1、高中数学 数列小结与复习 教案 北师大版2019-2020年高中数学 数列小结与复习教案 北师大版一教学目标：1、知识与技能：进一步理解数列基础知识和方法，能清晰地构思解决问题的方案；进一步学习有条理地、清晰地表达数学问题，提高逻辑思维能力；加强对等差数列与等比数列的性质的理解，提高“知三求二”的熟练程度；在理解的基础上进一步熟练地构建数列模型解决实际问题。2、过程与方法：通过实例，发展对解决具体问题的过程与步骤进行分析的能力；通过独立思考、合作交流、自主探究的过程，发展应用数列基础知识的能力；在解决具体问题的过程中更进一步地感受数列问题中蕴含的思想方法。3、情感态度与价值观：通过具体实例，感
2、受和体会数列在解决具体问题中的意义和作用，认识数列知识的重要性；感受并认识数列知识的重要作用，形成自觉地将数学知识与实际问题相结合的思想；在解决实际问题过程中形成和发展正确的价值观二、教学重点 1.系统化本章的知识结构；2.提高对几种常见类型的认识；3.优化解题思路和解题方法，提升数学表达的能力。教学难点 解题思路和解题方法的优化。三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、导入新课 数列是高中代数的重要内容之一，也是高考考查的重点.它的主要内容主要有两个方面：第一方面是数列的基本概念，如等差数列的定义、等比数列的定义、通项公式、等差中项、等比中项、数列的性质以及数列的前n项和公式等；
3、第二方面是数列的运算和实际应用，即运用通项公式、前n项和公式以及数列的性质求一些基本量，运用数列的基础知识探究与解决实际问题.应用本章知识要解决的主要问题有：(1)对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五个基本量a1,an,d(q),n,Sn“知三求二”的问题；(3)数列知识在实际方面的应用.在解决上述问题时，一是要用函数观点来分析解决有关数列问题；二是要运用方程的思想来解决“知三求二”的计算问题；三是能自觉地运用等差、等比数列的特征来化简计算；四是树立应用意识，能用数列有关知识解决生产生活中的一些问题.（二）、推进新课师出示多媒体课件一：(请同学们自己将框中的公式补充完整)师 等差
4、数列与等比数列的通项公式与前n项和公式都不止一种形式，请同学们在总结的时候不要忘记它们中的任何一种形式.回顾与思考 1.知识的发生发展过程：师 你能从函数的观点认识数列吗？你能体会学习数列与学习实数之间的异同吗？等差数列与等比数列的通项公式反映了什么函数关系？它们的图象各有什么特点呢？生 思考.师 请看下面的结构框图(出示多媒体课件二)：师 请同学们理解并解释框图的结构及其含义.2.通项公式与前n项和公式的推导中的思想方法：师 你能清楚地说出等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式的一种推导方法吗？每一个公式的推导能说出几种方法吗？生 回忆学习过程中自己已经掌握的方法，并积极发言.师 在它们
5、的前n项和公式的推导中，请大家特别注意其中的两种推导方法：等差数列的前n项和公式推导中的“倒序相加法”与“叠加法”；等比数列的前n项和公式推导中的“错位相减法”与“叠乘法”；另外，还应该知道，对于任何数列an，Sn与an有以下关系：an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n1.师 你知道这个公式在解决问题中有哪些作用吗？生 思考，回答.3.应用本章知识要解决的主要问题：师 你明确应用本章知识要解决哪些问题吗？生 应用本章知识要解决的主要问题有：(1)对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五个基本量a1,an,d(q),n,Sn“知三求二”的问题；(3)数列知识在生产实际和社会生活中的应用
6、.师 肯定学生的回答，必要时给予补充.师 出示投影胶片1：例题1.【例1】 设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.若Sn是等差数列，求q的值.合作探究 师 这是一个关于等差数列与等比数列的基本概念和基本性质的基本题，起点比较低，入手的路子宽.你如何想？生 独立思考，列式、求解.师 组织学生交流不同的解题思路，概括出典型的解题方法的过程.参考答案如下：(投影胶片2)解法一：利用定义，Sn是等差数列，an=Sn-S n-1=S2-S1=a2.a1qn-1=a1q.a10,q n-2=1.q=1.解法二：利用性质，Sn是等差数列，an=Sn-S n-1=S n-1-S n-2=an-1,a
7、1qn-1=a1qn-2.a10,q0,q=1.解法三：利用性质，2S2=S1+S3，2(a1+a2)=a1+a1+a2+a3,即a2a3.q=1.师 点评：还可以用求和公式、反证法等.师 出示投影胶片3：例题2.【例2】 设数列an的前n项和为Snn22n4(nN).(1)写出这个数列的前三项；(2)证明数列除去首项后所成的数列a2，a3，a n，是等差数列.合作探究 师 第1个问题很容易思考，请同学们独立完成.生 迅速作答.解：（1）a1=S1=7,a2=S2-S1=22+22+4-7=5,a3=S3-S2=32+23+4-(7+5)=7,即a1=7,a2=5,a3=7.师 第2个问题是要
8、证明一个数列是等差数列，这里的关键是要注意条件中的“除去首项后”，你能把握好这个条件的运用吗？生 自主探究，组织数学语言，准确表达推理过程.参考答案：(投影胶片4)（2）n1，当n1时，anSn-Sn-1n22n4- (n-1)22(n-1)42n1.a n1-a n2(定值),即数列an除去首项后所成的数列是等差数列.师 点评：anS1,n=1,Sn-Sn-1,n1 是一个重要的关系式，要充分发挥它的作用.还有其他不同的证法，请同学们多交流.师 出示投影胶片5：例题3.【例3】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是1
9、2，求这四个数.合作探究 师 三个数成等差数列，在设法上应根据条件的特殊性考虑特殊的设法，同样，三个数成等比数列，也要注意兼顾前三个数已经设出来的形式.生 积极思考，列式探究，踊跃发言.师 观察学生的思考情况，指点学生寻找合理的思路.归纳、概括、总结学生的解题结果，给出如下两种典型解法.投影胶片6解法一：设四个数依次为a-d，a，ad，依题意有(a-d)16,a(ad)12,由式得d12-2a.将式代入式整理得a2-13a360.解得a14，a29.代入式得d14，d2-6.从而所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.投影胶片7解法二：设四个数依次为x，y，12-y，16-x，依题意有
10、由式得x3y-12.将式代入式得y(16-3y12)(12-y)2.整理得y2-13y360,解得y14，y29,代入式得x10，x215.从而得所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.师 点评：本题若采用其他设求知量的方法列方程，解题过程会是怎么样的呢？请同学们课外探究一下，并在本题上述设求知量的方法的基础上，思考四个数成等差数列的常见设法，以及四个数成等比数列的常见设法.师 出示投影胶片8：例4.【例4】 设等差数列an的前n项和为Sn，已知a312，S120，S130，（1）求公差d的取值范围；（2）指出S1，S2，S12中哪一个值最大，并说明理由.合作探究 分析：本题的条件形式
11、上比较特殊，属于同学们不太熟悉的面孔，思考应该从最熟悉的角度入手.师 引导：第1个问题，目标是关于d的范围的问题，故应当考虑到合理的选用等差数列的前n项和的哪一个公式.其次，条件a312可以得出a1与d的关系，列式中可以用来代换掉另一个量，起到减少求知量的作用.生 在教师的引导下，列出式子，将问题化归为一个关于d的不等式.参考答案：投影胶片9解：（1）依题意有S1212a11211d0,S1313a11312d0,即2a 111d0,a16d0.由a312，得a112-2d,将式分别代入式得247d0且3d0，d-3为所求.师 对第2个问题的思考，可以有较多的角度，请同学们合作探究，交流你们的
12、想法，寻找更好的思路.生 积极活动，在交流中受到启发，得到自己的成功的解法.师 收集、整理出学生的不同思路，公布优秀的思考方法和解题过程，归纳出如下几种解法： 投影胶片10（2）解法一：由(1)知d0，a1a 2a 3a 12a13，因此，若在1n12中存在自然数n，使得a n0，an10，则Sn就是S1，S2，S12中的最大值，由于S12=12a1+1211d=6(2a1+11d)6(a 6a7)0，S13=13a1+1312d=13(a1+6d)13a70,a60，a70，故在S1，S 2，S12中，S6最大.投影胶片11解法二：Snna1n(n-1)dn(12-2d) (n2-n)d.d
13、0，最小时，S n最大，而当d-3时，有66.5，且nN，当n6时，(n-)2最小，即S6最大.投影胶片12解法三：由d0，可知a1a2a3a12a13，因此，若在1n12中存在自然数n，使得an0，an10，则Sn就是S1，S2，S12中的最大值，由S120，S130，有12a 11211d0a 15d-0;13a11312d0a16d0.a60，a70，故在S1，S2，S12中，S6最大.投影胶片13解法四：同解法二得S n (n-)2-.d0，故Sn的图象是开口向下的一条抛物线上的一些点，注意到S00，且S120，S130，知该抛物线与横轴的一个交点是原点，一个在区间(12，13)内，于
14、是抛物线的顶点在(6，6.5)内，而nN，知n6时，有S 6是S1，S2，S 12中的最大值.（三）、课堂小结：本节学习了如下内容：1.第二章“数列”一章知识和方法的概括性回顾与思考.2.运用中典型例题的探究。（四）、布置作业1.课本复习参考题一 A组13、14 B组5五、教学反思：2019-2020年高中数学 数列小结与复习（二）教案 北师大版一、教学目标：1、知识与技能：熟练地运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题；提高运算速度和运算能力。2、过程与方法：精选例题，通过对例题的分析与探究，优化解题步骤；在优化解题步骤的过程中提高运算
15、速度与运算能力。3、情感态度与价值观：在理解题意、探索思路的过程中学会思考，培养敢于思考、善于思考的思维品质；在解决问题的过程中，学会快速地运算、严密地推理、精确地表达，增强速度意识、效率意识。二、教学重点 熟练运用知识，探索解题思路，优化解题步骤.教学难点 解题思路和解题方法的优化.三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、导入新课师 这节课我们要运用等差、等比数列的概念、性质及有关公式，解决一些等差、等比数列的综合问题.首先我们再来明确一下有哪些问题.生 (1)对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五个基本量a1,an,d(q),n,Sn“知三求二”的问题；(3)数列知
16、识在生产实际和社会生活中的应用.师 是的，这是我们前一节课中已经归纳出来的应用本章知识要解决的问题.我们前一节课上已经探讨了几个典型例题，本节课我们进一步探讨.（二）、推进新课师 出示投影胶片1：例题1【例1】 已知公差不为零的等差数列a n和等比数列b n中，a 1=b 1=1，a2=b2，a 8=b3，试问：是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有a n=logab nb成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.合作探究 师 这道题涉及到两个数列an和bn之间的关系，而已知中的三个等式架起了两个数列间的桥梁，要想研究an，b n的性质，应该先抓住数列中的什么量？生 由于a
17、n是等差数列，b n是等比数列，所以应该先抓住基本量a1、d和q.由已知a1=b1=1，a2=b2,a8=b3，可以列出方程组.解出d和q，则an,bn就确定了.师 如果an和bn确定了，那么an=logabnb就可以转化成含有a，b，n的方程，如何判断a，b是否存在呢？生 如果通过含有n，a，b的方程解出a和b，那么就可以说明a，b存在；如果解不出a和b，那么解不出的原因也就是a和b不存在的理由.师 分析得很好.让我们一起来实施刚才分析的思路，看看结论到底是什么？解：设等差数列an的公差为d(d0)，等比数列b n的公比为q，则解得d=5，q=6.所以an=5n-4.而bn=6 n-1，若存
18、在常数a，b，使得对一切自然数n，都有an=logabnb成立，即5n-4=loga6 n-1b,即5n-4=(n-1)loga6b,即(loga6-5)n(b-loga64)=0.对任意nN *都成立.只需成立.解得a=6,b=1.所以存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an=logab nb成立.师 本题的关键是抓住基本量：首项a1和公差d、公比q，因为这样就可以求出an和bn的表达式.an和bn确定了，其他的问题就可以迎刃而解.可见：抓住基本量，是解决等差数列和等比数列综合问题的关键.师 出示投影胶片2：例题2：【例2】 某工厂三年的生产计划规定：从第二年起，每一年比上一年增长的产
19、值相同，三年的总产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分率相同，求原计划中每一年的产值.合作探究 师 对应用问题，同学们要认真分析，把实际问题转化成数学问题，用学过的数学知识求解.请学生读题，并逐句分析已知条件.生甲 由每一年比上一年增长的产值相同可以看出，原计划三年的产值成等差数列，由三年的总产值为300万元，可知此等差数列中S 3=300，即如果设原计划三年的产值分别为x-d，x，xd,则x-dxxd=300.生乙 由产值增长的百分率相同可以知道，实际三年的产值成等比数列，可以设为x-d10， x10，x
20、d11，则(x10)2=(x-d10)(xd11).师 甲、乙两位同学所列方程联立起来，即可解出x，d.板书：解：设原计划三年的产值为x-d，x，xd，则实际三年产值为x-d10，x10，xd11.解得x=100，d=10，x-d=90,x+d=110.答：原计划三年的产值分别为90万元、100万元、110万元.师 等差数列和等比数列的知识，在实际生产和生活中有着广泛的应用，在解决这类应用问题时，关键是把实际问题转化成数列问题，分清是等差数列问题，还是等比数列问题，分清an和S n，抓住基本量a1，d(q)，再调用有关的概念和公式求解.师 出示投影胶片3：例题3：【例3】 已知数列an是公差不
21、为零的等差数列，数列a kn是公比为q的等比数列，且k 1=1，k 2=5，k3=17，求k 1k 2k 3kn的值.合作探究 师 题目中数列ak n与an有什么关系？生 数列a k n的项是从数列an中抽出的部分项.师 由已知条件k1=1，k2=5，k3=17可以知道等差数列an中的哪些项成等比数列？生 a1，a5，a17成等比数列.师 要求的k1k2k3kn的值，实质上求的是什么？生 实质上就是求数列kn的前n项和.师 要求kn的前n项和，就要确定数列kn的通项公式.应该从哪儿入手？生 应该从求等比数列a k n的公比入手.其公式为.师 a5，a1要由等差数列an的通项公式来确定，问题就转
22、化成求等差数列中的公差d和a1了.生 如果设等差数列an的公差为d，那么a5=a14d，a17=a116d，由于a1，a5，a17成等比数列，则有(a14d)2=a1(a116d)，从而an应该可以求出了.师 请同学们把刚才的分析整理出来.(投影胶片4)解：设数列an的公差为d，d0，则a 5=a 14d，a 17=a116d.因为a 1，a5，a 17成等比数列，则(a 14d)2=a 1 (a 116d)，即2d 2 =a1d.又d0，则a1=2d.所以an=a 1(n-1)d=2d(n-1)d=(n1)d.因为数列a k n的公比为q，则,所以a k n=a k13 n-1=a13n-1
23、=2d3n-1.又a k n=(kn+1)d,则2d3 n-1(kn+1)d.由d0，知kn=23 n-1-1(nN *).因此，k 1k 2k 3kn=23 0-1231-1232-123n-1-1=2(3031323n-1)-n=2-n=3n-n-1.师 此题的已知条件中，抽象符号比较多，但是，只要仔细审题，弄清楚符号的含意，看透题目的本质，抓住基本量，不管多复杂的问题，都是能够解决的.师 出示投影胶片5：例题4.【例4】 已知数列b n是等差数列，b11，b1b2b 10145.(1)求数列bn的通项bn；(2)设数列a n的通项anloga(1)(其中a0且a1)，记S n是数列a n
24、的前n项和，试比较S n与的大小，并证明你的结论.合作探究 师 数列bn的通项容易求得，但是它是攀上这个题目的顶端的第一个台阶，必须走好这一步.请同学们快速准确地求出bn.生 快速求解.(1)解：设数列b n的公差是d，由题意得b 11,10b110(10-1)d145,解得b 11,d3.b n3n-2.师 在下一个问题中，数列an与数列bn具有什么关系呢？数列an具有什么特征？生 数列an是由数列bn生成的一个新的数列？由anloga(1)loga(1+)，可知数列a n不是特殊数列.师 题中比较Sn与的大小，你现在能作出预料吗？生 不能，Sn是什么样子还不清楚.需要得出Sn，才能进一步思
25、考.师 那就请同学们先把Sn求出来.生 写出Snloga(11)loga(1)loga(1)loga (11)(1)(1).发现式中的那个积不太好处理.师 能不能现在就和联系起来思考一下？要比较两式大小实质是什么？生 因为=loga，所以实质上就是在同底数的前提下，比较真数的大小.师 分析的很好.那么真数的大小如何比较出来？生 陷入沉思，深入思考后，提出自己的想法.师 这个大小的比较有一定的难度，下面我们从不同的途径来解决这个问题.(投影胶片6) (2)解:由b n3n-2，知Snloga(11)loga(1)loga (1)loga (11)(1)(1),=loga,因此要比较Sn与的大小，
26、可先比较(11)(1)(1)与的大小.取n1，有(11),取n2，有(11)(1+),由此推测(11)(1)(1)1.(*)若(*)式成立，则由对数函数性质可断定：当a1时，S n,当0a1时，Sn.(对于(*)式的证明，提供以下两种证明方法供参考)下面对(*)式加以证明：证法一：记A n(11)(1)(1)(1+)=,D n,再设,当kN时，恒成立，于是A nBnCn.An3AnBnCn3n1Dn3.A nDn,即(11)(1)(1)成立.由此证得：当a1时，S n.当0a1时，S n.证法二：,因此只需证1对任意自然数k成立,即证,也即(3k-1)3(3k1)(3k-2)2,即9k5.该式恒成立，故1.取k1，2，3，n并相乘即得A nDn.师(*)式的证明还有一些其他的证明思路，比如说，数学归纳法、反证法等.有待于今后的学习中学会了这些方法后再应用.（三）、课堂小结：等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的变化也很多，但是万变不离其宗，只要抓住基本量a1，d(q)，充分运用方程、函数、转化等数学思想方法，合理调用相关知识，这样，任何问题都不能把我们难倒.（四）、布置作业：复习参考题一 A组15、16 B组7 C组1、2.五、教后反思：
