1、可取n1=（-1,2,1）,同理可得平面C1DF的一个法向量为n2=（2,-1,1）,故平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为=.4.（xx莆田模拟）二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为（）A.150 B.45 C.60 D.120【解析】选C.由条件知=0,=0,因为=+.所以|2=|2+|2+|2+2+2=62+42+82+268cos=（2）2.所以cos=-,则=120,即=60.所以二面角的大小为60.5.（xx泉州模拟）设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为
2、2,则点D1到平面A1BD的距离是（）A. B. C. D.【解析】选D.建立如图所示的空间直角坐标系,则D1（0,0,2）,A1（2,0,2）,D（0,0,0）,B（2,2,0）,所以=（2,0,0）,=（2,0,2）,=（2,2,0）.设平面A1BD的法向量为n=（x,y,z）,则令x=1,则n=（1,-1,-1）,所以点D1到平面A1BD的距离是d=.二、填空题（每小题5分,共15分）6.如图,在直三棱柱中,ACB=90,AC=BC=1,侧棱AA1=,M为A1B1的中点,则AM与平面AA1C1C所成角的正切值为.【解析】以C1为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x,y,z轴建
3、立空间直角坐标系,则平面AA1C1C的法向量为n=（0,1,0）,AM=-（1,0,）=,则直线AM与平面AA1C1C所成角的正弦值为sin=|cos|=,所以tan=.答案:7.已知点E,F分别在正方体ABCD -A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为.【解析】如图,建立空间直角坐标系Dxyz,设DA=1,由已知条件得A（1,0,0）,E,F,=,=,设平面AEF的法向量为n=（x,y,z）,面AEF与面ABC所成的二面角为,由图知为锐角,由得令y=1,z=-3,x=-1,则n=（-1,1,-3）,平面ABC的法向量
4、为m=（0,0,-1）,cos=|cos|=,tan=.8.（xx长沙模拟）如图,P-ABCD是正四棱锥,ABCD-A1B1C1D1是正方体,其中AB=2,PA=,则B1到平面PAD的距离为.【解题提示】以A1B1为x轴,A1D1为y轴,A1A为z轴建立空间直角坐标系,求出平面PAD的法向量,由的坐标,利用距离公式,即可得到结论.【解析】以A1B1为x轴,A1D1为y轴,A1A为z轴建立空间直角坐标系,则=（0,2,0）,=（1,1,2）,设平面PAD的法向量是m=（x,y,z）,所以由可得取z=1得m=（-2,0,1）,因为=（-2,0,2）,所以B1到平面PAD的距离d=.三、解答题（每小
5、题10分,共20分）9.（xx浙江高考）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D为B1C1的中点.（1）证明:A1D平面A1BC.（2）求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.【解析】方法一:（1）如图,以BC的中点O为坐标原点,以OB,OA,OA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则BC=AC=2,A1O=.易知A1（0,0,）,B（,0,0）,C（-,0,0）,A（0,0）,D（0,-,）,B1（,-,）,=（0,-,0）,=（-,-,）,=（-,0,0）,=（-2,0,0）,=（0,0,）,因为=
6、0,所以A1DOA1,又因为=0,所以A1DBC,又因为OA1BC=O,所以A1D平面A1BC.（2）设平面A1BD的法向量为m=（x,y,z）,由得取z=1,得m=（,0,1）,设平面B1BD的法向量为n=（a,b,c）,由取c=1,得n=（0,1）,m,n=,又因为该二面角为钝角,所以二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值为-.方法二:（1）取BC的中点E,连接A1E,AE,DE,由题意得A1E平面ABC,所以A1EAE,因为AB=AC,所以AEBC,A1EBC=E,故AE平面A1BC,由D,E分别是B1C1,BC的中点,得DEB1B且DE=B1B,所以DEA1A,DE=A1A,所以四边形
7、A1AED是平行四边形,故A1DAE,又因为AE平面A1BC,所以A1D平面A1BC.（2）作A1FBD,且A1FBD=F,连接B1F.由AE=BE=,A1EA=A1EB=90得A1B=A1A=4,由A1D=B1D,A1B=B1B,得A1DBB1DB,由A1FBD,得B1FBD,因此A1FB1为二面角A1-BD-B1的平面角,由A1D=,A1B=4,DA1B=90,得BD=3,A1F=B1F=,由余弦定理得cosA1FB1=-.10.（xx唐山模拟）如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AB=2AD=2,BD=,PD底面ABCD.平面PBC平面PBD.（2）若二面角P-BC
8、-D为,求AP与平面PBC所成角的正弦值.【解析】（1）因为CD2=BC2+BD2,所以BCBD.又因为PD底面ABCD,所以PDBC.又因为PDBD=D,所以BC平面PBD.而BC平面PBC,所以平面PBC平面PBD.（2）由（1）所证,BC平面PBD,所以PBD即为二面角P-BC-D的平面角,即PBD=.因为BD=,所以PD=1.分别以DA,DB,DP为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A（1,0,0）,B（0,0）,C（-1,0）,P（0,0,1）.所以=（-1,0,1）,=（-1,0,0）,=（0,-,1）.设平面PBC的法向量为n=（a,b,c）,则即可解得平面PBC的一个法向量
9、为n=（0,1,）,所以AP与平面PBC所成角的正弦值为sin=.（20分钟40分）1.（5分）如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,且BC平面PAB,PAAB,M为PB的中点,PA=AD=2.若AB=1,则二面角B-AC-M的余弦值为.【解析】因为BC平面PAB,ADBC,所以AD平面PAB,PAAD,又PAAB,且ADAB=A,所以PA平面ABCD.以点A为坐标原点,分别以AD,AB,AP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A（0,0,0）,C（2,1,0）,P（0,0,2）,B（0,1,0）,M.所以=（2,1,0）,=,求得平面AMC
10、的一个法向量为n=（1,-2,1）,又平面ABC的一个法向量为=（0,0,2）,n,= =.所以二面角B-AC-M的余弦值为.2.（5分）（xx衡阳模拟）正四棱锥S-ABCD中,O为顶点S在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角的大小为.【解析】如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A（a,0,0）,B（0,a,0）,C（-a,0,0）,P.则=（2a,0,0）,=,=（a,a,0）.设平面PAC的法向量为n,可求得n=（0,1,1）,则cos=.所以,所以直线BC与平面PAC的夹角为90-60=30303.
11、（5分）（xx孝感模拟）如图,BCD与MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,AB=2.则点A到平面MBC的距离为.【解析】取CD中点O,连接OB,OM,则OBCD,OMCD.又平面MCD平面BCD,则MO平面BCD.取O为原点,直线OC,BO,OM为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.OB=OM=,则各点坐标分别为C（1,0,0）,M（0,0,）,B（0,-,0）,A（0,-,2）.则=（1,0）,=（0,）,设n=（x,y,z）是平面MBC的法向量,由n,得x+y=0;由n,得y+z=0.取n=（,-1,1）,=（0,0,2）,则d=.4.（12分）
12、（xx天津高考）如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A底面ABCD,ABAC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.（1）求证:MN平面ABCD.（2）求二面角D1-AC-B1的正弦值.（3）设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长.【解析】如图,以A为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A（0,0,0）,C（2,0,0）,D（1,-2,0）,B1（0,1,2）,D1（1,-2,2）.（1）因为M,N分别为B1C和D1D的中点,得M,N（1,-2,1）,所以=.依题意,可得n=（0,0,1）为平面
13、ABCD的一个法向量.由此可得n=0,又因为直线MN平面ABCD,所以MN平面ABCD.（2）=（1,-2,2）,=（2,0,0）,=（0,1,2）.设n1=（x1,y1,z1）为平面ACD1的法向量,则即不妨设z1=1,可得n1=（0,1,1）.设n2=（x2,y2,z2）为平面ACB1的法向量,不妨设z2=1,可得n2=（0,-2,1）.因此有cos=-,于是sin所以,二面角D1-AC-B1的正弦值为.（3）设直线NE与平面ABCD所成角为,依题意,可设=,其中,则E,从而=.又n=为平面ABCD的一个法向量,由已知,得sin=|cos|=,整理得2+4-3=0,又因为,解得=-2.所以
14、,线段A1E的长为-2.5.（13分）如图1,在平面四边形ACPE中,D为AC的中点,AD=DC=PD=2,AE=1,且AEAC,PDAC,沿PD折起使ADC=90,得到立体图形如图2,又B为平面ADC内一点,并且ABCD为正方形,设F,G,H分别为PB,EB,PC的中点.（1）求三棱锥P-GHF的体积.（2）在线段PC上是否存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60?若存在,求出线段PM的长;若不存在,请说明理由.（1）因为F,G分别为PB,BE的中点,所以FGPE.又FG平面PEAD,PE平面PEAD,所以FG平面PEAD,同理FH平面PEAD,FGFH=F,所以平面GHF平面PEAD.
15、又HFBCAD,GFPE,所以HF与GF的夹角等于AD与PE的夹角（设为）,易求sin=.因为平面GHF平面PEAD,所以点P到平面GHF的距离即点H到平面PEAD的距离.过H作PD的垂线,垂足为N,则HN=1为点P到平面GHF的距离.所以VP-GFH=11=.（2）因为PDAD,PDCD,ADCD=D,所以PD平面ABCD.又因为四边形ABCD是正方形,所以ADCD.如图,建立空间直角坐标系,因为AD=PD=2EA=2,所以D（0,0,0）,P（0,0,2）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,B（2,2,0）,E（2,0,1）,F（1,1,1）.假设在线段PC上存在一点M使直线FM与直线PA所成角为60.依题意可设=,其中01.由=（0,2,-2）,则=（0,2,-2）.又因为=+,=（-1,-1,1）,所以=（-1,2-1,1-2）.因为直线FM与直线PA所成角为60=（2,0,-2）,所以|cos|=,即=,解得=,所以=,|=.所以在线段PC上存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60,此时PM=.
