1、函数与方程零点问题函数与方程1 函数的零点(1) 定义：对于函数y = f(x)(x D),把使f(x) = 0成立的实数x叫做函数y= f(x)(x D)的零点.函数的零点与相应方程的根、函数的图象与 x轴交点间的关系：方程f(x) = 0有实数根？函数y = f(x)的图象与x轴有交点?函数y= f(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数 y = f(x)在区间a, b上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)0 ,那么函数y = f(x)在区间(a, b)有零点,即存在c (a, b),使得f(c)= 0，这个c也就是方程f(x) = 0的根.探究1函
2、数的零点是函数 y = f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数 y= f(x)与 x轴的交点，而是 y= f(x)与 x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有 f(x)= 0有根的函数y = f(x)才有零点.2.若函数y =f(x)在区间(a，b)有零点，贝U y = f(x)在区间a，b上的图象是否一定是连 续不断的一条曲线，且有 f(a)f(b)0)的图象与零点的关系A 0A= 0Av 0二次函数y = ax2 +bx + c (a 0)的图象与x轴的交点(xO), (xQ)(xi,0)无交点零点个数两个一个
3、零个3 .二分法的定义对于在区间a, b上连续不断且f(a) f(b)0的函数y= f(x),通过不断地把函数 f(x)的 零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法叫做二分法.自测牛刀小试1. (教材习题改编)下列函数图象与 x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )解析：选C由图象可知，选项 C所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，不能用二分法求解.2. (教材习题改编)若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16) , (0,8) , (0,4) , (0,2), 那么下列命题中正确的是 ( )A. 函数f(x)在区间(0,1)有
4、零点B. 函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)有零点C. 函数f(x)在区间2,16)上无零点D .函数f(x)在区间(1,16)无零点解析：选C 由题意可知，函数f(x)的唯一零点一定在区间(0,2)，故一定不在2,16).A.( 1,0)C. (1,2)3 .根据表格中的数据，可以判定方程 ex x 2 = 0的一个根所在的区间为( )x10123ex0.3712.727.3920.09x+ 212345B. (0,1)D . (2,3)解析：选C令f(x) = ex x 2，则f( 1) = 0.37 10 , f(0) = 1 20 ,f(1) = 2.72 -30 ,f(3) =
5、 20.09 - 50 ,所以方程ex- x-2 = 0的一个根所在的区间为(1,2).4.若函数f(x)= x - ax- b的两个零点是2和3，则函数g(x) = bx2 - ax- 1的零点是解析：.函数f(x) = x2- ax - b的两个零点为2和3,2 + 3 = a,即 a = 5 , b = - 6.2 X3 =- b,.g(x)= bx2- ax- 1 =- 6x2-5x- 1 ,1 1令 g(x)= 0,得 x=- 2或3.1 1答案：-2，-35.函数f(x) = 3ax + 1 -2a在区间(-1,1)上存在零点，则实数 a的取值围是 解析： f(x) = 3ax +
6、 1 - 2a在区间(一1,1)上有零点，且f(x)为一次函数，f (- 1) f(1)0，即(1 - 5a)(1 + a)0.1a-或 a0 函数 f(x)在 R 上单调递增.对于 A 项，f( 1) = e 1 + ( 1) 4 = 5 + e 10 , f(0) = 30 , A 不正确， 同理可验证 B、D 不正确.对于 C 项，Tf(1) = e + 1 4 = e 30 , f(1)f(2)0.由条件可知 f f(2)0，即(2 - 2- a)(4 - 1 - a)0，即 a(a 3)0，解得 0 a0 ,11 1 丄2 =e2 4X 2 3=e210，因此函数 f(x)=ex4x
7、3 的零点不在区间412上；对于B，注意到；-3=e4-2420，因此在区间1 12, 上函数f(x)= e-x 4x 3 一定存在零点；对于 C,注意到1 1f 一 0 , f(0) =- 20 ,因此函数f(x) = e x 4x 3的零点不在区间 _, 0上；对于D ,4 41注意到 f(0) 一 20 ,f； = e14 X- 3 = e440 ,因此函数f(x) = e x 4x 3的零点不在区间10, 一上.42 .已知x表示不超过实数 x的最大整数,g(x)=x为取整函数，X0是函数f(x)= In x2一的零点，贝U g(x0)等于 x1 2解析：函数f(x)的定义域为(0,+
8、) ,函数f (x) = +蔦0，即函数f(x )在(0,+) x x22上单调递增由 f(2) = In 2 10，知 X0 (2 , e),eg(X0)=x0 = 2.答案：2判断函数零点个数例 2 (1)(20121 1高考函数f(x)= X- - X的零点个数为(2 2)A. 0B. 1C. 2D . 3的零点个数为(In x x + 2x x0函数f(x) =4x+ 1 x WOA. 0C. 21y = x在x R上单调递减,1自主解答(1)因为y = x2在x 0,+)上单调递增,1所以 f(x) = x212 x在x 0,+s )上单调递增，又1 1x2 - x在定义域有唯一零点
9、.2y a1(2)当xW0时，函数有零点x =一;当x0时，作出函数y = In x,r4_2=3y = x2 2x的图象，观察图象可知两个函数的图象 (如图)有 2个交点，即当x0时函数f(x)有2个零点.故函数f(x)的零点的个数为3.答案(1)B (2)D判断函数零点个数的方法(1) 解方程法：令f(x)= 0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2) 零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间 a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0 ,3.(2013 模拟已知符号函数 sgn( x) = 0, x = 0 , 则函数 f(x)= sgn(x 1) In x1, x0，即x
10、1时，f(x) = 1 In x，令f(x) = 0得x = e1 ;当 x 1 = 0,即卩 x = 1 时，f(x)= 0 In 1 = 0 ;当 x 10，即 x1 时，f(x)= 1 In x,令 1f(x) = 0得x=1.因此，函数f(x)的零点个数为3.e根据函数零点的存在情况求参数例3定义域为R的偶函数f(x)满足对？ x R,有f(x + 2) = f(x) f(1),且当x 2,3时，f(x) = 2x2 + 12x 18，若函数y= f(x) log a(x+ 1)在(0,+)上至少有三个零点，则a的取值围是()A. 0,3B.0，FC. 0 ,5MT自主解答在方程 f(
11、x+ 2) = f(x) f(1)中，令 x= 1 得 f(1) = f( 1) f(1),再根据函数f(x)是偶函数可得f(1) = 0，由此得f(x + 2) = f(x) = f( x)，由此可得函数f(x)是周期为2的周期函数，且其图象关于直线 x = 1对称，又当x 0,1时，x + 2 2,3,所以当x 0,1时，f(x)= f(x + 2) = - 2(x + 2)2 + 12(x+ 2) - 18 =- 2x2 + 4x 2 = - 2(x- 1)2，根据对称性 可知函数f(x)在1,2上的解析式也是f(x)=- 2(x- 1)2,故函数f(x)在0,2上的解析式是f(x)=-
12、2(x-1)2，根据其周期性画出函数 f(x)在0,+)上的部分图象(如图)，结合函数图象，1只要实数a满足0 a1且2log a(2 + 1)0即可满足题意，故 0 a1且log 3a0)(1) 若y = g(x) m有零点，求m的取值围;(2) 2e,确定m的取值围，使得g(x) f(x)= 0有两个相异实根.解: (1)法等号成立的条件是 x= e,g(x)的值域是2e ,+s).因而只需 m浆e，贝U y = g(x) m就有零点.法二：作出g(x) = x+一(x0)的大致图象如图:x可知若使y = g(x) m有零点，则只需 m 2e.若g(x) f(x)= 0有两个相异的实根，即
13、 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点,e2作出g(x)= x + (x0)的大致图象.x.f(x)= x2+ 2ex + m 1=(x e)2+ m 1 + e2.其图象的对称轴为x= e,开口向下，最大值为 m 1 + e2.故当 m 1 + e22e，即 m e2+ 2e + 1 时，g(x)与 f(x)有两个交点，即 g(x) f(x)= 0有两个相异实根.m 的取值围是(一e2 + 2e +1 ,+ ).1个口诀一一用二分法求函数零点的方法用二分法求零点近似值的口诀为： 定区间，找中点，中值计算两边看.同号去，异号算,零点落在异号间.周而复始怎么办？精确度上来判断.3种方法一一
14、判断函数零点所在区间的方法判断函数y = f(x)在某个区间上是否存在零点，常用以下方法：(1) 解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；(2) 利用函数零点的存在性定理进行判断；(3) 通过画函数图象，观察图象与 x轴在给定区间上是否有交点来判断.4个结论一一有关函数零点的结论(1) 若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点.(2) 连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3) 连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.(4) 函数零点的存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数
15、的不 变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点 的充分不必要条件数学思想一一利用数形结合思想解决与方程的根有关的问题在解决与方程的根或函数零点有关的问题时， 如果按照传统方法很难奏效时， 常通过数形结合将问题转化为函数图象的交点的坐标问题来解决.典例(2012 高考对于实数a和b，定义运算“ * ”：a2 ab , a Q ,a*b =b2 ab , a b.设 f(x)= (2x 1)*( x 1)，且关于 x 的方程 f(x) = m(m R)恰有三个互不相等的实数根xi , X2 , X3，贝U X1X2X3的取值围是解析由定义可知，f(x) =
16、(2x 1)*( x 1)=2x 1 2 2x 1x 1 , x 0 ,2x2 x, x0.y = m有三个不同的交点，贝U10m0 时，一X + x = m，即 X2 x+ m = 0, X2+ X3 = 1 ,X2 + X3 1.0 X2X3V 2,即卩 0 X2X3V2 ， 4，12X2 x=-,当X0时，由 X0 ,1 .3xi 0.40 - 1.0 X1 .40 - 1 0 X1X2X3 .161 ;3X1X2X30 ,g(x) =C.0, x= 0,1x， x ，解析:f(x)与函数则方程f(x) g(x) = 0在区间5,5上的解的个数为( )D . 10选C 依题意得，函数f(
17、x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数 y =y= g(x)的图象，结合图象得，当 x 5,5时，它们的图象的公共点共有 8个,即方程f(x) g(x)= 0在区间5,5的解的个数是8.2,x浆,2.已知函数f(x)= x 若关于x的方程f(x) = k有两个不同的实根，x 1 3, x1 ,则函数f（x）的零点为（ ）B. - 2,01c.2解析：选 D 当 x1 时，由 f(x)= 1 + log 2X1=0,解得又因为x1，所以此时方程无解综上函数 f(x)的零点只有0.2 (2012 高考函数f(x) = xcos x2在区间0,4上的零点个数为( )A 4 B 5C. 6 D
18、 7n 3 n 5 n 7 n 9 n解析：选 C -.x 0,4 ,.x2 0,16 x2 = 0,牙,，都是 f(x)的零点，此时x有6个值.f(x)的零点个数为6.3. 函数f(x) = ex+x 2的零点所在的一个区间是 ( )A ( 2 , 1) B ( 1,0)C (0,1) D (1,2)解析：选C 因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又 f( 2) = e 2 40 , f(1) = e 30 , f(0) = 10 , f(2) = e20，所以 f(0) f-(1)0，故函数的零点所在的一个区间是(0,1) n 14 (2013 模拟函数f(x) = 3sin x
19、log -x的零点的个数是( )2 2A 2解析：选D函数y= 3sinC. 4可得，由log81 x= 3，可得x= 8.在同2平面直角坐标系中，作出函数y = 3sin 一x21 x= 3,2V中辿L声*产n 2 nx的周期T= = 4，由log2 n27t和y = log X的图象(如图所示)，易知f(x)有 5个零点.2值()A .恒为正值B .等于0C.恒为负值D .不大于01解析：选A 注意到函数f(X)= ； x log 3X在(0，+m )上是减函数，因此当 OX1f(xo)，又xo是函数f(x)的零点，因此f(xo) = 0 ,所以f(xi)0，即此时f(xi)的值恒为正值，
20、选A.6. (2013 模拟若函数 y = f(x)(x R)满足 f(x + 2) = f(x),且 x 1,1时，f(x)= |x|,sin nx, x0 ,函数g (x) =1一，x0 时，f(x)= 2 012 x+ log 2 012 x，则在 R 上, 函数f(x)零点的个数为解析：函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0) = 0,当 x0 时，f(x)= 2 012 x+ log 2 012x1在区间0，2存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(，+a)有且仅有一个零点.根据对称性可知函数在(-a, 0)有且仅有一解，从而函数在 R上的零点的个数为 3.答案：38.已知函数 f
21、(x)= x + 2x, g(x)= x + In x, h(x)= x- x-1 的零点分别为 xi, X2, x3,则xi , X2 , X3的大小关系是 解析：令 x + 2x= 0,得 2x=- x,令 x + In x = 0，得 In x = x.在同一坐标系画出 y = 2x,y= In x, y = x,如图：xi 0 X21.所以 X1X2X3.2答案：X1X2 X39 .已知函数f(x)满足f(x + 1) = f(x),且f(x)是偶函数，当x 0,1时，f(x)= x2若在区间1,3，函数g(x) = f(x) kx k有4个零点，则实数 k的取值围为 解析：依题意得f(x+ 2) = f(x + 1) = f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数.g(x)= f(x) kx k在区间1,3有4个零点，即函数y = f(x)与y = k(x + 1)的图象在区间1,3有4个不同的交点.在坐标平面画出函数 y= f(x)的图象(如图所示),1注意到直线y = k(x
