1、历年考研数学高等数学基础讲义考研数学高等数学基础讲义第一讲 极限 1第二讲 高等数学的基本概念串讲 9第三讲 高等数学的基本计算串讲 13第四讲 高等数学的基本定理串讲 24第五讲 微分方程 27第六讲 多元函数微积分初步 29第一讲 极限核心考点概述1.极限的定义2.极限的性质3.极限的计算4.连续与间断内容展开一、极限的定义1. lim 是什么？ lim 是什么？x n（1）lim 的情况：x“ x ”代表六种情形： x x , x x+, x x-, x , x +, x -0 0 0函数极限运算的过程性必须保证在作极限运算的过程中函数处处有定义，否则极限过程便无从谈起，于是极限就不会存
2、在了。比如下面这个例子：sin x sin 1 x 【例】计算limx0 .x sin 1x1事实上，在 x = 0 点的任一小的去心邻域内，总有点 x = 0（| k | 为充分大的正整数），ksin x sin 1 sin x sin 1 x x 使 在该点没有定义，故lim 不存在.x sin 1xx0x sin 1x（2）lim 是什么？n2.极限的定义（1）函数极限的定义：lim f (x) = A 0, 0, 当0 xx0x - x0 时，恒有f (x) - A 0, N 0, 当n N 时，恒有 x - a 0 ，X 0 ，当 x X 时，恒有件；f (x) - A e10 ”是
3、“ limx+f (x) = A ”的充要条（ 2 ）“ 正整数 N ， 正整数 K ，当 0 0 ，则当 x 时， f (x) 0 .x【例】设lim f (x) = f (0) ，且limf (x)= 2 ，则 x = 0 是x0x0 1- cos x（A）极大值点 （B）极小值点 （C）不是极值点 （D）无法判断三、极限的计算1.函数极限的计算（1）化简先行【例 1】求极限lim2 + sin x (sin x - x)3x0 tan x3【例 2】求极限limx01+ 3x - 3 1+ 5x x（2）基本的七种未定型0第一组：0 0 2ex - e2-2cos x【例 1】求极限li
4、mx0 x4【例 2】求极限lim ln x ln(1- x)x1-第二组： - 有分母，则通分【例】求极限lim(x01 cos2 x-sin2 x x2 )4没有分母，创造分母，再通分1【例】求极限 lim x2 (e x -1) - xx+第三组： 000 1【例 1】求极限 lim (x +x+ 11+ x2 ) x1【例 2】求极限lim(tan x) cos x-sin x x4（3）核心工具泰勒公式牢记 8 个公式sin x = x - 1 x3 + o(x3 ) 6arcsin x = x + 1 x3 + o(x3 )6tan x = x + 1 x3 + o(x3 ) 3a
5、rctan x = x - 1 x3 + o(x3 )3cos x = 1- 1 x2 +21 x4 + o(x4 )24ln(1+ x) = x - 1 x2 + 1 x3 + o(x3 )2 3ex = 1+ x + 1 x2 + 1 x3 + o(x3 )2 6(1+ x) = 1+ x + ( -1) x2 + o(x2 )25掌握两个展开原则i. A 型上下同阶原则B【例】limx01+ x +x1- x - 22ii. A - B 型幂次最低原则【例】已知 x 0 时， cos x - e- x22 与cxk 为等价无穷小，求c, k .【练习】设 p(x) = a + bx +
6、cx2 + dx3 ，当 x 0 时，若 p(x) - tan x 与 x3 为同阶无穷小， 求a, b, c, d .2.数列极限的计算（1）将 xn 连续化，转化为函数的极限【例】lim(n ntan1) )n2n6（2）当数列通项为具体已知时，通常的解法为：1)夹逼准则， 2)定积分定义， 3)利用幂级数求和（仅数学一要求），【例】lim 1 + 2 + . + n n n2 + n +1 n2 + n + 2 n2 + n + n （3）当数列通项由递推关系式an = f (an-1 )给出时，通常使用单调有界准则【例】设a 0, x1 0, xn+1 =(2xn + 2nn = 1,
7、2,，证明x 收敛并求lim x .n四、连续与间断1.由于“一切初等函数在其定义区间内必连续”，则只需考虑两类特殊的点：函数的无定义点和分段函数的分段点.2.所谓连续limx x0f (x) =f (x0 ) f (x) 在 x = x0 处连续3.所谓间断（1）跳跃间断点： limxx+f (x) limx x-f (x)7（2）可去间断点： limx x+f (x) = limx x-f (x) f (x0 )（3）无穷间断点： limx x+f (x) = 或 limx x-f (x) = （4）振荡间断点： limx x+f (x) 或 limx x-f (x) 振荡 ln(1+ a
8、x3 ), x 0（I） f (x) 在 x = 0 连续；（II） x = 0 是 f (x) 的可去间断点.8第二讲 高等数学的基本概念串讲核心考点概述内容展开一、一元函数微分需的概念及使用1.考查导数定义的基本形式ln(1 - 2x) + 2xf (x)【例】设 0 ， f (x) 在- , 上有定义， f (0) = 1,且满足limx0 x 2= 0 ,证明 f (0) 存在，并求 f (0) .2.考查导数定义中增量的广义化【例】设 f (0) = 0 ，下列命题能确定 f (0) 存在的是( )（A） limh0f (1- cosh)h2存在 （B） limh0f (1- eh
9、)存在h（C） limh0f (h - sinh)h2存在 （D） limh0f (2h) - f (h)存在h9二、一元函数积分学的概念及其使用1.不定积分、变限积分和定积分（1）不定积分原函数与不定积分 设函数 f ( x) 定义在某区间 I 上， 若存在可导函数 F ( x) ，对于该区间上任一点都有 F( x) = f ( x) 成立，则称 F ( x) 是 f ( x) 在区间 I 上的一个原函数. 称 f (x)dx =F (x) + C为 f ( x) 在区间 I 上的不定积分，其中C 为任意常数.【注】谈到函数 f ( x) 的原函数与不定积分，必须指明 f (x) 所定义的区
10、间.x【例 1】试证明：如果函数 f ( x) 在a, b 上连续，则函数 F (x) = a f (t)dt 在a, b 上可导，且 F ( x) =f ( x) （本题即为变限积分函数求导的知识点）.【例 2】试证明：含有第一类间断点、无穷间断点的函数 f ( x) 在包含该间断点的区间内必没有原函数 F ( x) .【注】第二类振荡间断点是否有原函数呢？举例说来，对于f (x) =2x sin1 - cos 1 ,x x0,x 0,，x = 0,其在(-,+) 上不连续，它有一个第二类振荡间断点 x = 0 ，但是它在(-,+) 上存10在原函数 F (x) = x2 sin 1 , x
11、 0,x即，对于(-,+) 上任一点都有 F( x) = f ( x) 成立. 0,x = 0.综合以上几点，可以得出重要结论：可导函数 F ( x) 求导后的函数 F( x) = f ( x) 不一定是连续函数，但是如果有间断点，一定是第二类间断点（在考研的范畴内，只能是振荡间断点）.（2）定积分定积分存在定理 定积分的存在性，也称之为一元函数的（常义）可积性. 这里的“常义”是指“区间有限，函数有界”，也有人称为“黎曼”可积性，与后面要谈到的“区间无穷，函数无界”的“反常”积分有所区别. 在本讲中所谈到的可积性都是指的常义可积性.a【注】事实上，还有一个使得定积分存在的充分条件：若 f (
12、x) 在a, b 上单调，则b f (x)dx存在，不过考试大纲对此没有做要求，考生知道即可.【例】在区间-1, 2上，以下四个结论， 2, f (x) = 1,x 0x = 0 ，有原函数，但其定积分不存在；-1,x 0, a 1)d log a x =dx x ln a(a 0, a 1)(ln x) = 1x(a x ) = a x ln a (a 0, a 1)(e x ) = exd ln x = 1 dxxdax = a x ln adx (a 0, a 1)dex = exdx(arcsin x) =11 - x 2d arcsin x =1 dx1 - x 2(arccos x
13、) = -(arctan x) =11 - x 21d arccos x = -d arctan x =1 dx1 - x 21 dx1 + x 2 1 + x 2(arc cot x) = -11 + x 2darc cot x = -1 dx1 + x 2ln(x +ln(x +x 2 + a 2 ) = 1 x 2 + a 2x 2 - a 2 ) = 1 x 2 - a 2d ln(x +d ln(x +x 2 + a 2 )= 1 dxx 2 + a 2x 2 - a 2 )= 1 dxx 2 - a 2二、一元函数积分学的基本计算1.凑微分法（1）基本思想 f g(x)g(x)dx
14、 = f g(x)dg(x) = f (u)du当被积函数比较复杂时，拿出一部分放到 d 后面去，若能凑成 f (u)du 的形式，则凑微分成功.（2）归纳总结凑微分的思维结构熟练掌握教材中的基本积分公式及常用的凑微分公式.f (x)当被积函数可分为 f (x)g(x) 或g(x)时，其中 f (x) 较复杂时，对 f (x) 求导数（或其主要部分）求导，一般得到 g(x) 的倍数，既可以是常数倍，也可以是函数倍，从而凑微分进行计算.当对 f (x) 求导得不到 g(x) 的倍数时，考虑“被积函数的分子分母”，同乘以或同除以一个适当的因子，恒等变形以达到凑微分的目的.一般而言，因子应根据题设函数给出，常用的有e x ， x ， sin x ， cos x 等.17cos2 x - sin x【例】求 cos x(1+ cos xesin x )dx2.换元法（1）基本思想 f (x)dxx = g(u) f g(u)dg(u)u = g -1= f g(u)g(u)du( x) u = g -1( x)当被积函数不容易积分（比如含有根式，含有反三角函数）时，可以
