1、第一章 机械优化设计概述,第一节 应用实例 机械优化设计问题来源于生产实际。现在举典型实例来说明优化设计的基本问题。,图1-1所示的人字架由两个钢管构成，其顶点受外力2F=3 N。人字架的跨度2B=152cm,钢管壁厚T=0.25cm,钢管材料的弹性模量E=2.1 Mpa，材料密度=7.8/，许用压应力=420MPa。求在钢管压应力不超过许用压应力 和失稳临界应力 的条件下，人字架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。,图2-2 人字架的受力,人字架的优化设计问题归结为：,使结构质量,但应满足强度约束条件,稳定约束条件,钢管所受的压力,失稳的临界力,钢管所受的压应力,钢管的临界应力,强
2、度约束条件,可以写成,稳定约束条件,可以写成,人字架的总质量,这个优化问题是以D和h为设计变量的二维问题，且只有两个约束条件，可以用解析法求解。,除了解析法外，还可以采用作图法求解。,1-3人字架优化设计的图解,第三节优化设计问题的数学模型,一、设计变量,在优化设计的过程中，不断进行修改、调整，一直处于变化的参数称为设计变量。,设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示：,图2-4 设计空间,二、约束条件,一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。,约束,性能约束,侧面约束,针对性能要求,只对设计变量的取值范围限制（又称边界约束）,（按性质分）,按数学表
3、达形式分：,约束,等式约束,不等式约束,可行域：凡满足所有约束条件的设计点，它在设计空间的活动范围。,一般情况下，其设计可行域可表示为：,图2-5 二维问题的可行域,三、目标函数,目标函数是设计变量的函数，是设计中所追求的目标。如：轴的质量，弹簧的体积，齿轮的承载能力等。,在优化设计中，用目标函数的大小来衡量设计方案的优劣，故目标函数也可称评价函数。,目标函数的一般表示式为：,优化设计的目的就是要求所选择的设计变量使目标函数达到最佳值，即使,通常,目标函数,单目标设计问题,多目标设计问题,目前处理多目标设计问题的方法是组合成一个复合的目标函数，如采用线性加权的形式，即,四、优化问题的数学模型,
4、优化设计的数学模型是对优化设计问题的数学抽象。,优化设计问题的一般数学表达式为：,数学模型的分类：,(1)按数学模型中设计变量和参数的性质分：,确定型模型,随机型模型,设计变量和参数取值确定,设计变量和参数取值随机,(2)按目标函数和约束函数的性质分：,a.目标函数和约束函数都是设计变量的线形函数称为线性规划问题，其数学模型一般为：,b.若目标函数是设计变量的二次函数、约束是线性函数，则为二次规划问题。其一般表达式为：,五、优化问题的几何解释,无约束优化：在没有限制的条件下，对设计变量求目标函数的极小点。,其极小点在目标函数等值面的中心。,约束优化：在可行域内对设计变量求目标函数的极小点。,其
5、极小点在可行域内或在可行域边界上。,第四节优化设计问题的基本解法,求解优化问题的方法：,解析法,数值法,数学模型复杂时不便求解,可以处理复杂函数及没有数学表达式的优化设计问题,图1-11 寻求极值点的搜索过程,求解优化问题的基本解法有：,二、基本解法,解析法：即利用数学分析(微分、变分等）的方法，根据函数（泛函）极值的必要条件和充分条件求出其最优解析解的求解方法。在目标函数比较简单时，求解还可以。,局限性：工程优化问题的目标函数和约束条件往往比较复杂，有时甚至还无法用数学方程描述，在这种情况下应用数学分析方法就会带来麻烦。,最优化方法是与近代电子计算机的发展紧密相联系的，数值计算法比解析法更能
6、适应电子计算机的工作特点，因为数值计算的迭代方法具有以下特点：1）是数值计算而不是数学分析方法；2）具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算；3）最后得出的是逼近精确解的近似解。这些特点正与计算机的工作特点相一致。,数值迭代法的基本思路：是进行反复的数值计算，寻求目标函数值不断下降的可行计算点，直到最后获得足够精度的最优点。这种方法的求优过程大致可归纳为以下步骤：,1）首先初选一个尽可能靠近最小点的初始点X（0），从X（0）出发按照一定的原则寻找可行方向和初始步长，向前跨出一步达到X（1）点；2）得到新点X（1）后再选择一个新的使函数值迅速下降的方向及适当的步长，从X（1）点出发再跨出一
7、步，达到X（2）点，并依此类推，一步一步地向前探索并重复数值计算，最终达到目标函数的最优点。,1.求解步骤,在中间过程中每一步的迭代形式为：,图1-11 迭代计算机逐步逼近最优点过程示意图,上式中：X（k）第k步迭代计算所得到的点，称第k步迭代点，亦为第k步设计方案；a（k）第k步迭代计算的步长；S（k）第k步迭代计算的探索方向。,用迭代法逐步逼近最优点的探索过程如图1-8所示。,运用迭代法，每次迭代所得新的点的目标函数都应满足函数值下降的要求：,（1）选择搜索方向（2）确定步长因子（3）给定收敛准则,收敛：,迭代法要解决的问题：,2.迭代终止准则,（1）点距准则,或,（2）函数值下降量 准则,或,（3）目标函数梯度 准则,上述准则都在一定程度上反映了逼近最优点的程度，但都有一定的局限性。在实际应用中，可取其中一种或多种同时满足来进行判定。,采用哪种收敛准则，可视具体问题而定。可以取：,图1-12 优化设计流程,三、优化设计 一般步骤,
