1、高中数学必修2第四章第三节空间直角坐标系全套教案 空间直角坐标系课时分配第一课空间直角坐标系1个课时第二课空间两点间的距离公式1个课时第三课复习1个课时4.3.1空间直角坐标系【教学目标】知识与技能：（1）能说出空间直角坐标系的构成，特征。（2）会自己画出空间直角坐标系。（3）能够在空间直角坐标系下表示点。过程与方法：通过尝试建立空间直角坐标系的过程，体会空间直角坐标系的特点，以及空间直角坐标系中点的坐标特点及规律。情感态度与价值观：通过本节的探究性学习，培养严谨的学习态度以及勇于探索的学习精神。【教学重点难点】教学重点：空间直角坐标系的建立过程。教学难点：空间中任意点的坐标表示。【学前准备】
2、：多媒体，预习例题 教学课程 第一课教学环节导案/学案师生互动/随堂测试备注一、复习引入（5分钟）问题1.在初中，我们已经学习过数轴，那么什么是数轴？决定数轴的因素有哪些？数轴上的点如何表示？ （1）数轴是规定了原点，正方向，单位长度的直线。（2）数轴上的点可用与这个点对应的实数X来表示。问题2. 在初中，我们已经学习过平面直角坐标系，那么如何建立平面直角坐标系？决定数轴的因素有哪些？平面直角坐标系上的点如何表示？（1）平面直角坐标系是由两条原点重合、相互垂直的数轴组成的。（2）平面直角坐标系上的点用它对应的横纵坐标（x,y）表示。.如何确定教室里某位同学的头所在的位置？学生思考回答，由教师归
3、纳，引导学生得出至少需要三个实数来表示这位同学的头所在的位置二.探究新知（25分钟）1空间直角坐标系的建立 教师及时给出建立空间直角坐标系的方法。如图，OABC-DABC是单位正方体以O为原点，分别以射线OA,OC,OD的方向为正方向，以线段OA,OC,OD的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y 轴、z 轴这时我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz，其中点O 叫做坐标原点， x轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz平面、zOx平面强调：（1）在空间取定一点O（原点） （2）从O出发引三条两两垂直的直线（坐标轴） （3）选定某个长度作为单位长
4、度。 xoy=135, yoz=90教师及时向学生介绍右手系，并规定一般采用右手系建系。2.空间直角坐标系的划分问题4.三个坐标轴可确定几个平面？这些平面把空间分成几个部分？学生根据空间几何知识得出，三个平面，八个部分。教师及时给出卦限概念，并依此给八卦限排序。3.空间中点的坐标问题5.在建立了空间直角坐标系以后如何来确定空间中点的坐标？学生可根据平面直角坐标系推出做垂直，教师及时引导，在空间中过一点做一条直线的垂线不唯一，所以需要做垂面。方法一：过M点分别做三个平面分别垂直于x,y,z轴，平面与三个坐标轴的交点分别为P、Q、R，在其相应轴上的坐标依次为x,y,z，那么(x,y,z)就叫做点P
5、的空间直角坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z)，三个数值x,y,z分别叫做 P点的横坐标、纵坐标、竖坐标。【设计意图】通过例题让学生及时巩固确定空间中一点的坐标的方法。 问题6.观察例1中各点的位置关系，同时分析相应点的坐标关系， 你能得出什么结论？ 学生经过观察可以得到B与B的横坐标、纵坐标相同，B的竖坐标等于D的竖坐标。 教师归纳学生得出的结论，给出第二种确定点的坐标的方法。 方法二：过M点作xOy面的垂线，垂足为 点。点 在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的横坐标、纵坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足 在z轴上的坐标z就是P点的竖坐标。例2.结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的
6、示意图（可看成是八个棱长为1/2的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子。以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标。三.巩固练习（20分钟）1.坐标系的原点是否一定要取在O点？可否以立方体中心为原点？此时八个顶点的坐标如何？观察点的位置关系，以及相应坐标，你能得出什么？ 学生思考后可发现原点的取值可以任意取，对称点之间的坐标存在一定规律。 教师引导学生发现：点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点(1)与点M关于x轴对称的点: (x,-y,-z)(2)与点M关于y轴对称的点: (-x,y,-z)(3)与点M关于z轴对称的点: (
7、-x,-y,z)(4)与点M关于原点对称的点: (-x,-y,-z)(5)与点M关于平面xOy的对称点: (x,y,-z)(6)与点M关于平面yOz的对称点: (-x,y,z)(7)与点M关于平面zOx的对称点: (x,-y,z)四小结谈收获让学生自己归纳总结得出本节课的四个主要内容： 1、空间直角坐标系的建立(三步);2、空间直角坐标系的划分(八个卦限);3、空间中点的坐标(一一对应);4、空间点的对称问题。五.布置作业完成课后习题六教学反思 在整个教学过程中，内容由浅入深，环环相扣，不仅使学生在学习过程中了解了知识的发生、发展的过程，也使学生尝到了成功的喜悦这对增强学生的学习信心，起到了很
8、好的作用在研究过程中，充分运用了类比、交换、数形结合等数学思想方法，有效地培养了学生的思想品质在求空间直角坐标系中点的坐标时，学生不仅会很自然地运用数形结合与类比的思想方法，也锻炼了他们的空间思维能力。4.3.2空间两点间的距离公式【教学目标】1掌握空间两点间的距离公式，会用空间两点间的距离公式解决问题。 2通过探究空间两点间的距离公式，灵活运用公式，初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法。 3通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标，类比平面中两点之间的距离的求法，探索并得出空间两点间的距离公式，充分体会数形结合的思想，培养学生积极参与、大胆探索的精神。【教学重难点】重
9、点：空间两点间的距离公式； 难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。【学前准备】：多媒体，预习例题 教学课程 第一课教学环节导案/学案师生互动/随堂测试备注一、复习引入（5分钟）三楼屋顶有一蜂窝，住户报119，消防官兵拟用高压水枪击落蜂巢，但水枪有效射程只有20米，而消防车也只能到达宅基线距离楼房角A处8米远的坡坎边，若屋的长、宽、高分别为15米、10米、42米，蜂巢能被击落吗？同学们你能根据题意画出符合条件的示意图吗？二.探究新知（25分钟）师：距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离，通过上一节的学习，我们知道建立空间直角坐
10、标系后，空间中的任一点P与一组有序实数对（x，y，z）建立了一一对应的关系，类比平面两点间的距离公式的推导，你能猜想一下空间两点、间的距离公式吗？生：空间两点、间的距离公式为：（由于有前面学习的基础学生完全能借助平面上两点间的距离公式，考虑到此距离与竖坐标有关，猜想出空间两点间的距离公式。）师：很好！猜想是我们探索未知世界的一种重要的思维方法，但终归是猜想只有和严格的数学逻辑思维的证明，这样才算是一个完整的思维过程。下面我们考虑如何根据两点的坐标来证明两点间的距离公式为：引导师：为了使同学们更好的理解空间两点间的距离公式的推导过程，我们按照由特殊到一般的思维过程先研究比较简单的情形。然后再利用
11、类比的方法推广到一般情况。互动师：如果两点P1、P2是三个坐标平面中的其中一个平面上的任意两点，如何计算这两点之间的距离？它们适合公式吗？生：作图并分别写出两点P1、P2在三个坐标平面中的坐标，并思考如何求出两点间的距离。师：巡视指导，并点拔：“若两点P1、P2都在平面XOY中，两点的坐标的形式是什么？”“实质上这两点的距离是否就是平面上两点两点间的距离，利用两点间的距离公式验证它是否符合？”师：显然平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特殊情况，如果P（x，y，z）那么它到坐标原点O的距离如何求解呢？如图：设点P在XOY平面上的射影是B，则B点的坐标根据空间中点的坐标的定义是什么？如何
12、在空间立体图形中求出OP的长？生：观察图形通过立体几何知识分析图中的线面关系？师：引导学生回顾求解空间中两点间的距离的思想，即将空间问题最终转化为平面问题，常常在一些平面图形中求解，如在三角形、梯形中。生：回答教师提出的问题，教师及时纠正学生的错误，并由学生口述解题过程，教师板书：据题意知点P在平面XOY上的射影B点的坐标是（x，y，o），在平面XOY中，由于PB平面XOY，故PBOB，因此在直角三角形OBP中，根据勾股定理：因为，所以，这说明，在空间直角坐标系）OXYZ中，任意一点P（x，y，z）与原点的距离师生互动师：如果的长是定值R，则方程表示何图形？生：思考并与同桌交流。师：巡视指导，
13、并适时点拔：“在平面直角坐标系中，方程表示以原点为圆心，半径为的圆”据此类比“方程左端的形式与我们学习的那个知识相似？它表示的几何意义是什么？”“在空间中满足条件的点构成什么图形？”生：回答，此过程中可能会引起学生的争论，教师要注意正确的引导。三.巩固练习（20分钟）已知A(x，2，3)、B(5，4，7)，且|AB|=6，求x的值。引导师：利用空间两点间的距离公式，寻找关于x的方程，解方程即得。生解答并回答解题过程|AB|=6，即，解得x=1或x=9x=1或x=9点拨求字母的值，常利用方程的思想，通过解方程或方程组求解。证明以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)为顶点的三角形A
14、BC是一等腰三角形。解答：由两点间距离公式得： 由于，所以ABC是一等腰三角形3点P在坐标平面xOy内，A点的坐标为(-1，2，4)，问满足条件|PA|=5的点P的轨迹是什么？引导 因点P一方面在坐标平面xOy内，另一方面满足条件|PA|=5，即点P在球面上，故点P的轨迹是坐标平面xOy与球面的交线。设点P的坐标为(x， y， z)。点P在坐标平面xOy内，z=0|PA|=5，即=25，点P在以点A为球心，半径为5的球面上，点P的轨迹是坐标平面xOy与以点A为球心，半径为5的球面的交线，即在坐标平面xOy内的圆，且此圆的圆心即为A点在坐标平面xOy上射影(-1，2，0)。点A到坐标平面xOy的
15、距离为4，球面半径为5，在坐标平面xOy内的圆的半径为3点P的轨迹是圆=9，z=0.四小结谈收获空间中两点间的距离公式及其推导。球面方程空间中两点间距离公式的简单应用：应用坐标法解立体几何中的有关问题。教学思想与方法：培养学生类比的方法和养成严谨论证的思维习惯。体会由特殊到一般解决问题的思维方法。五.布置作业完成课后习题1.已知A(2，5，-6)，在y轴上求一点B，使得|AB|=7引导2点P在坐标平面xOz内，A点的坐标为(1，3，-2)，问满足条件|PA|=5的点P的轨迹方程。答案：点P的轨迹方程是=16，y=0.六教学反思 通过设置难度适宜的问题和教师的巧妙点拔使学生敢于提出问题、发表见解，并使学生看问题与见解是否有挑战性与独创性。学生的主动创造是课堂教学中最令人激动的一道风景，而创造这样的景观绝非教师一日之功。如在在推导空间两点间的距离公式时，我并不是直接给出公式而是让学生根据所学的平面上两点间的距离公式进行大胆的类比猜想，调动了学生的学习热情，使学生经历一个从易到难，从特殊到一般的过程。其目的在于让学生掌握类比的方法和养成严谨的思维习惯。 教学课程 第一课教学环节导案/学案师生互动/随堂测试备注一、复习引入（5分钟）二.探究新知（25分钟）三.巩固练习（20分钟）四小结谈收获五.布置作业完成课后习题六教学反思
