1、集合的概念与运算 高考数学知识点总结 高考数学真题复习1.1集合的概念与运算【2014高考会这样考】1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力【复习备考要这样做】1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解1 集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN
2、*(或N)ZQR2. 集合间的关系(1)子集：对任意的xA，都有xB，则AB(或BA)(2)真子集：若AB，且AB，则A B(或B A)(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集即A， B(B)(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n1个(5)集合相等：若AB，且BA，则AB.3集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号ABx|xA或xBABx|xA且xBUAx|xU，且xA4. 集合的运算性质并集的性质：AA；AAA；ABBA；ABABA.交集的性质：A；AAA；ABBA；ABAAB.补集的性质：A(UA)U；A(UA)；U(UA)A.难点正本疑
3、点清源1 正确理解集合的概念正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误2 注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性例如：AB，则需考虑A和A两种可能的情况3 正确区分，0，是不含任何元素的集合，即空集0是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.是含有一个元素的集合0，0.1 (2012江苏)已知集合A1,2,4，B2,4,6，则AB_.答案1,2,4,6解析A
4、B是由A，B的所有元素组成的AB1,2,4,62 已知集合Ax|a1x1a，Bx|x25x40，若AB，则实数a的取值范围是_答案(2,3)解析集合B中，x25x40，x4或x1.又集合A中a1x1a.AB，a11，2a3.3 已知集合A1,2，Bx|mx10，若ABA，则m的可能取值组成的集合为_答案解析ABA，BA，当B时，m0；当1B时，m1；当2B时，m.m的值为0,1，.4 (2012江西)若集合A1,1，B0,2，则集合z|zxy，xA，yB中的元素的个数为 ()A5 B4 C3 D2答案C解析当x1，y0时，zxy1；当x1，y0时，zxy1；当x1，y2时，zxy1；当x1，y
5、2时，zxy3，由集合中元素的互异性可知集合z|zxy，xA，yB1,1,3，即元素的个数为3.5 (2011北京)已知集合Px|x21，Ma若PMP，则a的取值范围为()A(，1 B1，)C1,1 D(，11，)答案C解析由Px|x21得Px|1x1由PMP得MP.又Ma，1a1.题型一集合的基本概念例1(1)下列集合中表示同一集合的是 ()AM(3,2)，N(2,3)BM2,3，N3,2CM(x，y)|xy1，Ny|xy1DM2,3，N(2,3)(2)设a，bR，集合1，ab，a，则ba_.思维启迪：解决集合问题首先要考虑集合的“三性”：确定性、互异性、无序性，理解集合中元素的特征答案(1
6、)B(2)2解析(1)选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合选项C中的集合M表示由直线xy1上的所有的点组成的集合，集合N表示由直线xy1上的所有的点的纵坐标组成的集合，即Ny|xy1R，故集合M与N不是同一个集合选项D中的集合M有两个元素，而集合N只含有一个元素，故集合M与N不是同一个集合对选项B，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合(2)因为1，ab，a，a0，所以ab0，得1，所以a1，b1.所以ba2.探究提高(1)用描述法表示集合时要把握元素的特征，分清点集、数集；(2)要特别注意集合中元素的互异性
7、，在解题过程中最容易被忽视，因此要对计算结果进行检验，防止所得结果违背集合中元素的互异性若集合Ax|ax23x20的子集只有两个，则实数a_.答案0或解析集合A的子集只有两个，A中只有一个元素当a0时，x符合要求当a0时，(3)24a20，a.故a0或.题型二集合间的基本关系例2已知集合Ax|2x7，Bx|m1x2m1，若BA，求实数m的取值范围思维启迪：若BA，则B或B，要分两种情况讨论解当B时，有m12m1，则m2.当B时，若BA，如图则，解得2m4.综上，m的取值范围为m4.探究提高(1)集合中元素的互异性，可以作为解题的依据和突破口；(2)对于数集关系问题，往往利用数轴进行分析；(3)
8、对含参数的方程或不等式求解，要对参数进行分类讨论 已知集合Ax|log2x2，B(，a)，若AB，则实数a的取值范围是(c，)，其中c_.答案4解析由log2x2，得0x4，即Ax|04，即c4.题型三集合的基本运算例3设UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0若(UA)B，则m的值是_思维启迪：本题中的集合A，B均是一元二次方程的解集，其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m，需要对这个参数进行分类讨论，同时需要根据(UA)B对集合A，B的关系进行转化答案1或2解析A2，1，由(UA)B，得BA，方程x2(m1)xm0的判别式(m1)24m(m1)20，B.B1或B2或B1
9、，2若B1，则m1；若B2，则应有(m1)(2)(2)4，且m(2)(2)4，这两式不能同时成立，B2；若B1，2，则应有(m1)(1)(2)3，且m(1)(2)2，由这两式得m2.经检验知m1和m2符合条件m1或2.探究提高本题的主要难点有两个：一是集合A，B之间关系的确定；二是对集合B中方程的分类求解集合的交、并、补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过Venn图进行直观的分析不难找出来，如ABABA，(UA)BBA等，在解题中碰到这种情况时要善于转化，这是破解这类难点的一种极为有效的方法设全集是实数集R，Ax|2x27x30，Bx|x2a0(1)当a4时，求AB和AB；(
10、2)若(RA)BB，求实数a的取值范围解(1)Ax|x3，当a4时，Bx|2x2，ABx|x2，ABx|2x3(2)RAx|x3，当(RA)BB时，BRA，即AB.当B，即a0时，满足BRA；当B，即a0时，Bx|x，要使BRA，需，解得a0，xyV，D错误故选A.探究提高本题旨在考查我们接受和处理新信息的能力，解题时要充分理解题目的含义，进行全面分析，灵活处理已知集合S0,1,2,3,4,5，A是S的一个子集，当xA时，若有x1A，且x1A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有_个答案6解析由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如0,1,2,3
11、，0,1,3,4，0,1,4,5，1,2,3,4，1,2,4,5，2,3,4,5，这样的集合共有6个集合中元素特征认识不明致误典例：(5分)(2012课标全国)已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，则B中所含元素的个数为 ()A3B6C8D10易错分析本题属于创新型的概念理解题，准确地理解集合B是解决本题的关键，该题解题过程易出错的原因有两个，一是误以为集合B中的元素(x，y)不是有序数对，而是无序的两个数值；二是对于集合B的元素的性质中的“xA，yA，xyA”，只关注“xA，yA”，而忽视“xyA”的限制条件导致错解解析B(x，y)|xA，yA，xyA，A1,2,3
12、,4,5，x2，y1；x3，y1,2；x4，y1,2,3；x5，y1,2,3,4.B(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，B中所含元素的个数为10.答案D温馨提醒判断集合中元素的性质时要注意两个方面：一是要注意集合中代表元素的字母符号，区分x、y、(x，y)；二是准确把握元素所具有的性质特征，如集合x|yf(x)表示函数yf(x)的定义域，y|yf(x)表示函数yf(x)的值域，(x，y)|yf(x)表示函数yf(x)图象上的点遗忘空集致误典例：(4分)若集合Px|x2x60，Sx|ax10，且SP，则由a的可取
13、值组成的集合为_易错分析从集合的关系看，SP，则S或S，易遗忘S的情况解析(1)P3,2当a0时，S，满足SP；当a0时，方程ax10的解集为x，为满足SP可使3或2，即a或a.故所求集合为.答案温馨提醒(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征(2)在解答本题时，存在两个典型错误一是忽略对空集的讨论，如S时，a0；二是易忽略对字母的讨论如可以为3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解.方法与技巧1 集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化
14、2 对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号3 对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图这是数形结合思想的又一体现失误与防范1 空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解2 解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系3 解答集合题目，认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件4 Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实
15、心还是空心5 要注意AB、ABA、ABB、UAUB、A(UB)这五个关系式的等价性A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 (2012广东)设集合U1,2,3,4,5,6，M1,2,4，则UM等于 ()AU B1,3,5 C3,5,6 D2,4,6答案C解析U1,2,3,4,5,6，M1,2,4，UM3,5,62 (2011课标全国)已知集合M0,1,2,3,4，N1,3,5，PMN，则P的子集共有()A2个 B4个 C6个 D8个答案B解析M0,1,2,3,4，N1,3,5，MN1,3MN的子集共有224个3 (2012山东)已知全集U0,1,2,
16、3,4，集合A1,2,3，B2,4，则(UA)B为 ()A1,2,4 B2,3,4C0,2,4 D0,2,3,4答案C解析UA0,4，B2,4，(UA)B0,2,44 已知集合Mx|0，xR，Ny|y3x21，xR，则MN等于 ()A Bx|x1Cx|x1 Dx|x1或x1或x0，Mx|x1或x0，Ny|y1，MNx|x1二、填空题(每小题5分，共15分)5 已知集合A1,3，a，B1，a2a1，且BA，则a_.答案1或2解析由a2a13，得a1或a2，经检验符合由a2a1a，得a1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去故a1或2.6 已知集合A(0,1)，(1,1)，(1，2)，B(x，y)|
17、xy10，x，yZ，则AB_.答案(0,1)，(1,2)解析A、B都表示点集，AB即是由A中在直线xy10上的所有点组成的集合，代入验证即可7 (2012天津)已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_.答案11解析Ax|5x1，因为ABx|1xn，Bx|(xm)(x2)0，所以m1，n1.三、解答题(共22分)8 (10分)已知集合Ax|x22x30，Bx|x22mxm240，xR，mR(1)若AB0,3，求实数m的值；(2)若ARB，求实数m的取值范围解由已知得Ax|1x3，Bx|m2xm2(1)AB0,3，m2.(2)RBx|xm2，ARB，
18、m23或m25或m3.9 (12分)设符号是数集A中的一种运算：如果对于任意的x，yA，都有xyxyA，则称运算对集合A是封闭的设Ax|xmn，m、nZ，判断A对通常的实数的乘法运算是否封闭？解设xm1n1，ym2n2，那么xy(m1n1)(m2n2)(m1n2m2n1)m1m22n1n2.令mm1m22n1n2，nm1n2m2n1，则xymn，由于m1，n1，m2，n2R，所以m，nR.故A对通常的实数的乘法运算是封闭的B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 (2012湖北)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x1，Py|y，x2，则UP等
19、于 ()A. B. C(0，) D(，0答案A解析Uy|ylog2x，x1y|y0，Py|y，x2y|0y0，Nx|x24，则MN_.答案(1,2解析Mx|lg x0x|x1，Nx|x24x|2x2，MNx|x1x|2x2x|1x25 已知M(x，y)|a1，N(x，y)|(a21)x(a1)y15，若MN，则a的值为_答案1，1，4解析集合M表示挖去点(2,3)的直线，集合N表示一条直线，因此由MN知，点(2,3)在集合N所表示的直线上或两直线平行，由此求得a的值为1，1，4.6 设Ax|x|3，By|yx2t，若AB，则实数t的取值范围是_答案(，3)解析Ax|3x3，By|yt，由AB知，t0，By|yx2x，0x3(1)若AB，求a的取值范围；(2)当a取使不等式x21ax恒成立的a的最小值时，求(RA)B.解Ay|ya21，By|2y4(1)当AB时，a2或a.(2)由x21ax，得x2ax10，依题意a240，2a2.a的最小值为2.当a2时，Ay|y5RAy|2y5，(RA)By|2y4
