3试题分析：(1)设an的公比为q,依题意得方程组 4a1q 81a1 1解得 ,即可写出通项公式q 3(2)因为bn 1og3an n 1,利用等差数列的求和公式即得试题解析：设an的公比为q,依题意得 aq 3a1q4 81a1 1解得
20、 ,q 3因此，an 3nl.(2)因为 bn 1og3an n 1,所以数列bn的前n项和Sn n(b1 bn) nL2 2考点：等比数列、等差数列 .120.已知函数 f(x) cosx(sin x cosx)-.(1)若0 ，且sin ，求f ()的值；2 2(2)求函数f(x)的最小正周期及函数 f(x)在0,一上单调递减区间 2 ， 1【答案】(1) f 一(2)周期为 ，一 2 8 2【解析】【分析】(1)由题意利用同角三角函数的基本关系求得 f (a)的值；(2)利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性得出结论.【详解】解：(1)所以cos所以f(2)
21、f1 sin222sin 2x 一2 4因为0 万，且sin 券，2.2 .2 2 1 12 2 2 2 2xsinxcosxcos x1 c一 cos2x ,2x22 1当0再由x 一时，2一 2x4得，44854x ,222x -4函数f【点睛】x在0,上的递减区间为 一，一8 2所以f x的最小正周期为本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性， 属于中档题.21 .如图，某公园有三条观光大道 AB、BC、AC围成直角三角形，其中直角边BC 200m ,斜边 AB 400m .(1)若甲乙都以每分钟 100 m的速度从点B出发，甲沿BA运动，乙沿BC运动，乙比甲迟2分钟出发，求乙出发后的第 1分钟末甲乙之间的距离；(2)现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点 D、E、F,设 CEF ，乙丙之间的距离EF是甲乙之间距离 DE的2倍，且 DEF ,请将甲乙之间的距离 DE y表 3，示为 的函数，并求甲乙之间的最小距离 .50.3【答案】(1) 100m; (2)
