1、科普趣文数学悖论奇景窗体顶端科普趣文 数学悖论奇景窗体底端2006-06-25 13:48:27 来自: Bork (海口) “悖论”这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论。那些结论会使我们惊讶无比。悖论主要有三种形式：1.一种论断看起来好象肯定错了，实际上却是对的（佯谬）；2.一种论断看起来好象肯定对了，实际上却错了（似是而非）；3.一系列理论看起来好象无懈可击，却导致了逻辑上自相矛盾。 悖论有点象变戏法，人们看完以后，几乎没有一个不惊讶得马上就想知道：“这套戏法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他后，他便不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界中。 著名的科学美国人杂志
2、社编的数学悖论奇景中，有不少生动而奇妙的题目，下面几则便选自其中。有的题目作了简略的分析，有的只提出问题，留待读者去思索。 1.唐吉诃德悖论 小说唐吉诃德里描写过一个国家，它有一条奇怪的法律，每个旅游者都要回答一个问题：“你来这里做什么？”回答对了，一切都好办；回答错了，就要被绞死。 一天，有个旅游者回答：“我来这里是要被绞死。” 旅游者被送到国王那里。国王苦苦想了好久：他回答得是对还是错？究竟要不要把他绞死。如果说他回答得对，那就不要绞死他可这样一来，他的回答又成了错的了！如果说他回答错了，那就要绞死他但这恰恰又证明他回答对了。实在是左右为难！ 2.梵学者的预言 一天，梵学者与他的女儿苏耶发
3、生了争论。 苏椰：你是一个大骗子，爸爸。你根本不能预言未来。 学者：我肯定能。 苏椰：不，你不能。我现在就可以证明它！ 苏椰在一张纸上写了一些字，折起来，压在水晶球下。她说： “我写了一件事，它在3点钟前可能发生，也可能不发生。请你预言它究竟是不是会发生，在这张白卡片上写下是字或不字。要是你写错了，你答应现在就买辆汽车给我，不要拖到以后好吗？” “好，一言为定。”学者在卡片上写了一个字。 3点钟时，苏椰把水晶球下面的纸拿出来，高声读道：“在下午3点以前，你将写一个不字在卡片上。” 学者在卡片上写的是“是”字，他预言错了：“在下午3点以前，写一个不字在卡片上”这一件事并未发生。但如果他在卡片上写
4、的是“不”呢？也还错！因为写“不”就表示他预言卡片上的事不会发生，但它恰恰发生了他在卡片上写的就是一个不字。 苏椰笑了：“我想要一辆红色的赛车，爸爸，要带斗形座的。” 3.意想不到的老虎 公主要和迈克结婚，国王提出一个条件： “我亲爱的，如果迈克打死这五个门后藏着的一只老虎，你就可以和他结婚。迈克必须顺次序开门，从1号门开始。他事先不知道哪个房间里有老虎，只有开了那扇门才知道。这只老虎的出现将是料想不到的。” 迈克看着这些门，对自己说道： “如果我打开了四个空房间的门，我就会知道老虎在第五个房间。可是，国王说我不能事先知道它在哪里，所以老虎不可能在第五个房间。” “五被排除了，所以老虎必然在前
5、四个房间内。同样的推理，老虎也不会在最后一个房间第四间内。” 按同样的理由推下去，迈克证明老虎不能在第三、第二和第一个房间。迈克十分快乐，他满怀信心地去看门。使他惊骇的是，老虎从第二个房间跳了出来。 迈克的推理并没有错，但他失败了。老虎的出现完全出乎意料，表明国王遵守了他的诺言。也许，迈克进行推理的本身就与国王关于老虎“料想不到”的条件发生了矛盾。迄今为止，逻辑学家对于迈克究竟错在哪里还末得到一致意见。 4.钱包游戏 史密斯教授和两个学生一道吃午饭。教授说：“我来告诉你们一个新游戏。把你们的钱包放在桌子上，我来数里面的钱。钱少的人可以赢掉另一个钱包中的所有钱。” 学生甲想：“如果我的钱多，就会
6、输掉我这些钱；如果他的多，我就会赢多于我的钱。所以赢的要比输的多，这个游戏对我有利。” 同样的道理，学生乙也认为这个游戏对他有利。 一个游戏怎么会对双方都有利呢？ 5.一块钱哪儿去了？ 一个唱片商店里，卖30张老式硬唱片，一块钱两张；另外30张软唱片是一块钱三张。那天，这60张唱片卖光了。30张硬唱片收入15元，30张软唱片收入10元，总共是25元。 第二天，老板又拿出60张唱片。他想：“如果30张唱片是一块钱卖两张，30张是一块钱卖三张，何不放在一起，两块钱卖5张呢？”这一天，60张唱片全按两块钱5张卖出去了。老板点钱时才发现，只卖得24元，而不是25元。 这一块钱到哪儿去了呢？ 6.惊人的
7、编码 外星的一位科学家基塔先生，来到地球收集人类的资料，遇到了赫尔曼博士。 赫尔曼：“你何不带一套大英百科全书回去？这套书最全面地汇总了我们的所有知识。” 基塔：“可惜，我带不走那么重的东西。不过，我可以把整套百科全书编码，然后只要在这根金属棒上作个标记，就代表了百科全书中的全部信息。”真是再简单不过了！ 基塔先生是怎样做到的呢？ 基塔：“我先把每个字母、数字、符号，都用一个数来代表，零用来隔开它们。例如cat一词就编为301022。我用高级袖珍计算机快速扫描，就能把百科全书的全部内容转变为一个庞大的数字。前面加一个小数点，就使它变成了一个十进制的分数，例如0.2015015011 基塔先生在
8、金属棒上找到了一个点，这个点将棒分为a和b两段，而ab刚好等于上面那个十进制分数值。 基塔：“回去后，测出a和b的值，就求出了它们的比值；根据编码的规定，你们的百科全书就被破译出来了。” 这样，基塔离开地球时只带了一根金属棒，而他却已“满载而归”了！ 7.不可逃遁的点 帕特先生沿着一条小路上山。他早晨七点动身，当晚七点到达山顶。第二天早晨沿同一小路下，晚上七点又回到山脚，遇见了拓扑学老师克莱因。 克莱因：“帕特，你可曾知道你今天下山时走过这样一个地点，你通过这点的时刻恰好与你昨天上山时通过这点的时刻完全相同？” 帕特：“这绝不可能！我走路时快时慢，有时还停下来休息。” 克莱因：“当你开始下山时
9、，设想你有一个替身同时开始登山，这个替身登山的过程同你昨天登山时完全相同。你和这个替身必定要相遇。我不能断定你们在哪一点相遇，但一定会有这样一点。” 帕特明白了。你明白了吗？ 8.橡皮绳上的蠕虫 橡皮绳长1公里,一条蠕虫在它的一端。蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行；而橡皮绳每过1秒钟就拉长1公里。如此下去，蠕虫最后究竟会不会到达终点呢？ 乍一想，随着橡皮绳的拉伸，蠕虫离终点越来越远了。但细心的读者会想到：随着橡皮绳的每次拉伸，蠕虫也向前挪了。 如果用数学公式表示，蠕虫在第n秒未在橡皮绳上的位置，表示为整条绳的分数就是（推导过程从略）： 当n足够大（约为e100000）时，上式的值就超过了
10、1，也就是说蠕虫爬到了终点。 9.棘手的电灯 一盏电灯，用按钮来开关。假定把灯拧开一分钟，然后关掉半分钟，再拧开1/4分钟，再关掉18分钟，如此往复，这一过程的末了恰好是两分钟。 那么，在这一过程结束时，电灯是开着，还是关着？这个问题实在是难！ 10.数的“金蝉出壳”法 数论中有许多题材使人沉湎其中，往往乐而忘返。所以，这门学科自古以来，就吸引着人们去探索。 通俗性与公证性是数论的两大特点，。这就是说，有些题目，虽然其推证方法与导出过程极其复杂深奥，可是它的结果却是人人都能理解、都能欣赏、都能鉴别的。这就像磁铁一样，有一种无形的吸引力，把越来越多的业余爱好者吸引了过去。 现在请看两组自然数，每
11、组各有三个数，每个都是六位数字。把这两组数分别相加，就会发现它们的和是完全相等的，即： 123789+561945+642864 =242868+323787+761943 这样的性质，自然算不上什么稀罕。可是，要知道它们各自的平方之和也是相等的，那就是说： 123789123789+561945561945+642864642864 =242868242868+323787323787+761943761943 如果不信，请算一算吧!算过以后，你也许会伸伸舌头，说一声：“妙啊!” 且慢，真正的妙事还在后头呢!请把每个数的最左边一位数字都抹掉，你会发现，对剩下的数来说，上述的奇妙关系仍然成立，
12、即： 23789+61945+42864=42868+23787+61943 2378923789+6194561945+4286442864=4286842868+2378723787+6194361943 事情真怪。让我们再抹掉每个数最左边的一位数字试试看吧!通过计算，上述性质依然保存着： 3789+1945+2864=2868+3787+1943 37893789+19451945+28642864=28682868+37873787+19431943 现在，我们索性一不做、二不休，继续干下去了。我们发现，尽管每次抹掉最左边的一位数字，可是这种奇妙的性质总是被“原封不动”地保存了下来：
13、789+945+864=868+787+943 789789+945945+864864=868868+787787+943943 89+45+64=68+87+43 8989+4545+6464=6868+8787+4343 直到最后只剩下个位数，这一“性质”依旧“巍然不动”： 9+5+4=8+7+3 99+55+44=88+77+33 这就像“金蝉脱壳”一般，脱到最后一层，金蝉却还是货真价实的金蝉，其“个性”可谓“至死不变”矣。 现在我们还是从原来的两组数出发，可是这一次却“反其道而行之”，即把两组数的数字逐个逐个地从右边抹掉。 经过这样的剧烈变动，这种性质总不见得保持下来了吧?可是，与人
14、们预料的相反，这种性质居然还是保存了下来： 12378+56194+64286=24286+32378+76194 1237812378+561948561948+6428664286=2428624286+3237832378+7619476194 直到最后抹得只剩下个位数时也是如此： 1+5+6=2+3+7 11+55+66=22+33+77 这类问题在数论上叫做“等幂和问题”，在国内外，它一直吸引着大批爱好者，但至今仍未能彻底解决。 11.趣题的讨论 1、“先说第一道。”爸爸说，“有一位女士养了10只母狗，却没有1只母狗生了10只小狗。必定至少有两只母狗生有同样多的小狗，是吗?” “未必
15、。”托尼答道。 “我认为必定是这样。”查理持不同意见。 兄弟俩谁说的对?为什么? 2、“在第一题中，”爸爸补充说，“如果10只母狗每只至少生有1只小狗，但最多不到10只小狗。你俩想一想，答案又如何呢?” “必定至少有两只母狗生有同样多的小狗。”托尼的回答很肯定。 “未必是这样。”查理答道。 兄弟俩谁说的对?为什么? 3、“有甲、乙两个人在喝茶。”爸爸接着又出题了，“其中甲对乙说：我敢跟你打赌，此时此刻我衣袋里的钱至少是你的两倍!乙听后很不服气，对甲说：我也敢跟你打赌，此时此刻我衣袋里的钱刚好是你的两倍!” “结果，”爸爸继续说，“这两个人要么就都赢了，要么就都输了。你们能说出这两个人是都赢了还
16、是都输了呢?” “能说出，显然都输了。”托尼说。 “不能说出，也有可能都赢了。”查理说。 兄弟俩谁说的对?为什么? 4、“昨天，我去拜访了一位叫吉米的朋友，吉米的家有两个花园。”爸爸的新题又开始了，“我数了一下其中一个花园里的花，刚好是50朵。不过这些花只有两种颜色红的和蓝的。然后我观察到，不论我摘哪两朵花，其中必定有1朵是蓝的。据此，你们能说出红花和蓝花各有多少吗?” “不能说出，由于这道题所给的条件不够充分，因此无法解。”托尼摇着头说。 “完全能说出，由于这道题所给的条件足够充分，因此可以解。”查理点着头说。 兄弟俩谁说的对?为什么? 5、“在吉米家的另一个花园里，种有红、黄、蓝3种花。”
17、爸爸眯缝着眼，一字一顿地微笑道，“我观察到，不论我摘哪3朵花，至少有1朵是蓝的；我还观察到，不论我摘哪3朵花，至少有1朵是红的。据此就可以类推不论我摘哪3朵花，至少有1朵是黄的吗?” “可以类推。”托尼说。 “不能类推。”查理说。 兄弟俩谁说的对?为什么?4.钱包游戏 史密斯教授和两个学生一道吃午饭。教授说：“我来告诉你们一个新游戏。把你们的钱包放在桌子上，我来数里面的钱。钱少的人可以赢掉另一个钱包中的所有钱。” 学生甲想：“如果我的钱多，就会输掉我这些钱；如果他的多，我就会赢多于我的钱。所以赢的要比输的多，这个游戏对我有利。” 同样的道理，学生乙也认为这个游戏对他有利。 一个游戏怎么会对双方
18、都有利呢？ 这一则好像很有名阿，前两个星期听一个伯克莱的博士生讲这个问题，解决方式好像是个不同的数值不同的可能性。好像现代统计学在提出新的理论，假如主观的因素来计算概率。我说不好。 我自己的问题也有了答案，首先要证明可能性的话，要用Halls marriage theorem，我还不大懂。具体的algorithm好像是用一点简单的modular arithmetic,我也不确定具体怎么做。要在想一下。 2006-08-25 13:00:21 New Life 唐吉诃德悖论 小说唐吉诃德里描写过一个国家，它有一条奇怪的法律，每个旅游者都要回答一个问题：“你来这里做什么？”回答对了，一切都好办；回
19、答错了，就要被绞死。 一天，有个旅游者回答：“我来这里是要被绞死。” 旅游者被送到国王那里。国王苦苦想了好久：他回答得是对还是错？究竟要不要把他绞死。如果说他回答得对，那就不要绞死他可这样一来，他的回答又成了错的了！如果说他回答错了，那就要绞死他但这恰恰又证明他回答对了。实在是左右为难！ = 这个有什么为难的呢? 其实国王可以这样想啊,这个人明明目的是想通过谬论这个方法达到去旅游的目的，可是却说要去死,就是在说谎啊,应该绞死他才对. 2006-08-25 15:56:43 dobro 前两题都是常见的悖论，在许多逻辑学教材中都可以看到相关的论述。 3题除了有关逻辑后还是动态博弈的一种情况。博弈
20、的双方是国王（或门）和迈可，国王负责让“料想不到”这个条件始终为真，而迈可则试图推出老虎出现在那个门。 迈可的第一个推理的结论对于他使用的前提而言是正确的，但他忽略了他假设的前提开了四个空房间，并未出现（也不可能出现）。这个前提不可能出现，因为其本身也是一个悖论：即只有在开了四个房间还没踫到老虎，才能确定老虎在第五个房间，又因为我不可能在事先（即开最后一个门之前）知道老虎在哪里，所以当我确定老虎在第五个房间时，老虎必不可能在第五个房间。显然是矛盾的。同样的理由接下来的推理也只能在假设的前提中成立。 从博弈的角度来看，我们可以认为是国王和迈可博弈。国王根据迈可的推理调整老虎的位置使“料想不到”始
21、终为真。而迈可则试图猜测国王的安排。他忽略的是当老虎位置（可看做）是动态的，而他进行的却是静态的分析。当迈可猜到第五个房间时，老虎必不在第五个房间。当他在进行第二段推理，并排除了五后，老虎又有可能在第五个房间了，所以接下来的推理也都是错的。 4逻辑上来说一个零和游戏（的结果）是不可能同时对双方有利的。这个游戏显然也只能有一个人从最终的结果中获利。但这里有偷换概念之嫌：因为不在同样的预设中思考所以两人的想法是可以同时成立而不矛盾的。同时两人都从观念上认为对自己有利，也并不能推出游戏结果对双方都有利的结论。 博弈论中著名的例子“囚徒困境”也描述了类似的例子，两个囚徒都认为自己的决策对自己比较有利但
22、游戏的结果并非是对双方最有利的结果。 5如果以五张为一份并严格地在每五张唱片中搭配2张硬3张软，就会发现在卖了第10份（即第50张）后软唱片已经卖完了。所以当60张全卖完时，显然最后10张（2份）都是硬唱片。这10张硬唱片当成2份可以卖4块，而原来1块钱2张的方式可以卖5块钱，因而少卖了1块钱。 6这种方式理论上是可能的。现实的难点在于它的刻度的精度，以上面cat的编码0.301022为例，为了记录cat这3个字母你需要在1M长的金属棒中精确地找到这个点：0.7685095525.M处的点，这精度已经远远的小于原子核的精度级别。即便这是可能的，也还需要对计算出来的编码的结果的精度进行限定（因为
23、使用的是不定长的编码），因为0.301022与0.30102200000显然是不同的。所以在理想情况下一根金属棒加上一张纸也许能行。 7用了一种易于被理解的方式，说明了存在这样的点。 9无解。题中描述的开关状态的变化是一个随着接近两分钟而趋于无穷的序列。这道题的迷惑性在于，我们认为无论在开是关在跨过2分钟的那个点总该有个确定的状态。但假设在2分钟（或无限近于2分钟）那个点有一个确定的状态，则刻序列不成为无穷序列与无穷序列的前提相矛盾。有限的时间内是不可能有无数种状态的，并且也无法描述无穷序列的最后一个值。 这里可以找到更多的悖论： http:/www.oursci.org/lib/paradox/nav.html
