1、证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球 A、B、0的中心联线形成一个边长 a=2r的正三角形，第二层硬球N位于球ABO所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：NA=NB=N0=a=2R.即图中NABO构成一个正四面体。 芮2=；+k）1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。（1 ）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）a3 专（+j）由倒格子基矢的定义：bl2心3）0,a2,j，-0 = ai （a a3）=a - -一，a2 X a3 =4- 4 a2/. b = 2兀咒咒-十 j+k）a 十j+k）同理可得:b2b3=（i -j +k） a2兀即面心立方的倒
2、格子基矢与体心立方的正格基矢相同。所以，面心立方的倒格子是体心立方。（2 ）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）- a a2=a（i j +k）a3拧（jk）2；! d =二二2 X a3）Q 0 = ai（82X83）=J-，a2 X a3 =a2 -巧（j +k）- a -/. bi = 2兀 X （j + k）=a（j+k）2兀-=（i +k）a 即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。2兀 -b3= （i +j）所以，体心立方的倒格子是面心立方。1.5、证明倒格子矢量 G =hbi +h2b2 +免鸟垂直于密勒指数为（h,h2h3）的晶面系。h2 h3hi h3G =hb
3、i +h2b2 +h3b3_ - G利用ai bj =2码j，容易证明-h1h2h3GhihACB =0所以，倒格子矢量 G =3 +0鸟+人3匕3垂直于密勒指数为（h1h2h3）的晶面系。1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为 （h,k,l）的晶面系，面间距 d满足：d2=a7（h2 +k2+12），其中a为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。简单立方晶格： ai丄丄， a ai, a aj, a3 ak- a Xa3 d = 2兀2- a3-3 a2 X a3- a3a1 -b2 = 2兀-3- 1 -，bs = 2让ai a2 X a3 a1 a a3 2 兀倒格
4、子基矢： d = i ,匕2 = j, d = ka a a晶面族（hkl）的面间距:倒格子矢量：G=hb +kb2+ lbs，G=hJi+ k二 j +l k a a a面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面 越容易解理。1.9、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110） 面的交线的晶向。（111）011。O 重合，B 点位矢：Rb = ai +aj，（111）面1、（111）面与（100）面的交线的AB，AB平移，A与0点重合，B点位矢：Rb=aj+ak，（111）面与
5、（100）面的交线的晶向 AB = aj+ak，晶向指数2、（111）面与（110）面的交线的 AB，将AB平移，A与原点 与（110）面的交线的晶向 AB = ai +aj，晶向指数110。第二章固体结合2.1、证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数 a =21 n 2 ,解 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键， 德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号） 于是有设离子的总数为2N。取任一负离子作参考离子（这样马，用r表示相邻离子间的距离，O 空“-111+1j rij r 2r 3 4.前边的因子2是因为存在着两个相等距离n的离子，一个在参考离子左面，
6、一个在其右面，故对一边求和后要乘2,马德隆常数为1 1 1a =21-2 3 4 2 3Z n（1 +x） =x-0 + 2 3111当 X=1 时，有 1-.n22 3 4 222.3、若一晶体的相互作用能可以表示为a P u（r） = -m +匚 r r试求：（1）平衡间距ro ；结合能W （单个原子的）；体弹性模量；（4）若取 m =2,n =1O,ro =3A,W =4eV，计算 a 及 P 的值。晶体内能求平衡间距ro（、N / a U（r）=（PmF）r r平衡条件dUdr=or 乂mam十ro+此=0, ro=（垃严n十（2）单个原子的结合能-u（ro）,u（ro）A（1）（能戸
7、2 n ma（3）体弹性模量dVK计VoVo晶体的体积 V = NAr3, A为常数，N为原胞数目晶体内能U （r）=7（-+）cUN motnPdr u（r）=4F7-（）,u（r）rN（）An7 -A（；）r06=2 隹 b6A62 A12）/（生）A212.252 /9.11 cc 2 =0.95714.452/12.132.7、对于H2，从气体的测量得到 Lennard Jones参数为s = 50咒10J,b = 2.96 A.计算fee结构的H2的结合能以KJ/mol单位），每个氢分子可当做球形来处理.结合能的实验值为 算值比较.0.751kJ / mo1，试与计解 以H2为基团，
8、组成fee结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard Jones势相互作用,则晶体的总相互作用能为:U=2N 屮（|卜S Rij- =14.45392;Zj iR12 =12.13188, =50x106erg,b =2.96 A,N =6.022x 1023 / mol.将R/弋入U得到平衡时的晶体总能量为U =2x6o022cl028 /mol%50xl06erg巾2.13朋14阿箒因此，计一2.55KJ / mol.算得到的 出晶体的结合能为2. 55KJ/mol，远大于实验观察值 0.75IKJ /mo1 .对于H2的晶体,量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这
9、正是造成理论和实验值之间巨大 差别的原因.第三章固格振动与晶体的热学性质3.1、已知一维单原子链， 其中第j个格波，在第n个格点引起的位移为， Pnj=ajSi n（叫t _n aqj+j）,为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位 移。解任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即叫=艺 4nj 乏 aj sinjt+ naq pj） （ 1）j j-7 Yn巴=嘉Q %j丿由于卩可nj数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等， 因此上式得第2项与第一项相比是一小量, 可以忽略不计。所以监=2监j由于 r是时间t的周期性函数，其长时间平均等
10、于一个周期内的时间平均值为2 1 To 2 1 2气= 0 aj s in伸jt +n aq+円）水=aTo 2已知较高温度下的每个格波的能量为 KT ,卩nj的动能时间平均值为1 L T0Tnj -j a j T0 2 1 2 2L J aj sin（jt + naqj +bj）dt =- PWjLaj 2T0 0 4其中L是原子链的长度， P使质量密度，T0为周期。所以 T =-Pw2La2 =1kT （3）因此 将此式代入（2）式有时-KTpg 2所以每个原子的平均位移为=送nj =送KT KT 1p =pr看3.2、讨论N个原胞的一维双原子链 链的结果一一对应。质量为M的原子位于（相邻
11、原子间距为a）,其2N个格波解，当 M = m时与一维单原子2n+1, 2n+3 ;质量为 m 的原子位于 2n, 2n+2 , 2n+4 。2n-1,牛顿运动方程=AeUgneqmUln P（2 卩 2n-坞卄-坞nJMU；nf=-P（242M-y2n42-42n）N个原胞，有2N个独立的方程设方程的解2n从2n +=BeiCii（2n41）aq，代回方程中得到（2P -m2）A-（2 P cosaq）B =0I-（2Pcosaq）A + （2P - Mb2）B =0A、B有非零解,2P-mt52 -2Pcosad-2 P cosaq 2 P - M oo2=0，则縛2 = p（m + M）
12、 4mM 2sin2aqFmM （m + M）2两种不同的格波的色散关系1 八2 R（m+M） 4mM .2 匸、+ 1十1- sin aq2mM （m + M）12 R （m+M） r, 4mM . 2二 P11 / in aq2一个q对应有两支格波：一支声学波和一支光学波aqcos7呼1哼两种色散关系如图所示:长波极限情况下qT0, sin（翌）止兰2 2=（2jI）q与一维单原子晶格格波的色散关系一致P和10P，两种原子质量相等,ym3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为 且最近邻原子间距为 a/2。试求在q =o,q 二兀/a处的 （q），并粗略画出色散关系曲
13、线。此问题模拟如H 2这样的双原子分子晶体。XCHO0S_OS2n-l 2n+l 2ii+32n-4 211-2答: （ 1）浅色标记的原子位于 2n-1 , 2n+1 , 2n+3 ;深色标记原子位于 2n, 2n+2, 2n+4 。第2n个原子和第2n+ 1个原子的运动方程：mUzn = （ p1 + 2）+ p2卩2n 卅+ 122 mU2n 十=（P1 +P2）卩2n 卅 + 附卩2.七+ 卩2n体系N个原胞，有2N个独立的方程方程的解:. “ iGt-（2n）-aq巴n = Ae 2，令 ； = P1 /m, i3_（2n 十）1aq巴n厂Be 200； = p2 /m，将解代入上述
14、方程得:#2,2（叫+22丄严侔 12e 2）A-（时；+时；一2）b =0A、B有非零的解,2 丄 2 2、伸1 +2 ）,.12 aqP；e2系数行列式满足：+加。2亠严 ie 22 2 2 aq2）2-12e22柠q=0.1 O 4aq +吩 2 ）12e 22 i：+e2 ）=0（时吨2）2 -窗e評iaq2匕aq代；e2 ）=02 2 i aq 2 -L aq-2）A-（时fe2 +时2e 2 ）B=02 q因为片=P、 2 =10P，令0 =时=2=匹=10酥得到（1伸2 -B2）2 -（101+20cosaq声；+话e2两种色散关系： 2=0 （11 ）20cosqa +101）
15、当q =0时,当q=-时,F；（11J8i）,a + = J20k）0 w _ =） 2g）0:hi iiwnjil-v 、F ETT q（2）色散关系图:3.7、设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有 （q） = 05 0 - Aq求证：f（） = V 11/2耳 v0; f （） =0,0 0时，O 0 =Aq 0f （） = 0, v0= 0 = Aq =A （依据可q国（q） = 2Aq, fg）=（2兀厂匕（q）ds ，并带入上边结果有心（2；dsA1/23加42 5伽4/20）23/2 g。3.8、有 N个相同原子组成的面积为 S的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温
16、极限比热正在k到k +dk间的独立振动模式对应于平面中半径n至U n+dn间圆环的面积 2花ndn，且2 比与T 。2兀ndn =3s 為魅2do5J亠 L 3s（kBT）辭 KbTE0 _ 2 t2 J_ J2兀v6护D3 23s（kBT ） xd x2dx= .2兀vf岸D eX_1L2 5 3眇 kdk = kdk即卩（国戶则TT0时，E 工 T3, Cv =（生）s 工 T23.9、写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为Fo+kBT2 /1屉量子谐振子的自由能为 F =U + kBTZ2 kBTq+n|1-e尬V-kBf经典极限意味着（温度较高） kBT 甩g应用ex
17、=1-x +x2 +.所以q）2kBT bT 丿因此+匕kBT丿SEn爲其中3.10、设晶体中每个振子的零点振动能为-屁0，使用德拜模型求晶体的零点振动能。根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K时振动能E0就是各振动模零点能之和。Eo =广 Eo9 bW ）dB将 EoW ）=- 舷和g ） = 2代入积分有, 9由于屉 m=kB% 得 Eo-NkB%8一股晶体德拜温度为1O2K，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数XX所需热能相比拟.3.11、一维复式格子m =5咒1.67勺0池,=1.101N/m （即 1.51x104dy n/cm）,求（1）,光 m学波max
18、min，声学波rAax。（2 ）相应声子能量是多少电子伏。（3）在300k时的平均声子数。（4）与max相对应的电磁波波长在什么波段。解（1）, （xxA =/1O4dyn/cm=3.oo讪,4X5X1.67X1024时omax_J20（M +m5_MmJ2104S5+2567“024dyn/cm=6.70013si45咒1.67勺024 咒5勺.67天1024A =.5o4dyn/cm=5.99Do13s-15咒1.67咒1024屉 rAax（2）屉max16 13 1 2= 6.58x10x5.99x10 s =1.97x 10eV= 6.58x10-6x6.70x1013s- =4.41
19、x10%V= 6.58咒10-6 x3.00d013s-1 = 3.95X 10-eV（3） nmax1 i=0.873朮厂 e：7kB=0.221OminX O / T =0.276e 备in/kBT 1丝=28.伽第四章能带理论兀4.1、根据k = 状态简并微扰结果,求出与_及片相应的波函数屮_及屮+?,并说明它们的特性.说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布2 * 说明能隙的来源（假设Vn = Vn）。解令k=+ k=简并微扰波函数为W =0（x）+酬0（x）a aEO（k） -ea+V；B =0J VnA + E0（k）-EB带入上式，其中E+ = E0（k）+|Vn|V（x）0,
20、Vn 0 ,从上式得到B= -A,于是屮+屮0&）皿（X）卜定中e豊帶.n；sin x取 E=EE_ = E0（k）-Vn| |Vn|A = -VnB,得到A=B屮屮0（x） M（x）卜廿导e叽2AcosxVL a=空，恰好满足布拉格发射条件，这时电子波发生全反射, n由教材可知，甲岸屮_均为驻波.在驻波状态下，电子的平均速度 v（k）为零.产生驻波因为电子波矢k =二二时，电子波的波长 A =a k并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入能量。的0级波函数。4.2、写出一维近自由电子近似，第 n个能带（n=1, 2, 3）中，简约波数解 屮；（x）怙r1 ikx i :兀
21、 e e amx1 i沢X1 e2ai2 兀mxe a1 /兀屮 e a -4）X第一能带:仆;=0叶0,怙）7L1 ixe2a第二能带:卫 *=e2a）.屮 k（x）- 2兀b =b贝UbT b,m ai込,即 m = -1,（e a第三能带:, 2応CT c,m a4.3、电子在周期场中的势能.k nja,当 n a- n 才厂1 2厂 2-m Lb -（V（x）=当（n-1）a+b Ex 兰 n a - b其中d= 4b, G）是常数.试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度 解 （I）题设势能曲线如下图所示.A-. A . A . A势能的平均值：由图可见,V（x）是
22、个以a为周期的周期函数，所以V（x）二1 V（x）亠V（x）dx -a_bV（x）dx题设a =4b，故积分上限应为 a b = 3b，但由于在b,3b区间内V（x）=O，故只需在b,b区间内积分.这时，n=0,于是_ 1V 屮（x）dm 灼 ru2 2、.x = （b -x ）dx =2a）吟b2X2a Lb 1 3b_b X-b（3）,势能在-2b,2b区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数V（x）=V0+Z；m=oC2 2bVmCOsx,Vm=2bJ0V（x）COs2b1 b .xdx = 1 V （x）cos xdxb 0 2b第一个禁带宽度Eg =2V,以m=1代入上式，EgiHb2-x2）cos dxI I I 、, 2 U 严 H利用积分公式 Ju cosmudu = （musinmu+2cosmu）J msin mu 得 mEgi16mc2b2第二个禁带宽度Eg2 = 2V2I，以m = 2代入上式，代入上式Eg2mO）2bon 兀 xe 一 x2）COsbdx再次利用积分公式有“2g . -b jI4.4、 解：我们求解面心立方，同学们做体心立方。S态电子的能量可表示成:（1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中
